рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Градиент функции

Градиент функции - Конспект Лекций, раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине Высшая математика В Каждой Точке Области D, В Которой Задана Функция ...

В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению.

Теорема. Пусть дано скалярное поле и определено в этом скалярном поле поле градиентов .

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора на вектор .

Доказательство. Рассмотрим единичный вектор , соответствующий вектору :

.

Вычислим скалярное произведение векторов и :

.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции по направлению вектора . Следовательно, справедливо

.

 

Если обозначим угол между векторами и через ,то можем написать:

или .

Теорема доказана.

 

 

На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. Установим некоторые свойства градиента:

 

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .

 

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

 

Замечание. Если функция есть функция двух переменных, то вектор

направлен перпендикулярно к линии уровня , лежащей в плоскости и проходящей через соответствующую точку.

 

Пример. Определить градиент функции в точке .

Решение.Частные производные

,

в точке будут равны

, .

 

Следовательно,

 

.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине Высшая математика

Высший государственный колледж связи.. кафедра М и Ф.. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Градиент функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные обозначения
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.   Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Предел функции нескольких переменных
Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.   Определение. Число А называется пределом функции

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.   Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
  Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
  Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
  Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Локальные экстремумы функции двух переменных
  Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги