рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Предел функции нескольких переменных

Предел функции нескольких переменных - Конспект Лекций, раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине Высшая математика Приведем Определение Предела Функции Двух Переменных По Коши.  ...

Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.

 

Определение. Число А называется пределом функции при , т.е. в точке , если для любого существует , такое, что при всех , удовлетворяющих условиям ||и ||, выполняется неравенство |— А|.

 

Данное определение в символьном виде можно записать так:

Для обозначения предела функции в точке используют и другую форму записи:

 

.

Замечание.При определении предела функции в точке полагают, что функция может быть и не определена в самой точке .

 

Пример. Доказать, пользуясь определением предела по Коши, что .

Решение. Область определения данной функции D. Выберем произвольное число и найдем , такое, что для любой точки , для которой справедливо , выполняется неравенство . Так как для любой точки Dсправедливо соотношение

 

,

 

то

.

 

Оценим :

.

Таким образом,

 

,

где — расстояние от точки до точки .

 

Следовательно, для любого мы нашли число , такое, что для любой точки , принадлежащей -окрестности точки , т.е. при , будет выполняться неравенство

.

Что и требовалось доказать.

 

Приведенные выше определения предела функции двух переменных без труда обобщаются на случай функций трех и более переменных. Обобщим, например, определение предела по Коши на случай функции независимых переменных.

 

Определение. Число А называется пределом функции при ,т.е. в точке , если для любого существует , такое, что при всех , удовлетворяющих условиям ||, ||,…, ||, выполняется неравенство |— А|.

 

 

Пользуясь понятием предела функции, можно дать определение бесконечно малой функции при (), вывести основные свойства бесконечно малых функций, сравнить бесконечно малые функции, доказать теорему о том, что разность между функцией, имеющей предел, и ее пределом есть бесконечно малая функция, сформулировать основные теоремы об арифметических операциях над пределами. Все эти теоремы для случая были рассмотрены при изучении функций одной переменной.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине Высшая математика

Высший государственный колледж связи.. кафедра М и Ф.. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Предел функции нескольких переменных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные обозначения
Þ — знак логического следования Û — знак равносильности (эквивалентности) — знак тождественного равенства

Понятие функции нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.   Пример. Площадь

Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задан

Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.   Определение. Функция

Частные и полные приращения функции
Пусть — функция двух независимых переменных и D— область ее определения. Выберем пр

Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
  Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке

Полный дифференциал функции нескольких переменных
  Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше,

Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных

Дифференцирование функции, заданной неявно
  Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные

Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные

Локальные экстремумы функции двух переменных
  Определение.Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем

Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки

Градиент функции
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных произв

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги