Диаграммы Эйлера-Венна. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Как В Повседневной Жизни, Так И Научных Исследованиях Часто Приходится Рассма...
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторое множество предметов.
Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы – малыми. Для того чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности.
Î – знак принадлежности
аÎА – “а принадлежит множеству А”
аÏА – “ а не принадлежит множеству А”
Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения.
ℕ – множество всех натуральных чисел.
ℤ – множество всех целых чисел.
ℚ – множество всех рациональных чисел.
ℝ – множество всех действительных чисел.
Множество считается заданным, если известно, из каких элементов оно состоит. Существует два основных способа задания множества:
1) перечисление элементов множества. Например, ℕ={1, 2, 3,…}.
2) описательный способ, который состоит в следующем: указывается общий вид элементов множества и их характеристические свойства. Например, M={a∈ℤ ∣ a∶5}.
Определение 1. Множества А и В называются равными если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Равенство и неравенство множеств обозначаются соответственно А=В и AB.
Определение 2. Пусть А и В – множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. Обозначается: АÍВ.
Определение 3. Пусть А и В – множества. Если АÍВ и А¹В то множество Аназывается собственным подмножеством множества В. Обозначается АÌВ.
Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается Æ.
Замечание 1. Пустое множество единственно и является подмножеством любого множества.
Определение 5. Под универсальным множеством понимают такое множество U, которое содержит все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств.
Определение 6. Множество М называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. В противном случае множество называется бесконечным.
Через ∣М∣ обозначается число элементов конечного множества М, или мощность множества М.
Для иллюстрации множеств удобно использовать так называемые диаграммы Эйлера-Венна, смысл которых заключается в том, что элементы множества схематически представляются точками некоторого круга.
В
Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых из любых двух множеств можно получить новые множества.
Определение 7. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно. Обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x | xÎА и xÎВ}
xÎАÇВxÎА и xÎВ;
xÏАÇВxÏА или xÏB.
АÇВ
Определение 8.Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x | xÎА или xÎВ}.
xÎАÈВ xÎА или xÎВ.
xÏАÈВ xÏА и xÏB.
А∪В
Замечание 2. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством.
Замечание 3. Операции объединения и пересечения, определенные для случая двух множеств, могут быть распространены и на случай любого числа множеств. Пусть – множества. Тогда – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств ; – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств .
Определение 9. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. Обозначается: А\В, т.е. А\В={x | xÎА и xÏВ}.
А\В
Определение 10. Если А⊂В, то разность В\A называется дополнением множества А до множества В.
Дополнением множества А называется разность U\A. Обозначается , то есть .
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
B.
xÎА и xÎВ;
Определение 8. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x | xÎА или xÎВ}.
– множества. Тогда 
– множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств 
– множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств 
, то есть 
.
Новости и инфо для студентов