рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Диаграммы Эйлера-Венна.

Диаграммы Эйлера-Венна. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами Как В Повседневной Жизни, Так И Научных Исследованиях Часто Приходится Рассма...

Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторое множество предметов.

Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы – малыми. Для того чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности.

Î – знак принадлежности

аÎА – “а принадлежит множеству А

аÏА – “ а не принадлежит множеству А

Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения.

ℕ – множество всех натуральных чисел.

ℤ – множество всех целых чисел.

ℚ – множество всех рациональных чисел.

ℝ – множество всех действительных чисел.

Множество считается заданным, если известно, из каких элементов оно состоит. Существует два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества. Например, ℕ={1, 2, 3,…}.

2) описательный способ, который состоит в следующем: указывается общий вид элементов множества и их характеристические свойства. Например, M={a∈ℤ ∣ a5}.

Определение 1. Множества А и В называются равными если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Равенство и неравенство множеств обозначаются соответственно А=В и AB.

Определение 2. Пусть А и В – множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. Обозначается: АÍВ.

Определение 3. Пусть А и В – множества. Если АÍВ и А¹В то множество А называется собственным подмножеством множества В. Обозначается АÌВ.

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается Æ.

Замечание 1. Пустое множество единственно и является подмножеством любого множества.

Определение 5. Под универсальным множеством понимают такое множество U, которое содержит все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств.

Определение 6. Множество М называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. В противном случае множество называется бесконечным.

Через ∣М∣ обозначается число элементов конечного множества М, или мощность множества М.

Для иллюстрации множеств удобно использовать так называемые диаграммы Эйлера-Венна, смысл которых заключается в том, что элементы множества схематически представляются точками некоторого круга.

В

Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых из любых двух множеств можно получить новые множества.

Определение 7. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно. Обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x | xÎА и xÎВ}

xÎАÇВ xÎА и xÎВ;

xÏАÇВ xÏА или xÏB.

АÇВ

 


Определение 8. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x | xÎА или xÎВ}.

 

xÎАÈВ xÎА или xÎВ.

xÏАÈВ xÏА и xÏB.

 

 

А∪В


 

Замечание 2. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством.

Замечание 3. Операции объединения и пересечения, определенные для случая двух множеств, могут быть распространены и на случай любого числа множеств. Пусть – множества. Тогда – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств ; – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств .

Определение 9. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. Обозначается: А\В, т.е. А\В={x | xÎА и xÏВ}.

А\В

Определение 10. Если АВ, то разность В\A называется дополнением множества А до множества В.

 
 

 


Дополнением множества А называется разность U\A. Обозначается , то есть .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Диаграммы Эйлера-Венна.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Свойства операций над множествами.
  Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств.
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение.
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции.
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций.
    Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа.
  Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме.
  Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра.
  Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра.
  Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена.
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности.
  Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов.
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов.
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена.
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры.
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства.
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков.
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера.
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги