Связь алгебраических дополнений с минорами. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Пусть Δ = = ...
Пусть Δ = = .
Определение 31. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент и, сгруппировав, вынести элемент за скобки, то выражение, полученное в скобках, обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением к элементу в определителе Δ, i = , j = .
Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только одно из слагаемых, то Δ=ai1Ai1+ ai2Ai2+ … + ainAin (1). Равенство (1) называется разложением определителя Δ по i-той строке.
Строки и столбцы определителя Δ называются его рядами. Таким образом, (1) и (2) – разложения Δ по ряду.
Определение 32. Если в определителе Δ вычеркнуть i-тую строку и j-тый столбец, то на их пересечении получится элемент aij, а остальные элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, который обозначается Mij и называется минором к элементу aij в определителе Δ, i = , j = .
Пример 4. Пусть Δ = . Тогда M23 =и т.д.
Теорема 7. ПустьΔ - определитель n-гопорядка над полем P, Aij и Mij – алгебраическое дополнение и минор к элементу aijвΔсоответственно.Тогда
Aij=(-1)i+ jMij, i = , j = .
Доказательство. Пусть Δ1 - сумма всех тех слагаемых из Δ, которые содержат элемент aij, т.е. Δ1== (3). Вторые индексы в (3) образуют перестановку I1, полученную из перестановки I удалением символа j с i-того места. Тогда, по теореме о четности перестановки, получим = =aij(-1)i+jMij, т.е. Δ1 = aij(-1)i+jMij (4). С другой стороны Δ1 =aijAij(5). Из (4) и (5) следует, что aij(-1)i+jMij = aijAij. Тогда Aij = (-1)i+jMij.
Теорема доказана.
Теорема 8. Квадратная матрица А является вырожденной тогда итолько тогда, когда |A| = 0.
9. Свойства определителей.
Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
Доказательство. Пусть - матрица n-го порядка над полем Р. Транспонируя А, получим
. Всевозможные произведения вида будут одинаковыми как для матрицы А, так и для матрицы tА. При этом знак произведения сохраняется. Таким образом, ∣А∣=∣tА∣.
Свойство доказано.
Замечание 12. Из свойства 1 следует, что все утверждения, справедливые для какой-либо строки определителя, верны и для его столбца
Свойство 2. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Доказательство. В каждое произведение определителя обязательно входит один элемент строки, состоящей из нулей. Поэтому все слагаемые определителя раны нулю, а, значит, и определитель равен нулю.
Свойство доказано.
Свойство 3. От перестановки двух строк местами определитель меняет знак.
Доказательство. Пусть Δ = .
В определителе Δ переставим i-ю и j-ю (i<j) строки местами. Получим:
Δ '= .
Пусть - одно из произведений определителя Δ. Тогда соответствующим для определителя Δ' будет произведение . Эти произведения различаются только индексами сомножителей. Перестановка (k1 k2 … kj … ki … kn) получена из перестановки (k1 k2 … ki … kj … kn). Такое преобразование, по теореме 6, меняет четность перестановки, а, следовательно, знак рассматриваемого произведения. Таким образом, при перестановке двух строк местами все произведения, составляющие определитель Δ, поменяют знак. Следовательно, поменяет знак и Δ.
Свойство доказано.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Доказательство. Пусть определитель Δ содержит две одинаковые строки: i-ю и j-ю. Поменяем их местами. По свойству 3, определитель Δ поменяет знак: Δ'=-Δ. Но, так как строки одинаковые, то Δ'=Δ. Значит, Δ=-Δ и Δ=0.
Свойство доказано.
Свойство 5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.
Доказательство. Δ = = . Пусть элементы i-ой строки имеют общий множитель α. Так как в каждое слагаемое вида входит элемент этой строки, то все такие произведения имеют общий множитель α, который можно вынести за знак всей суммы в Δ.
Свойство доказано.
Свойство 5'. Если все элементы некоторой строки определителя Δ умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Доказательство. Пусть Δ = , причем ai1=aj1, ai2=aj2, …, ain=ajn. Вынесем элемент α из j-ой строки за знак определителя Δ. Получим: Δ = . Тогда, по свойству 4, Δ =α⋅0=0.
Свойство доказано.
Свойство 7. Если все элементы i-ой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-ой, те же, что и у данного определителя, i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых i-ой строки данного определителя, а i-я строка второго – из вторых слагаемых i-ой строки данного определителя.
Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя n-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, то есть ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 где i≠j.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Связь алгебраических дополнений с минорами.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
Новости и инфо для студентов