рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Связь алгебраических дополнений с минорами

Связь алгебраических дополнений с минорами - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами Пусть Δ = = ...

Пусть Δ = = .

Определение 31. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент и, сгруппировав, вынести элемент за скобки, то выражение, полученное в скобках, обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением к элементу в определителе Δ, i = , j = .

Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только одно из слагаемых, то Δ=ai1Ai1+ ai2Ai2+ … + ainAin (1). Равенство (1) называется разложением определителя Δ по i-той строке.

Аналогично: Δ=a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj (2) - разложение определителя Δ по j-тому столбцу, j =.

Строки и столбцы определителя Δ называются его рядами. Таким образом, (1) и (2) – разложения Δ по ряду.

Определение 32. Если в определителе Δ вычеркнуть i-тую строку и j-тый столбец, то на их пересечении получится элемент aij, а остальные элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, который обозначается Mij и называется минором к элементу aij в определителе Δ, i = , j = .

Пример 4. Пусть Δ = . Тогда M23 =и т.д.

Теорема 7. Пусть Δ - определитель n-го порядка над полем P, Aij и Mijалгебраическое дополнение и минор к элементу aij в Δ соответственно. Тогда

Aij=(-1)i+ jMij, i = , j = .

Доказательство. Пусть Δ1 - сумма всех тех слагаемых из Δ, которые содержат элемент aij, т.е. Δ1== (3). Вторые индексы в (3) образуют перестановку I1, полученную из перестановки I удалением символа j с i-того места. Тогда, по теореме о четности перестановки, получим = =aij(-1)i+jMij, т.е. Δ1 = aij(-1)i+jMij (4). С другой стороны Δ1 =aijAij (5). Из (4) и (5) следует, что aij(-1)i+jMij = aijAij. Тогда Aij = (-1)i+jMij.

Теорема доказана.

Теорема 8. Квадратная матрица А является вырожденной тогда и только тогда, когда |A| = 0.

 

9. Свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

Доказательство. Пусть - матрица n-го порядка над полем Р. Транспонируя А, получим

. Всевозможные произведения вида будут одинаковыми как для матрицы А, так и для матрицы tА. При этом знак произведения сохраняется. Таким образом, ∣А∣=∣ tА∣.

Свойство доказано.

Замечание 12. Из свойства 1 следует, что все утверждения, справедливые для какой-либо строки определителя, верны и для его столбца

Свойство 2. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство. В каждое произведение определителя обязательно входит один элемент строки, состоящей из нулей. Поэтому все слагаемые определителя раны нулю, а, значит, и определитель равен нулю.

Свойство доказано.

Свойство 3. От перестановки двух строк местами определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть Δ = .

В определителе Δ переставим i-ю и j-ю (i<j) строки местами. Получим:

Δ '= .

Пусть - одно из произведений определителя Δ. Тогда соответствующим для определителя Δ' будет произведение . Эти произведения различаются только индексами сомножителей. Перестановка (k1 k2 kjkikn) получена из перестановки (k1 k2kikjkn). Такое преобразование, по теореме 6, меняет четность перестановки, а, следовательно, знак рассматриваемого произведения. Таким образом, при перестановке двух строк местами все произведения, составляющие определитель Δ, поменяют знак. Следовательно, поменяет знак и Δ.

Свойство доказано.

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель Δ содержит две одинаковые строки: i-ю и j-ю. Поменяем их местами. По свойству 3, определитель Δ поменяет знак: Δ'=-Δ. Но, так как строки одинаковые, то Δ'=Δ. Значит, Δ=-Δ и Δ=0.

Свойство доказано.

Свойство 5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Δ = = . Пусть элементы i-ой строки имеют общий множитель α. Так как в каждое слагаемое вида входит элемент этой строки, то все такие произведения имеют общий множитель α, который можно вынести за знак всей суммы в Δ.

Свойство доказано.

Свойство 5'. Если все элементы некоторой строки определителя Δ умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Доказательство. Пусть Δ = , причем ai1=aj1, ai2=aj2, …, ain=ajn. Вынесем элемент α из j-ой строки за знак определителя Δ. Получим: Δ = . Тогда, по свойству 4, Δ =α⋅0=0.

Свойство доказано.

Свойство 7. Если все элементы i-ой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-ой, те же, что и у данного определителя, i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых i-ой строки данного определителя, а i-я строка второго – из вторых слагаемых i-ой строки данного определителя.

Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя n-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, то есть ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 где ij.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Связь алгебраических дополнений с минорами

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами
  Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций
    Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа
  Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме
  Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра
  Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра
  Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности
  Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Определитель произведения матриц
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги