И их основные свойства. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. 1. Сложение Матриц.
Определение 16. Пусть A=(...
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой матриц А и В называется матрица С=(cij) размера m×n над полем Р, где cij=aij+bij, i=, j=, и обозначается С=А+В.
2. Умножение матрицы на скаляр.
Определение 17. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элементназывается матрица С=(сij) размера m×n над полем P, где сij= aij , j=, i=, и обозначается С=А.
3. Произведение матриц.
Определение 18. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P, B=(bij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С=(сij) размера m×k над полем P, в которой элемент сij равен скалярному произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы B, т.е.
сij=AiBj=(ai1 ... ain)⋅=ai1b1j+…+ainbnj=, i=, j=, и обозначается С=A⋅B.
4. Транспонирование матрицы.
Определение 19. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i-й строки на i-й столбец, i=. Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается tA.
Пример 1.
Если A =, то =. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то - матрица размера n×m.
Определение 20. Две матрицы A=(aij) и B=(bij) размера m×n над полем P называются равными, если aij=bij, i=, j=, и обозначаются А=В.
Определение 21. Матрица над полем P называется нулевой, если все ее элементы равны нулю, и обозначается =.
Свойство 1. Для любых матриц А и В размера m×n над полем P выполняется равенство: А+В=В+А.
Свойство 2. Для любых матриц А, В, С размера mxn над полем P выполняется равенство: А+(В+С)=(А+В)+С.
Свойство 3. Для любой матрицы А над полем P выполняется равенство: А+=+А=А.
Свойство 4. Для любой матрицы А над полем P существует матрица (-А) такая, что А+(-А)=-А+А=.
Доказательство свойств 1-4. Так как сложение матриц сводится к сложению элементов поля Р, а в поле Р сложение коммутативно и ассоциативно, существует нулевой элемент и для каждого элемента есть противоположный, то эти свойства выполняются и для матриц.
Замечание 7.Мm,n(Р) – множество всех матриц размера m×n над полем P. Из свойств 1-4 следует, что Мm,n(Р) является аддитивной абелевой группой.
Свойство 5. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение(АВ)С,то существует и произведение А(ВС),причем (АВ)С=А(ВС).
Доказательство. Пусть существует произведение (АВ)С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А(ВС).
Покажем, что (AB)C=A(BC). Пусть (АВ)С=(xij), А(ВС)=(yij), i=, j=. Покажем, что xij=yij, i=, j=. Пусть A=(aip), B=(bps), С=(сsj), АВ=R=(ris), BC=T=(tpj), s=, p=. Тогда
xij=RiCj====,
yij=AiTj====.
Таким образом, xij=yij , i=, j=. Следовательно, (AB)C=A(BC).
Свойство доказано.
Свойство 6. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда(А+В)С=АС+ВС.
Свойство 7. Если произведение AB существует, то существует произведение tB tA, причем t(AB)=tB tA.
Доказательство. Пусть существует произведение AB. Тогда А – матрица размера m×n, а В – n×k над полем Р. Следовательно, tA и tB – матрицы размера n×m и k×n соответственно. Значит, произведение tB tA сущуствует.
Покажем, что t(AB)=tB tA. Пусть AB=С=(cij), , , D=tC=(dij). Тогда dij=cji=. Пусть fij – элемент матрицы tBtA. Тогда fij=(tB)i⋅(tA)j=Bi⋅Aj=. Значит, dij=fijи t(AB)=tB tA.
Свойство доказано.
Замечание 8. Пусть Mn(P) - множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P. Из свойств операций над матрицами следует, что Mn(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно.
Свойство 8. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB=(A)B=A(B).
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
И их основные свойства.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
, j=
, и обозначается С=А+В.
P. Произведением матрицы А на элемент 
называется матрица С=(сij) размера m×n над полем P, где сij= 
=ai1b1j+…+ainbnj=
, i=
, j=
, и обозначается С=A⋅B.
, то 
=
. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то 
, и обозначаются А=В.
=
.
, p=
. Тогда
=
=
=
,
=
=
=
.
=
=
=AiCj+BiCj=yij. Следовательно, (А+В)С=АС+ВС.
, 
, D=tC=(dij). Тогда dij=cji=
. Пусть fij – элемент матрицы tBtA. Тогда fij=(tB)i⋅(tA)j=Bi⋅Aj=
. Значит, dij=fij и t(AB)= tB tA.
Новости и инфо для студентов