рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Матричные уравнения.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Матричные уравнения.

Матричные уравнения. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Определение 22. Матрица N-Го Порядка Вида ...

Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.

Замечание 9. Если А – матрица размера m×n над полем Р, то АЕ_n=E_nA=A.

Определение 23. Матрица А n-го порядка над полем Р называется обратимой, если существует такая матрица В над полем Р, что АВ=ВА=Е_n. Матрица В называется матрицей, обратной для матрицы А, и обозначается А^-1.

Определение 24. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее вектор-строки образуют линейно независимую систему; матрица А называется вырожденной (особенной), если ее вектор-строки образуют линейно зависимую систему.

Определение 24'. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если после приведения ее к ступенчатому виду в А нет нулевых строк; матрица А называется вырожденной (особенной), если после приведения ее к ступенчатому виду в А есть нулевые строки.

Определение 25. Невырожденными элементарными преобразованиями матрицы над полем Р называются:

1) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на элемент α≠0, α∈Р;

2) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на элемент α≠0, α∈Р и прибавление их к соответствующим элементам другой строки.

Замечание 10. Невырожденные элементарные преобразования матрицы также называют строчными преобразованиями.

Определение 26. Матрица E_α₍_i_,_j₎ называется элементарной матрицей, если на (i, j)-ом месте стоит элемент α, на главной диагонали – единицы, а все остальные элементы – нули.

Лемма 1. Первому элементарному преобразованию матрицы А (умножение i-ой строки на элемент α) соответствует умножение матрицы А слева на матрицу S₁= E_α₍_i_,_i₎.

Доказательство. Осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2. Второму элементарному преобразованию матрицы А (умножение i-ой строки на элемент α и прибавление к j-ой строке) соответствует умножение матрицы А слева на матрицу S₂= E_α₍_i_,_j₎.

Доказательство. Осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 3. Пусть А и В – матрицы n-го порядка. Если матрица А вырождена, то и матрица А⋅В также вырождена.

Теорема 2. Матрица А n-го порядка невырождена тогда и только тогда, когда с помощью элементарных преобразований она приводится к единичной матрице Е_n.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А невырождена. Тогда, по определению 24', после приведения ее к ступенчатому виду она не содержит нулевых строк. Следовательно, А имеет вид . Проводя рассуждения, аналогичные действиям для приведения А к ступенчатому виду, симметрично относительно главной диагонали, можно привести А к диагональной, а значит, к единичной матрице.

Достаточность. Пусть матрица А приводится с помощью элементарных преобразований к единичной. Тогда она имеет ступенчатый вид и в А нет нулевых строк. Следовательно, по определению 24', А невырождена.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть А – матрица n-го порядка над полем Р. Матрица А обратима тогда и только тогда, когда А невырождена.

Доказательство. Необходимость. Пусть А – обратимая матрица. Докажем, что матрица А невырождена. Допустим, что А – вырожденная матрица. Так как А обратима, то В: АВ=ВА=Е_n. Согласно лемме 3, из того, что матрица А вырождена следует, что матрица АВ вырождена, т.е. Е_n – вырожденная матрица. Противоречие. Следовательно, А – невырожденная матрица.

Достаточность. Пусть А – невырожденная матрица. Тогда по теореме 2 матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к матрице Е_n. В силу лемм 1 и 2, существуют элементарные матрицы S₁,…,S_p, такие, что S_p…S₂S₁A=E_n => (S_p…S₂S₁)A=E_n. Пусть S_p…S₁=B. Тогда BA=E_n (1). Допустим, что В – вырожденная матрица. По лемме 3, ВА – вырожденная матрица и, значит, Е_n – вырожденная матрица. Противоречие. Следовательно, В – невырожденная матрица. По теореме 2, матрица В с помощью элементарных преобразований приводится к матрице Е_n. Тогда, как и выше, существует матрица С, такая что СВ=Е_n (2). Следовательно, по замечанию 9, C=СЕ_n=C(BA)=(CB)A=E_nA=A , т.е. C=A. Следовательно, AB=E_n (3). Из (1) и (3) получаем АВ=ВА=Е_n и А – обратимая матрица.

Теорема доказана.

Теорема 4. Если А и В – невырожденные матрицы одинаковых порядков, то произведение АВ – тоже невырожденная матрица, причем (АВ)^-1=В^-1А^-1.

Замечание 11. Из доказательства теоремы 3 следует, что (S_p…S₂S₁)A=E_n (4) и BЕ_n=B , т.е. (S_p…S₁)E_n=A^-1 (5). Из (4) и (5) получаем, что если элементарные преобразования, соответствующие матрицам S_p,…,S₁, приводят матрицу А к матрице Е_n, то эти же элементарные преобразования приводят матрицу Е_n к матрице А^-1. Отсюда вытекает алгоритм вычисления обратной матрицы:

1) составить матрицу вида (А|Е_n).

2) привести в матрице (А|Е_n) подматрицу А к единичной матрице Е_n. При этом, подматрица Е_n, стоящая справа, будет приведена к матрице А^-1, т.е. получим матрицу (Е_n|А^-1).

Матричные уравнения.

Простейшие матричные уравнения имеют вид: 1) AX=B, 2) XA=B, 3) AXB=C, где А,В,С – некоторые матрицы.

Если А^-1, то в случае 1) X=A^-1B, в случае 2) X=BA^-1, в случае 3) XB=A^-1C. Если B^-1, то в случае 3) X=A^-1CB^-1.

Если А^-1 не существует, то в случаях 1) и 2) матрица X находится следующим образом:

– определяется размерность X;

– записывается X в общем виде;

– перемножаются А и X и, используя определение равенства матриц, записывается и решается система линейных уравнений.

6. Перестановки n-й степени.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами.

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Матричные уравнения.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств.
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение.
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции.
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена.
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности.
Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов.
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов.
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена.
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры.
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства.
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков.
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера.
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=