Теорема о делении с остатком для многочленов. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Теорема 17. Пусть F – Поле, F(X),...
Теорема 17.Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)0. Тогда существуют единственные многочлены q(x), r(x)F[x] такие, что f(x)=g(x)·q(x)+r(x), причем deg r(x)<deg g(x).
Доказательство. 1. Существование. Если f(x)=0, то q(x)=0, r(x)=0, причем deg r(x)= −< deg g(x)0. Если deg f(x)<deg g(x), то q(x)=0, r(x)=f(x), причем deg r(x)=deg f(x)<deg g(x).
Пусть f(x)0 и deg f(x)deg g(x). Пусть f(x)=ao+a1x+…+anxn, g(x)=bo+b1x+…+bmxm. Тогда n≥m. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.
1) Пусть n=0. Тогда f(x)=ao и, так как n≥m, то g(x)=bo, причем deg r(x)= −<0=deg g(x).
2) Предположим, что утверждение верно для любого многочлена степени, меньшей n.
3) Докажем утверждение для многочлена степени n.
Умножим почленно многочлен g(x)=bo+…+bmxmна bm-1∙anxn-mи вычтем из f(x)=ao+…+anxn . Получим:
h(x)=f(x)-g(x)∙bm-1∙anxn-m=ao+а1x+…+anx-b0bm-1anxn-m-…-anxn= ao+а1x+…-b0bm-1anxn-m-…. Таким образом, h(x) - многочлен степени, меньшей n. Следовательно, по предположению индукции, q1(x), r1(x)F[x]: h(x)=g(x)∙q1(x)+r1(x), где deg r1(x)<deg g(x). Тогда
f(x)-g(x)=g(x)∙q1(x)+r1(x) и , причем deg r(x)<deg g(x).
Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого n∈ℕ∪{0}.
2. Единственность. Пусть f(x)=g(x)∙q1(x)+r1(x) (1) и f(x)=g(x)∙q2(x)+r2(x) (2). Покажем, что q1=q2, r1=r2. Вычтем из равенства (1) равенство (2): 0=g(x)(q1-q2)+(r1-r2) r2-r1=g(x)(q1-q2) (3).
Допустим, что q1-q20. Согласно теореме 13, F[x] - область целостности. Поэтому в F[x]нет делителей нуля и из (3) следует, что . Тогда, с одной стороны,
deg(r2-r1), т.е..
С другой стороны, , т.е. deg (r2-r1)<deg g. Противоречие. Следовательно, .
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теорема о делении с остатком для многочленов.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
F[x], g(x)
0. Тогда существуют единственные многочлены q(x), r(x)
< deg g(x)
deg g(x). Пусть f(x)=ao+a1x+…+anxn, g(x)=bo+b1x+…+bmxm. Тогда n≥m. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.
, причем deg r(x)= −
q1(x), r1(x)
, причем deg r(x)<deg g(x).
r2-r1=g(x)(q1-q2) (3).
. Тогда, с одной стороны,
, т.е. 
.
, т.е. deg (r2-r1)<deg g. Противоречие. Следовательно, 
.
Новости и инфо для студентов