Плоская задача теории упругости

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. Кафедра сопротивления материалов и теории упругости. Расчетно-проектировочная работа Плоская задача теории упругости Выполнил Студент гр. 163 А.В.Троханов Проверила Т.П. Виноградова Н.Новгород 2002 г. Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см. Схема закрепления пластины.Задаваясь функцией напряжений, общий вид которойФ х,у а1х3у а2х3 а3х2у а4х2 а5ху а6у2 а7ху2 а8у3 а9ху3 Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений х, у, ху объемные силы не учитывать и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически на миллиметровке перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме.

Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу. Расчет.Дано а3 1 3, а4 1 Е 0,69 106 кг см2 0,33 Решение 1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению. Ф х,у Поскольку производные -бигармоническое уравнение удовлетворяется. 2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю. х у ху 3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям. 4.Проверяем равновесие пластины Уравненения равновесия х 0 - Т5 Т6 0 0 0 y 0 Т4 Т3 Т2-Т1-N2 N1 0 0 0 M 0 M T4T3 -M T2T1 0 0 удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии. 5.Для точки А с координатами 5 5 найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А. В этой точке напряжения в основных площадках. х 0, у -1,33, ху 3,33, Найдем главное напряжение по формуле -0,6653,396 кгс см2 max I 2,731 МПа min II -4,061 МПа Находим направление главных осей. I 39,36o II -50,64o 6.Определяем компоненты деформации 7.Находим компоненты перемещений Интегрируем полученные выражения у , х -некоторые функции интегрирования или После интегрирования получим где с1 и с2 - постоянные интегрирования С учетом получения выражений для у и х компоненты перемещений имеет вид Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины 1 v 0 или 2 v 0 или 3 u 0 или Окончательные выражения для функций перемещений u и v Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 координаты Х см -10 0 10 10 10 0 -10 -10 0 У см 10 10 10 0 -10 -10 -10 0 0 V 10-4 3,8 0,77 0,58 -0,19 0 0,19 3,2 3,1 0 U 10-4 -3,1 -3,5 -3,9 -1,9 0 -0,23 -0,45 -1,8 -1,9 Масштаб ь длин в 1см - 2см ь перемещений в 1см - 1 10-4см.