О физическом смысле векторного потенцила электромагнитного поля

О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Сидоренков В.В. МГТУ им. Н.Э. Баумана Показано, что поле электромагнитного векторного потенциала как физическая величина представляют собой полевой эквивалент локальных ха-рактеристик микрочастицы: ее электрическому заряду, кратному кванту электрического потока - заряду электрона, соответствует электрическая компонента векторного потенциала, а удельному (на единицу заряда) кине-тическому моменту, кратному кванту магнитного потока, отвечает маг-нитная компонента векторного потенциала.

Полевая концепция природы электричества является фундаментальной основой классической электродинамики [1] и базируется на признании того факта, что взаимодействие разнесенных в пространстве электрических заря-дов осуществляется с помощью электромагнитных полей.Свойства этих по-лей описываются системой электродинамических уравнений Максвелла, от-куда непосредственно следуют и понятия электрического и магнитного век-торных потенциалов, физический смысл которых, несмотря на определенный прогресс в установлении их физической значимости в приложениях кванто-вой механики [2, 3] и электродинамики [4, 5], по сей день остается по суще-ству так и не выясненным.

Попытаемся разобраться в этом вопросе, для чего воспользуемся сис-темой указанных уравнений электромагнитного поля [1]: (a) , (b) , (c) , (d) . (1) включающей в себя так называемые материальные соотношения: , , , описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей.

Здесь и  векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные с соответствующими векторами индукции и ,  вектор плотности электрического тока,  объемная плотность стороннего заряда, и  электрическая и магнитная постоянные, , и  удельная электрическая проводимость и относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, соответственно. Представления о векторных потенциалах возникают как следствие то-го, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю. По-этому магнитный векторный потенциал можно ввести посредством ди-вергентного соотношения системы уравнений (1), а электрический  соотношением , описывающим поляризацию локально электро-нейтральной среды: а) , (b) . (2) Однозначность функций векторных потенциалов, то есть чисто вихре-вой характер таких полей, обеспечивается условием калибровки: . Видно, что с физической точки зрения рассматриваемые потенциалы являют-ся поляризационными потенциалами.

Тогда подстановка соотношения (2a) в уравнение вихря электрической напряженности (1а) приводит к известной формуле [1, 2] связи поля вектора указанной напряженности с магнитным векторным потенциалом: , (3) описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея.

Электриче-ский скалярный потенциал: здесь не рассматривается, как не имеющий отношения к обсуждаемым в работе вихревым полям.При аналогичной подстановке соотношения (2b) в уравнение вихря магнитной напряженности (1c) с учетом закона Ома процесса электропро-водности получаем в итоге связь этой напряженности с электри-ческим векторным потенциалом: , (4) где  постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности.

Таким образом, согласно соотношениям (3) и (4), векторные потенциалы – это не математические фикции, а физиче-ски значимые фундаментальные поля, порождающие традиционные вихре-вые электромагнитные поля. Подробное обсуждение физической значимости векторных потенциалов в классической электродинамике представлено в ра-ботах [4, 5]. Поскольку взаимодействие электрических зарядов реализуются по-средством электрических и магнитных полей, то физически нетривиально предположить, что порождающие эти поля векторные потенциалы как физи-ческие величины есть первичные полевые характеристики самого заряда, его полевой эквивалент. Для обоснования правомерности такого предположения рассмотрим конкретные аргументы, позволяющие, наконец, разрешить про-блему физического смысла электромагнитных векторных потенциалов, кото-рую для магнитного вектор-потенциала обсуждал еще Максвелл при анализе своих электродинамических уравнений ([6] п. 590). Как известно, физические представления об электрическом заряде имеют на микроуровне существенное дополнение: элементарная частица ха-рактеризуется не только значением заряда , кратного заряду электрона , но и спином , трактуемым как собственный момент количества дви-жения (кинетический момент) частицы.

Величина этого момента квантована значением , где h  постоянная Планка.

Согласно нашему предположению, сопоставим эти локальные характеристики микрочастицы и ее некое собст-венное первичное электромагнитное поле. Так, например, для электрона электрическая компонента этого поля соответствует кванту электрического потока  заряду e, а магнитная компонента – величине его удельного (на еди-ницу заряда) кинетического момента , определяющей, как известно (на-пример, [2]), квант магнитного потока.

Наша задача показать далее, что вве-денное здесь гипотетическое собственное поле микрочастицы (совокупно, и макрообъекта) является именно полем электромагнитных векторных потен-циалов.

Вначале рассмотрим электрический векторный потенциал . Для это-го соотношение (2b) связи вектора электрической индукции и вектор-потенциала для большей наглядности и математической общности предста-вим в интегральной форме: = . (5) Эти интегральные соотношения устанавливают физически содержа-тельное положение о том, что величина циркуляции вектора по замкну-тому контуру С определяется электрическим потоком через поверхность , опирающейся на этот контур, следовательно, поляризационным электри-ческим зарядом , индуцированным на указанной поверхности.

Отсю-да, в частности, следует определение поля вектора электрического смещения , по величине равного плотности поляризационного заряда на пробной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максимальное значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора . Определение как потокового вектора показывает его принципиальное отличие от линейного (циркуляционного) вектора напряженности , являю-щегося силовой характеристикой электрического поля. Таким образом, согласно соотношению (5), электрическому заряду отвечает его полевой эквивалент - поле электрического векторного потен-циала , размерность которого есть линейная плотность электрического заряда.

В итоге, с целью реализации нашего предположения введем понятие первой фундаментальной корпускулярно-полевой пары с единица-ми измерения в системе СИ Кулон Кулон/метр. Здесь и далее обсуждаются именно размерности физических величин, а использование в рассуждениях конкретной системы единиц их измерения не принципиально. Корпускулярно-полевые представления подтверждаются и соотноше-нием (4) связи напряженности магнитного поля и электрического вектор-ного потенциала с единицей измерения Ампер/метр, которое есть ни что иное, как полевой эквивалент полного электрического тока (то-ков проводимости и смещения), величина (сила тока) которого имеет едини-цу измерения Ампер. Как видим, сопоставление соотношения (4) для вихре-вых полей и с понятием силы электрического тока снова приводит к корпускулярно-полевой паре Ампер Ампер/метр, являющуюся очевидным прямым физическим следствием первой фундаментальной пары. Перейдем теперь к магнитному векторному потенциалу и проанализи-руем соотношения связи поля вектора с полями векторов магнитной ин-дукции (2a) и электрической напряженности (3). Данные соотношения, несмотря на свою широкую известность [1, 2, 6], как нам представляется, трактуют не совсем корректно, поскольку в них исходно неверно определена размерность вихревого поля магнитного векторного потенциала  импульс на единицу заряда.

Попытаемся далее аргументировано обосновать это чрезвы-чайно серьезное, но пока декларативное критическое заявление о физической размерности вектора . Начнем с общеизвестного.

Поскольку вектор электрической напряжен-ности измеряется в системе СИ как Вольт/метр, либо математически (но не физически) тождественно Ньютон/Кулон, то, согласно соотношению (3) связи магнитного векторного потенциала с вектором , единица изме-рения вектора будет (Ньютон•сек)/Кулон, то есть имеет размерность им-пульс на единицу заряда.

Следовательно, соотношение (3) можно назвать по-левым аналогом уравнения динамики поступательного движения в механике (II закон Ньютона). Действительно, указанную выше размерность магнитного векторного потенциала, другими словами, его физический смысл находят в работе [2] при анализе действия вихревого поля вектора на точечный электрический заряд посредством именно II закона Ньютона, обычного ме-ханического.

Однако обобщать такие выводы, полученные в рамках уравне-ния динамики поступательного движения, на случай макрообъекта (в виде совокупности взаимодействующих точечных зарядов), находящегося в вих-ревых полях, мягко говоря, весьма сомнительно. Для прояснения сложившейся ситуации рассмотрим далее соотноше-ние (2а), которое представим для большей наглядности в интегральной фор-ме: . (6) Видно, что величина циркуляции вектора по контуру С определя-ется магнитным потоком через поверхность SC и имеет единицу измере-ния в СИ Вебер = (Джоуль∙секунда)/Кулон, что соответствует модулю мо-мента импульса на единицу заряда.

При этом размерность магнитного век-торного потенциала может быть двоякой: либо указанная выше импульс на единицу заряда, либо ей альтернативная линейная плотность момента импульса на единицу заряда.

Конечно, с формальной точки зрения обе раз-мерности вектора , выраженные через единицы измерения, математиче-ски тождественны, но физически это принципиально различные величины.

Целесообразно отметить, что сам Максвелл призывал ответственно от-носиться к математическим операциям над векторами электромагнитного по-ля и физической трактовке таковых. Вот его слова: “В науке об электричест-ве электродвижущая и магнитная напряженности принадлежат к величи-нам первого класса – они определены относительно линии. … Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принад-лежат к величинам второго класса – они определены относительно площа-ди”. ([6] п. 12). И далее более конкретно: “В случае напряженности следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряженности вдоль этого элемента. … В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый ее эле-ментов”. ([6] п. 14). Не преувеличивая, трактат Максвелла можно назвать физическими основами математического анализа, поскольку в нем свойства используемых математических моделей максимально подчинены стремле-нию автора адекватно описать физические представления о рассматриваемых явлениях. Однако, к сожалению, в настоящее время даже в учебной литера-туре повсеместно встречается “ ” и “ ”, “ ” и “ ”. Такое формальное использование математики попросту игнорирует физическое со-держание соотношений электродинамики, создает путаницу физических по-нятий, мешая действительно разобраться в них. Все это усугубляется приме-нением абсолютной системы единиц СГС, когда безразмерные коэффициен-ты 0 = 1 и 0 = 1 делают векторы и , и сущностно тождествен-ными, где Эрстед и Гаусс равны в пустоте, а в средах различаются только численно.

О предпочтительности в классической электродинамике междуна-родной системы единиц физических величин СИ в сравнении с абсолютной системой единиц СГС говорится также в работах [4, 5]. Для нас здесь существенно то, что, согласно Максвеллу, в электроди-намике циркуляционные (линейные) векторы и имеют размерность ли-нейной плотности физической величины, а потоковые векторы , и – ее поверхностной плотности.

В частности, размерность вектора магнитной индукции равна поверхностной плотности момента импульса на единицу заряда, в системе СИ  Тесла. Экспериментально это ярко иллюстрируется эффектом Эйнштейна-де Гааза [1], где в материальной среде при ее однород-ном намагничивании возникает механический момент вращения, направлен-ный коллинеарно полю, обусловленный упорядочением собственных маг-нитных моментов, соответственно, моментов количества движения электро-нов в атомах вещества среды.

Следовательно, поле вектора выявляет в среде момент импульса, порождающий ее вращение.

Поэтому, согласно со-отношению (2а), размерностью вихревого поля магнитного векторного по-тенциала следует считать линейную плотность момента импульса на единицу заряда.

Итак, в формулах (6) локальной характеристике микрочасти-цы  моменту импульса на единицу заряда сопоставляется его полевой экви-валент  магнитный векторный потенциал , что дает вторую фундамен-тальную корпускулярно-полевую пару, которую, например, для электрона  можно записать как с единицами измерения (Джоуль∙секунда)/ Кулон (Джоуль∙секунда)/(Кулон&#8 729;метр). Вернемся к соотношению (3) связи вектора с вектором . Как те-перь здесь показано, размерность вихревого поля вектора электрической на-пряженности однозначно равна линейной плотности момента силы на единицу заряда, что естественно нисколько не опровергает единицу измере-ния этого вектора Вольт/метр, а лишь уточняет ее физический смысл.

Таким образом, в действительности соотношение (3) представляет собой полевой аналог основного уравнения динамики вращательного движения твердого те-ла в механике, что полностью согласуется с рассмотренными выше корпус-кулярно-полевыми представлениями.

Подводя итог, с приходим к заключению, что векторные потенциалы – это не математические фикции, а фундаментальные первичные поля, по-скольку именно они порождают традиционные вихревые электромагнитные поля в классической электродинамике.

Важно при этом подчеркнуть, что с точки зрения проявления физических свойств [4, 5] рассматриваемые потен-циалы логично называть поляризационными потенциалами. Установленная здесь принципиальная двойственность физических параметров электрическо-го заряда говорит о реальном существовании «корпускулярно-полевого дуа-лизма» природы электричества, у которого, в отличие от схожего лишь по названию «корпускулярно-волнового дуализма» в квантовой механике, кон-тинуальные компоненты являются векторным полем, и он реализуется на микро- и макроуровнях строения материи.

Фундаментальность концепции указанного дуализма обусловлена тем, что локальные характеристики мик-рочастицы (совокупно, и макрообъекта) находятся в неразрывной связи с их собственными полевыми параметрами: электрическому заряду, кратному кванту электрического потока  заряду электрона |e-|, соответствует электри-ческий векторный потенциал , а ее удельному (на единицу заряда) кине-тическому моменту, кратному кванту магнитного потока , отвечает маг-нитный векторный потенциал . В качестве конкретной иллюстрации вы-шесказанного имеем из (5) и (6) для точечного заряда, например электрона, следующие выражения: и . где и  орты сферической системы координат.

Как видим, полученные результаты представляют общефизический ин-терес, требуют дальнейшего серьезного развития и, в частности, могут слу-жить вместе с материалом работ [4, 5] непосредственным введением в новую перспективную область исследований связи классической электродинамики с микромиром.

Литература: 1. Матвеев А.Н. Электродинамика М.: Высшая школа, 1980 383 с. 2. Антонов Л.И Миронова Г.А Лукашёва Е.В Чистякова Н.И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики / Препринт № 11 М.: Изд-во МГУ, 1998 47 с. 3. Патент РФ № 2101842. Способ обработки субстрата в поле магнитного векторного потенциала и устройство для его осуществления / В. Кропп. 4. Сидоренков В.В. Развитие физических представлений о процессе электри-ческой проводимости в металле // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Сер. Ес-тественные науки 2005 № 2 С. 35-46. 5. Сидоренков В.В. Обобщение физических представлений о векторных по-тенциалах в классической электродинамике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Бау-мана. Сер. Естественные науки 2006 № 1 С. 28-37. 6. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2-х томах М.: Наука, 1989.