Пространственное вращение

Пространственное вращение Пространственное вращение – один из важнейших видов периоди¬ческого движения в стационарных квантовых системах. Напомним, что в классической механике наиболее рациональное описание такого дви¬жения достигается при использовании сферической системы координат, с которой мы и начнём свой анализ.Сферическая система координат 1. Сферическая система координат хорошо известна из географии и астрономии. Положение частица на сфере в этом случае определяется с помощью широты и долготы, которые задаются посредством двух углов и , отсчитываемых относительно фиксированных осей, например, декартовых, как это показано на рис. 2. Вводя рас¬стояние от центра вращения, переменный радиус r , получаем третью координату, необходимую для описания пространственного вращатель¬ного движения Шаровые координаты: Декартовы координаты: (4.28) Рис. 2. Сферическая система координат При описании переменных данной задачи обязательно следует указать пределы их изменения или или или 2. Вычисление элемента объема в сферической системе ко¬ординат проиллюстрируем рис. 2. Величина dV понадобится нам в дальнейших расчётах. (4.29) 2. Преобразование оператора Лапласа 1. Лапласиан – основа выражения оператора кинетической энергии и, следовательно, гамильтониана . Поэтому проследим подробно всю схему его преобразования при замене декартовой системы координат на сферическую.

С подобной , но более простой процеду¬рой мы уже имели дело при рассмотрении плоского ротатора. 2. В теории поля лапласиан является скалярным произве¬дением вектор-оператора Гамильтона "набла" самого на себя– скаляр¬ным "квадратом" : Поэтому вначале преобразуем оператор "набла" . (4.30) В соответствии с (4.28) x,y,z выражаются как функции сфе¬рических координат , поэтому производные, составляющие оператор "набла", предстанут в следующем виде (4.31) 3. Наборы частных производных в (4.30) образуют квадрат¬ную матрицу коэффициентов, при умножении на которую происходит пе¬реход от одного базисного вектор-столбца к другому: (4.32) Вычислим все производные, являющиеся элементами квадратной матрицы, дифференцируя выражения (4.28) или (4.33) Напомним, что перемножение матриц подчиняется правилу "строка на столбец". В итоге элементы искомого вектор-столбца предстанут в виде суммы: (4.34) (4.35) (4.36) 4. Следующий этап преобразований – построение оператора Лапласа в переменных . (4.37) Для этого, согласно уравнению (4.35), необходимо перемножить сами на себя выражения операторов однократного дифференцирования по координатам х,у,z через сферические переменные (4.32)–(.4.34) и затем взять сумму этих произведений. При этом следует учитывать, что перемножаются не числа, а операторы, и действие оператора из левой скобки на каждое слагаемое правой выполняется по правилам, аналогичным правилам дифференцирования произведения функций, т.е. (4.38) 4.3.2.5. Ход преобразований продемонстрируем на примере одно¬го из слагаемых лапласиана, например при этом, для сохранения упорядоченного характера записи выпишем новые слагаемые, получающиеся в результате дифференцирования, в столбец под каждым преобразуемым выражением. Это в некотором роде изменение привычного математического синтаксиса, цель которого – порядок и наглядность в записи Cуммируя, получаем . (4.37) 6. Аналогично получаются другие слагаемые лапласиана. Результаты преобразований представлены в таблице 4.2. В её левом столбце перечислены слагаемые оператора Лапласа в декартовых координатах, а в верхней строчке – все операторы дифференцирования первого и второго порядков по всем сферическим переменным , включая перекрёстные, которые возникают в ходе преобразований.

На пере¬сечении строк и столбцов указаны коэффициенты перед последними – функции от , которые получаются при преобразовании слагаемых лапласиана, стоящих в левом столбце.

Самая нижняя строчка представляет суммы по столбцам.

Домножая эти суммы справа на соответствующие операторы верхней строки и суммируя результаты, получаем окончательное искомое выражение оператора Лапласа в сферической систе¬ме координат: (4.38) 7. Сгруппируем некоторые из слагаемых в (4.38) для более компактной записи (4.39) , (4.40) В результате лапласиан приобретает вид (4.41) Таблица 2. Коэффициенты преобразования оператора Лапласа. 0 1 0 Табл. 1. Продолжение. 8. Отдельные фрагменты лапласиана, построенные на раз¬ных переменных, удобно обозначить самостоятельными символами.

Для краткости переменные отметим в качестве индексов (4.42) (4.43) . (4.44) Вся чисто угловая часть лапласиана, заключенная в скобки в формуле (4.41) называется оператором Лежандра . (4.45) В целом же лапласиан оказывается такой комбинацией трёх операторов, которая обеспечивает далее разделение переменных во многих дифференциальных уравнениях, в том числе и в уравнении Шредингера, построенных на его основе: (4.46) 4.3.2.9. Напомним, что с оператором (4.44) составляющим самую внутреннюю часть конструкции и оператора Лапласа, и опе¬ратора Лежандра мы уже имели дело при рассмотрении одномерного вращения (раздел 3.2.). Были найдены его собственные волновые функции, которые далее войдут в качестве одного из сомножителей общих собственных функций этих операторов.

Присутствие радиального слагаемого в этом случае заставляет представить оператор кинетической энергии в виде суммы (4.50) 4.3.3.3. В силу того, что оператор кинетической энергии частицы отличается от лапласиана только множителем (см. уравнение 2.15), домножив на него формулу (4.46), получим (4.51) Сравнивая формулы (4.50) и (4.51), приходим к фундаменталь¬ному соотношению , (4.52) т.е. оператор квадрата момента импульса совпадает с оператором Лежандра с точностью до постоянного множителя . Заметим, что размерность собственных значений оператора совпадает с размер¬ностью постоянной Планка . 4.3.3.4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов и . Процедура перехода к сферическим координатам для компонент аналогична той, что была осуществлена в разделе 3.2.2. при перево¬де к плоской полярной системе координат.

Кстати говоря, в сфери¬ческих координатах имеет тот же самый вид (3.24). Используя уравнения (4.52) и (4.34), читатель сам легко получит выражения (4.53) (4.54) (3.24) Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (4.52), которая в развернутой форме с учетом (4.45) имеет вид (4.55).