рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Работы относятся к первой части курса Исследование операций – к теории массового обслуживания и надежности

Работы относятся к первой части курса Исследование операций – к теории массового обслуживания и надежности - Лабораторная Работа, раздел Науковедение, 519.2 (075) Б 801   Удк: 519.8 (075.6) ...

519.2 (075)

Б 801

 

УДК: 519.8 (075.6)

 

Бомас В.В., Ескин В.И., Красовская М.А. Лабораторные работы по курсу “Исследование операций” – М.: Изд-во МАИ, 1992. – 28 с.: ил.

 

Работы относятся к первой части курса “Исследование операций” – к теории массового обслуживания и надежности. Выполнение работ ориентировано на применение ЭВМ и требует навыков программирования.

Пособие предназначено для студентов МАИ, специализирующихся по АСУ, а также может быть полезно студентам других специальностей, изучающих исследование операций.

 

Рецензенты: Дмитриев О.Н., Трубин В.В.

 

© Московский авиационный институт, 1992


 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Представлены четыре лабораторные работы. Работа № I посвящена исследованию нестационарного режима в марковской системе массового обслуживания (СМО); работа № 2 – исследованию немарковской СМО методом имитационного моделирования; в работе № 3 исследуется надежность резервированной восстанавливаемой системы методами теории массового обслуживания; в работе № 4 исследуется СМО и оптимизируются их параметры.

Все лабораторные работы носят характер исследования и выполняются с применением ЭВМ, что требует от студентов определенных навыков программирования.

В конце каждой работы приводятся контрольные вопросы для самопроверки.

Основой для настоящего пособия послужило руководство к лабораторным работам “Модели массового обслуживания” под редакцией Бомаса В.В. (М., МАИ, 1985 г.).

Работа № I написана Бомасом В.В. и Красовской М.А., работа № 2 – Ескиным В.И., № 3 – Бомасом В.В., № 4 – Бомасом В.В. и Красовской М.А. Авторы приносят свою благодарность П.А. Босину, который принял большое участие в постановке работ № 2 и 3.

 

 


 

Р а б о т а № I.

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В МАРКОАВСКОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

 

Цель работы – изучение методов исследования нестационарного режима в марковской СМО с ограниченной длиной очереди (типа M/M/I) и оценка влияния параметров СМО на длительность переходного процесса.

 

Прядок выполнения работы.

 

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для одноканальной СМО с одним местом ожидания в очереди (типа M/M/I) аналитическим методом рассчитать вероятность того, что к моменту t в системе будет ровно к требований. Обозначить эту вероятность Pk(t). Аналогичные расчеты провести численным методом на ЭВМ и оценить достигнутую точность численного метода.

3. Для заданного варианта СМО исследовать зависимость длительности переходного процесса в СМО от ее параметров. При расчетах принять в качестве времени окончания переходного процесса в системе время, за которое все реализации Pk(t) вошли в 5%-ю трубку от установившегося состояния.

4. Построить графики, на которых изобразить результаты, полученные в пп. 2 и 3.

5. Рассчитать на ЭВМ математическое ожидание числа занятых каналов и среднюю длину очереди в переходном режиме и сравнить результаты с аналогичными значениями в установившемся режиме.

6. Оформить отчет, в котором привести результаты машинного и ручного счета, графики.

7. Ответить на контрольные вопросы.


Основные положения

 

Аналитическое исследование СМО

с конечным числом состояний.

Имеется n-канальная СМО, на вход которой поступает простейший по­ток требований с интенсивностью l. Время обслуживания в каждом канале распределено по экспоненциальному закону с параметром m (интенсивность процесса обслуживания). Максимальная длина очереди ограничена числом m. Если хотя бы один канал свободен, то пришед­шее требование сразу поступает на обслуживание. Когда каналы заня­ты, пришедшее требование становится в очередь. Если же в очереди уже находятся m требований, то вновь пришедшее требование полу­чает отказ в обслуживании и покидает систему. Происходит потеря требования.

Обозначим K(t) - число требований, находящихся в СМО в мо­мент времени t. Для описания процесса K(t) необходимо знать вероятности Pk(t)=P{K(t)=k}, где 0£k£ n+m.

В данной системе процесс K(t) можно рассматривать как процесс размножения и гибели. В результате вероятности состояний системы описываются следующими уравнениями [1]:

(1.1)

Исследуемая СМО имеет конечное число состояний и, следова­тельно, при достаточно длительном функционировании должна входить в режим статистического равновесия. Этот режим, как известно, ха­рактеризуется стационарным распределением вероятностей, не завися­щим от начальных условий: для всех k=0,1,…,n+m.

Для тех СМО, период функционирования которых столь велик, что большую его часть они находятся в состоянии статистического равновесия, бывает достаточно ограничиться стационарным распреде­лением вероятностей и, исходя из него, вычислить все показатели эффективности СМО. Однако поведение многих СМО представляет ин­терес в период, непосредственно следующий за началом функциониро­вания (в частности, тех СМО, период функционирования которых не­велик). Для таких систем необходимо изучение их в нестационарном режиме, предшествующем режиму статистического равновесия. Кроме того, обосновано ограничиться исследованием только режима статистического равновесия можно лишь в том случае, если известно, когда он наступает. Для этого также необходимо изучение нестацио­нарного режима.

Анализ нестационарного режима можно провести, решив систе­му (1.1). Ее удобно решать с помощью преобразований Лапласа. Обо­значим

(1.2)

В качестве начальных условий примем

(1.3)

Применяя преобразования Лапласа к системе (I.I) и учитывая, что

имеем

(1.4)

Система (1.4) содержит n+m+1 алгебраических уравнений. Она может быть разрешена с использованием правил Крамера:

,

где D(s) – главный определитель системы (1.4); Dk(s) – присоединенный определитель, полученный из главного определителя D(s) путем замены его k-го столбца (т.е. столбца, состоящего из коэффициентов при искомом изображении Pk(s)) столбцом, состоящим из правых частей системы (1.4).

Главный определитель системы D(s) можно вычислить, исполь­зуя рекуррентную процедуру последовательного разложения определителя по столбцам и строкам.

Как известно, наибольшие трудности применения такого метода решения системы дифференциальных уравнений заключены в отыскания оригинала по изображению. Эта задача упрощается в связи с тем, что изображение (1.5) имеет дробно-рациональную форму. Можно показать [2], что обратное преобразование Лапласа для данной задачи имеет вид:

(1.5)

где Si - значение i-го корня полинома DI(s).

DI(s) находится из соотношения D(s)=SDI(S).

Учитывая, что при S®0 имеет место t®¥, а также, что Sk<0 для всех k=1,2,...,n+m, первое слагаемое выраже­ния (1.5) можно трактовать следующим образом:

Это означает, что первое слагаемое в формуле для Pk(t) отве­чает финальной вероятности Pk, а второе - описывает изменение ве­роятности Pk(t) в нестационарном режиме.

Полином DI, корни которого надо найти, имеет порядок n+m. Следовательно, в большинстве практических случаев аналитическое исследование нестационарного режима описанным методом сопряжено с решением алгебраических уравнений высокого порядка. В этих случаях наиболее употребительным способом поиска корней является ме­тод итераций (последовательных приближений).

На основании сказанного можно сделать вывод, что аналитичес­кое исследование нестационарного режима в многоканальных СМО чрез­вычайно трудоемко, а в случаях, когда число каналов и мест в оче­реди достаточно велико, в силу технических трудностей не может осуществиться без применения вычислительной техники.

Поэтому при решении задач такого рода наряду с аналитическими (а иногда и вместо них) необходимо пользоваться и численными мето­дами исследования.

Пример.

Рассмотрим одноканальную систему с одним местом ожи­дания (n=1, m=1). Уравнения для вероятностей состояний такой системы имеют вид

Преобразование Лапласа приводит к системе трех алгебраических уравнений:

Определитель системы

Приравнивая D(s) к нулю, находим полюса изображения Pk(s), k=0,1,2:

Так как l>0 и m>0, то S1 и S2 отрицательны и различны. Теперь вычислим присоединенные определители Dk(s):

Согласно правилу Крамера имеем

Для определения оригинала необходимо вычислить производную выражения, стоящего в знаменателе в квадратных скобках.

Имеем

Запись выражений для оригиналов Pk(t) в общем случае громоздка, хотя принципиально легко выполнима. Поэтому вычислим вероят­ность Pk(t) для конкретных значений l и m. Однако предвари­тельно проверим правильность полученных выражений. Отношение поли­номов Dk(0)/DI(0) представляет собой вероятность k-го состоя­ния в режиме статистического равновесия, т.е. финальную вероят­ность Pk(¥)=Pk. Эти вероятности должны отвечать нормирующему условию . Кроме того, как следует из анализа стационарного режима, для них должны выполняться соотношения

Имеем

Требуемые соотношения выполняются.

Вычислим вероятности состояний в переходном режиме, полагая l = 5, m = 10. Промежуточные результаты расчета приведены в табл. I.I.

Произведя вычисления с точностью до одной сотой, получим

 

Т а б л и ц a I.I

k Sk D0(Sk) D1(Sk) D2(Sk)
-7,93 14,14 -35 10,4
-22,07 -14,14 -60,4

 

Для наглядности полученные зависимости изображены на рис. I, откуда видно, что, начиная примерно с t = 0,8, в системе устанав­ливается стационарный режим.

 

Pk(t)

 

 

 
 


10 0,73

 

 

P0(t)

0,6

 

0,22 P1(t)

0,2 0,06 P2(t)

0 t

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

 

Рис. I.

 

При оценке этих ре­зультатов следует иметь в виду, что время измеряется в условных единицах, точ­нее – в тех же единицах, которые были использованы при задании интенсивностей l и m. Так, например, если l = 5 следует понимать как 5 требований в минуту, то стационарный режим в системе наступает примерно через 50 с после начала функционирования, если же l = 5 означает 5 требований в сутки, то стационарный режим возникает спустя 19,2 ч.

Имея распределение вероятностей, можно для фиксированного значения t находить числовые характеристики эффективности функционирования системы. Так, например, при t = 0, I вероятность того, что канал занят, равна p(0, I) = 0,22, вероятность отказа Pотк(0, I) = 0,05, среднее число занятых каналов a(0, I) = I.

 

Исследование численным методом.

Как уже отмечалось, как правило, в силу высокого порядка системы дифференциальных уравнений (I.I) анализ нестационарного режима работы СМО аналитическим методом чрезвычайно затруднен. В этих случаях используют численный метод интегрирования системы (I.I) на ЭВМ с помощью известных методов Рунге - Кутты, Эйлера и т.д. Инструкцию по работе с программой для исследования нестационарного режима марковских СМО получить у преподавателя.

Контрольные вопросы.

1. Какие случайные процессы называются марковскими? Какова специфика математического описания этих процессов?

2. Почему процесс обслуживания в СМО типа M/M/n является марковским?

3. К какому типу принадлежат дифференциальные уравнения для вероятностей Pk(t) ?

4. Поясните применительно к рассматриваемой системе условия существования стационарного режима (режима статистического равновесия).

5. В чем состоят затруднения при исследовании нестационарного режима?

6. Какие возникают трудности при аналитическом исследовании нестационарного режима с помощью преобразований Лапласа?

7. В чем заключается основное ограничение в применении этого метода? Перечислите известные Вам численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

8. В чем состоит метод Рунге - Кутты? Опишите вычислительную процедуру метода.

9. Как влияют на длительность нестационарного режима параметры СМО? Для ответа на этот вопрос необходимо ознакомиться с резуль­татами расчета всех вариантов задания.

 

 

Р а б о т а № 2.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТОДОМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Цель работы – изучение возможностей применения метода имитационного моделирования для исследования СМО.

Порядок выполнения работы.

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для заданного варианта СМО подготовить программу и соста­вить план проведения машинных экспериментов в соответствии с зада­нием.

3. Провести эксперимент на ЭВМ.

4. Обработать результаты машинных экспериментов – построить графики зависимостей характеристик СМО от варьируемых параметров.

5. Оформить отчет, в котором привести описание исследуемой СМО, результаты машинного счета, основные соотношения и результаты вычислений, графики, выводы на основе полученных результатов.

6. Ответить на контрольные вопросы.

 

Основные положения.

 

Применение аналитических и численных методов исследования СМО ограничено случаями, когда система является марковской и опи­сывается уравнениями размножения и гибели или может быть сведена к ней. В противном случае исследование СМО возможно с помощью ме­тода имитационного моделирования, основанного на многократной ими­тации с помощью ЭВМ процессов, протекающих в системе, с последую­щей статистической обработкой полученных результатов.

В качестве основных величин, характеризующих функционирование исследуемой СМО используют оценки математического ожидания числа занятых каналов, длины очереди, времени ожидания заявок в очере­ди, вероятностей обслуживания заявок, и др. Так, для момента време­ни t (o£t£Tн), где Tн - время моделирования, могут быть вычис­лены

- оценка математического ожидания числа занятых кана­лов:

здесь - число занятых каналов в момент времени t в j-й реализации; N – число реализаций (прогонов модели);

- оценка вероятности того, что в системе в момент времени t есть k требований:

здесь - число реализаций, в которых на момент времени t в системе было k требований;

- оценка вероятности, что требование получит отказ:

где - общее число требований, появившихся к моменту време­ни t в j-й реализации; - число требований, получивших отказ к моменту времени t;

- оценка дисперсии числа занятых каналов в момент вре­мени t:

Для получения представления о точности и надежности этих оце­нок могут быть найдены доверительные интервалы Ib при заданной доверительной вероятности b.

1. Для математического ожидания числа занятых каналов

Здесь tb находится из распределения Стьюдента при (N-1) степенях свободы. При больших N (N>30) вместо распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным законом. В этом случае

где Ф(х) - интеграл вероятностей:

2. Для вероятностей

где

При больших N приближенно

где - С.К.О. оценки вероятности :

Кроме того, границы доверительных интервалов для вероятностей мо­гут легко быть найдены из номограмм.

Пример СМО. Рассматривается n-канальная СМО с ограниченным временем ожидания в очереди t. Количество мест в очереди ограни­чено числом m. На вход системы поступает стационарный поток требований. Функция распределения F(tинт) интервалов времени между соседними требованиями задана. При наличии свободного канала обс­луживания требование начинает обслуживаться. Длительность обслужи­вания tобс - величина случайная и подчинена закону распределе­ния G(tобс). Если при поступлении требования все каналы заняты, то оно помещается в очередь, откуда поступает на обслуживание при освобождении одного из каналов. Если время ожидания требования в очереди tож достигает величины t, то оно покидает систему не­обслуженным. Допустимое время t ожидания требования в очереди случайно, его закон распределения H(t). Если при появлении требо­вания очередь полностью заполнена, то требование покидает систему необслуженным.

Для заданной СМО требуется:

1. Исследовать возможность применения метода имитационного моделирования для анализа СМО. С этой целью принять законы распре­деления F(tинт) и G(tобс) экспоненциальными. Величину t принять неслучайной, t>Тмод. Найти точечные и интервальные оценки
для Pk(t), k=0,n+m, a(t), средней длины очереди, Pотк(t). Сравнить полученные результаты с результатами численного интегри­рования из работы № 1.

2. Исследовать влияние величины допустимого времени Т ожида­ния требования в очереди на характеристики системы: а) при экспо­ненциальном законе распределения Н(t) и б) при t=const (F(t) и G(t) – экспоненциальные).

3. Исследовать влияние на характеристики системы законов распределения F(t) и G(t), варьируя для заданного вида закона рас­пределения значениями его параметров. Результаты моделирования сравнить с результатами численного интегрирования.

Порядок проведения имитационных экспериментов.

 

Для проведения имитационных экспериментов используется стан­дартная программа, реализующая двухканальную СМО. Для генерации случайных величин с заданными законами распределения F(t) и G(t) необходимо самостоятельно подготовить подпрограммы, ис­пользующие датчик псевдослучайных чисел, равномерно распределен­ных в интервале [0, 1].

Инструкцию по работе с программой и варианты заданий полу­чить у преподавателя.

Контрольные вопросы.

 

1. Когда целесообразно для исследования СМО применять метод имитационного моделирования?

2. В каких случаях СМО не может быть описана с помощью урав­нений размножения и гибели?

3. Как вычисляются точечные и интервальные оценки параметров СМО по результатам моделирования?

4. Как влияют вид и параметры законов распределения на характеристики СМО?

 

 


 

Работа №3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ

ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

Цель работы - приобрести практические навыки использования методов теории массового обслуживания для исследования надежности систем, изучить влияние отдельных параметров системы на ее надежность.

 

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с методическими указаниями.

2.Предполагая, что время безотказной работы основных и резервных элементов, а также время их восстановления подчинены экспоненциальному закону распределения с параметрами соответственно, рассчитать аналитически при n=1.

а) Pk(t) и Pk - вероятности состояний системы в переходном и стационарном режимах;

б) вероятность отказа Pm(t)=Pm+1(t);

в) среднее число элементов в резервной группе и в ремонте;

г) коэффициент готовности системы (вероятность того, что она в случайный момент времени исправна);

д) суммарную наработку на период T;

е) установить для режима статистического равновесия зависимость характеристик пп. а-д от числа резервных элементов и от числа одновременно восстанавливаемых элементов;

ж) сопоставить показатели надежности системы (пп. а-е) в режимах нагруженного , облегченного и ненагруженного резервирования.

3. Для заданных преподавателем неэкспоненциальных законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления методом имитационного моделирования:

а) оценить характеристики надежности системы (пп. а-д);

б) определить влияние режима резервирования на показатели надежности системы (аналогично п. ж);

в) сопоставить показатели надежности системы, найденные для экспоненциального и исследуемых законов распределения времени безотказной работы и восстановления, и сделать соответствующие выводы.

4.Составить отчет, в котором отразить:

а) исходные расчетные данные;

б) результаты аналитического исследования надежности системы, включающие графики изучаемых зависимостей и выводы по результатам исследования;

в) аналогично результаты исследований методом имитационного моделирования;

г) выводы по результатам сопоставления оценок показателей надежности для различных распределений времен безотказной работы и восстановления элементов.

5. Ответить устно на контрольные вопросы.

 

Основные положения

Рассматривается система, состоящая из n основных (рабочих) элементов и m резервных, однотипных с основными. При отказе основной элемент мгновенно заменяется резервным, при этом переключатель (т.е. устройство, осуществляющее обнаружение отказавшего элемента и подключение резервного) считается абсолютно надежным. Отказавший элемент направляется на восстановление, которое начинается сразу же с момента его отказа. Одновременно восстанавливаться может не более S элементов. Если число k отказавших элементов превышает S, то (k-S) элементов ожидают своей очереди.

Основные элементы n
Резервные элементы m-k
Восстановление k
Система работоспособна до тех пор, пока число исправных элементов не меньше n, т.е. пока . Схема функционирования такой системы представлена на рис.2, где двойными стрелками показаны перемещения исправных элементов, а одинарными - отказавших элементов.

На рис. 2 обозначены интенсивности потоков отказавших и восстановленных элементов.

 

      Рис. 2

Здесь - интенсивность отказа элемента в рабочем (загруженном) режиме;- в режиме резервирования, - интенсивность восстановления. При этом под интенсивностью понимается число отказов (восстановлений) в единицу времени.

Нетрудно убедиться, что если систему восстановления рассматривать как систему массового обслуживания (СМО), то на рис. I изображена схема замкнутой СМО (с ограниченным входящим потоком требований).

В зависимости от того, какому закону распределения подчиняются случайные времена безотказной работы основных и резервных элементов и их восстановления, эта СМО может принадлежать классу марковских или немарковских и соответственно исследоваться аналитически либо путем имитационного моделирования.

Если предположить, что все вышеперечисленные случайные величины подчинены экспоненциальному закону с параметрами соответственно, то вероятности того, что в момент t на восстановлении находится ровно k элементов, определяются из уравнений:

Эти уравнения написаны в предположении, что когда в работоспособном состоянии окажется меньше n элементов, то в системе наступает отказ и ее функционирование прекращается до тех пор, пока число исправных элементов за счет восстановления не станет снова не меньше n. При этом подразумевается также, что s<m (т.е. возможна очередь на восстановление), и если система в целом неисправна, то ее элементы уже не отказывают.

Так как множество состояний системы конечно, то при достаточно длительном функционировании ее можно рассматривать как находящуюся в режиме статистического равновесия (Pk(t)=Pk). В этом случае система уравнений (3.1) сводится к системе алгебраических уравнений:

Решение системы (3.2) имеет вид (1):

Получив решения системы (3.1) (см. работу №1) или произведя вычисления по формулам (3.3), можно на базе распределения Pk(t) или Pk находить показатели надежности системы как в нестационарном (начальном) режиме ее функционирования, так и в стационарном, т.е. в режиме длительного функционирования.

Решения, полученные на основе уравнений (3.1) или (3.2) и (3.3), относятся, как уже указывалось, к случаю, когда времена безотказной работы основных и резервных элементов, а также время их восстановления подчинены экспоненциальному распределению. Если это условие нарушено, процесс K(t) перестает быть марковским, и для изучения надежности системы в таком (произвольном) случае используется метод имитационного моделирования СМО (см. работу № 2).

Инструкцию по работе с программой и варианты заданий получить у преподавателя.

 

Контрольные вопросы

I. Какие изменения претерпят выражения (3.1), (3.2) и (3.3), если

резервные элементы находятся в ненагруженном режиме (холодный резерв);

резервные элементы находятся в нагруженном режиме (горячий резерв);

все резервные элементы находятся в нагруженном режиме, и интенсивность отказов элементов системы линейно растет с уменьшением числа не отказавших элементов;

число не отказавших элементов стало менее n и в системе наступает необратимый отказ (восстановление прекращается);

пропускная способность системы восстановления не ограничена (m<S);

одновременно может восстанавливаться только один элемент (S=1);

2. Почему процесс К(t) становится немарковским, если нарушен экспоненциальный характер распределения времени безотказной работы или восстановления?

3. Предложите (в рамках имитационной модели) способ учета ненадежности переключателей.

4. Нарисуйте схему, аналогичную риc. 2 при условии, что восстановленные элементы поступают на склад и оттуда по мере необходимости пополняют резервную группу (первоначальный объем склада l элементов).

5. Какому характеру отказов отвечает экспоненциальное распределение времени безотказной работы?

6. Почему отказы, связанные с износом и старением, нарушают марковость процесса, рассматриваемого в данной лабораторной работе?

7. Какие законы распределения можно предложить для описания времени безотказной работы элементов, подверженных старению или работающих на начальном периоде эксплуатации (периоде приработки)?

8.Почему использование нормального распределения для времени безотказной работы не является, строго говоря, корректным?

9. Как оценить точность результатов, полученных методом имитационного моделирования?

 

 

Работа №4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Цель работы - ознакомиться с методами оптимизации, приобрес­ти практические навыки исследования эффективности и нахождения оптимальных параметров СМО.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями. 2. Для заданной СМО выбрать критерий оценки эффективности и исследовать… 3. Найти оптимальные параметры СМО по выбранному критерию.

Варианты заданий

I. Оптимизировать число линий связи и исследовать время оку­паемости от интенсивности поступающих вызовов l. При расчетах по­лагать:

- среднее время t1 разговора - в единицах времени;

- обслуживание одного разговора приносит среднюю прибыль в Sпрб условных единиц;

- эксплуатация одного работающего канала обходится в Sа ус­ловных единиц в единицу времени;

- стоимость Sпр простоя одного канала - условная в единицу времени;

- создание одного канала требует расхода Sсозд единиц.

2. Исследовать целесообразность введения второй, третьей и
четвертой технологических линий ремонта сельскохозяйственных ма­шин (с учетом времени окупаемости этих линий) в условиях следую­щей задачи.

Станция текущего ремонта сельскохозяйственной техники имеет одно помещение, в котором может ремонтироваться только одна маши­на (одна технологическая линия). Во дворе станции имеется площад­ка, где одновременно могут находиться, ожидая ремонта, не более m машин. Статистика времени ремонта в этой мастерской показала, что оно распределено по эксплуатационному закону со средним значе­нием суток. При анализе потока поступающей на ремонт техники было установлено, что этот поток является простейшим с парамет­ром l машин в сутки. Если площадка для ожидания занята, то маши­ны поступают на другую станцию.

Стоимость оборудования для новой технологической линии сос­тавляет S0 тысяч рублей, содержание обслуживающего персонала на одной линии - Sсод рублей в месяц, стоимость простоя сельско­хозяйственной машины – Sпр рублей в сутки. Ремонт одной машины приносит станции доход Sдох руб.

3. Исследовать зависимость оптимального числа обслуживающих рабочих от их квалификации.

Цех имеет n станков-автоматов. Суточный простой одного станка обходится предприятию в Sпр руб. Среднее время, необходимое для наладки одного станка, может в зависимости от квалификации рабочего принимать значения:

Зарплата рабочих в зависимости от их квалификации составляет соответственно S рублей в месяц.

Интенсивность отказов станков l.

4. Исследовать с точки зрения минимизации простоя судов 3 ва­рианта проекта морского порта с возможными грузооборотами 2, 3 и

4 млн. тонн в год, если суда, прибывающие в порт, имеют грузоподъемность до 20 тыс. т. Статистика показала, что поступающие для разгрузки в порт суда образуют поток, близкий к пуассоновскому, с параметром , где q - грузооборот порта, а G - средняя грузоподъемность принимаемых портом судов. Длительность погрузочно—разгрузочных работ принять распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием , где Р - пропускная способность одного причала; tвсп - время на вспомога­тельные операции с судном у причала.

5. Аэродром имеет две посадочные полосы. Время занятости каждой из них садящимся самолетом распределено экспоненциально со средним значением (оцените допустимость этого предположения).

Поток самолетов, заходящих на посадку, - простейший с интен­сивностью l. Если обе полосы заняты, то самолет ждет в воздухе t мин, после чего уходит на запасной аэродром.

За каждый отказ в посадке аэропорт платит штраф в S1 единицу. Строительство новой посадочной полосы стоит S2 усл. единиц. За какой срок она окупается?

6. Решить задачу 5 в предположений, что время ожидания по­садки в воздухе распределено экспоненциально со средним значе­нием мин и самолет уходит на запасной аэродром, если кроме него в воздухе уже ждут посадки m самолетов.

7. Грузовые вагоны поступают под разгрузку, образуя простейший поток интенсивностью l. Время обработки одного вагона брига­дой грузчиков распределено экспоненциально со средним значением мин. Что выгоднее: а) интенсифицировать разгрузку вдвое, до­ведя среднее время до мин или б) добавить еще одну бригаду грузчиков? Сравнить варианты а) и б):

по времени простоя вагонов;

по числу простаивающих вагонов;

по времени простоя грузчиков.

8. Полагая, что I ч простоя вагона стоит S1, руб., а I ч про­стоя бригады грузчиков - S2 руб., дать решение задачи 7 в функции S1/S2.

9. n рабочих обслуживают m станков, каждый из которых ха­рактеризуется простейшим потоком неисправностей с интенсивностью l. Время устранения неисправностей распределено экспоненциально со средним значением .

Выбрать критерий эффективности СМО и проанализировать струк­туру, сравнивая со случаем, когда за каждым рабочим закреплены два определенных станка.

10. Телефонные вызовы заданного абонента составляют простей­ший поток с параметром l. Длительность каждого разговора распре­делена экспоненциально с параметром n. Число неисправностей ли­нии подчинено распределению Пуассона с параметром а. Время уст­ранения неисправности имеет экспоненциальное распределение со сред­ним значением t.

1)какова вероятность того, что линией нельзя воспользоваться из-за занятости или неисправности?

2)какова вероятность, что возникшая неисправность оборвет телефонный разговор?

3)какова вероятность, что начатый телефонный разговор не прервется поломкой на линии?

4)полагая, что стоимость ремонта зависит от его продолжительности , а доход от каждого обслуженного вызова равен S0, определить расходы по ремонту линии.

Контрольные вопросы

1.Какие показатели эффективности СМО Вы знаете?

2.Что значит "оптимизировать СМО"?

3.Какие показатели должны быть учтены в обобщенном критерии экономической эффективности (на примере различных типов СМО)?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Б о м а с В.В., Б у л ы г и н B.C. Элементы теории марковских процессов и ее технические приложения: Учебное пособие. -
М.: МАИ. I960.

2.Вентцель E.G. Исследование операций. - М.: Наука,
1989.

3.Дунин-Барковский И.В., Смирнов Н.В.
Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Гостехтеориздат, 1955.

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: работы, относятся, первой, части, курса, исследование, операций, Теории, массового, обслуживания, надежности0.152

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Работы относятся к первой части курса Исследование операций – к теории массового обслуживания и надежности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Организационный этап выполнения курсовой работы 2.1 Примерная тематика курсовой работы . 3 Основной этап выполнения курсовой работы 3.1.1 Назначение и место ученого предмета дисциплины
стр Введение... Введение Реформирование национальной системы высшего образования связанное с введением нового перечня специальностей общегосударственного классификатора...

Основные матмодели в теории надежности. Выбор числа показателей надежности. Достоверность статистической оценки показателей надежности
Плотность распределения (вероятностей) - широко распространенный способ описания закона распределения Распределение Вейбулла.

Краткий курс механики в качестве программы и методических указаний по изучению курса Физика Краткий курс механики: Программа и методические указания по изучению курса Физика / С
Федеральное агентство железнодорожного транспорта... Омский государственный университет путей сообщения...

Лекция 7, 4 декабря. Теории валютного курса Есть 4 теории валютного курса
Есть теории валютного курса Теория платежного баланса Пусть с точки зрения этой теории установится...

Понятие, система и задачи Особенной части уголовного права РФ. Принцип организационного строения Особенной части УК РФ. Структура Особенной части. Разделы Особенной части УК РФ и их содержание
Понятие особенной части уголовного права это единство и целостность норм исчерпывающим образом определяющих все существующие преступления... В особенной части в соответствии с принципом законности определяется... Задачи...

Ведение в курс "Основы экономической теории" (Введення в курс "Основи економiчної теорiї)
В працях Ксенофонта 430 355 рр. до н. е Платона 427 347 рр. .о н. Аристотеля 384 322 рр. до н. е а також мислителв стародавнього Риму, нд, Китаю… Але не кожна економчна думка розвиваться у систему поглядв ста економчним… Н в рабовласницькому, н у феодальному суспльств ще не снувало струнко системи економчних поглядв на економчн процеси.…

Лекция 1. Предмет и методология теории государства и права. 1. Предмет и объект изучения теории государства и права. 2. Место теории государства и права в системе общественных и юридических наук
Лекция Предмет и методология теории государства и права... Предмет и объект изучения теории государства и права... Место теории государства и права в системе общественных и юридических наук...

Краткий конспект лекций К первой части курса Теоретические основы электротехники
Краткий конспект лекций... К первой части курса Теоретические основы электротехники...

Курс лекций по деталям машин Детали машин являются первым из расчетно-конструкторских курсов, в котором изучаются основы проектирования машин и механизмов
Детали машин являются первым из расчетно конструкторских курсов в котором... Машина устройство выполняющее преобразование движения энергии материалов и информации В зависимости от функций...

Курсовая работа по курсу «Строительная механика летательных аппаратов» Расчёт тонкостенной конструкции с однозамкнутым контуром поперечного сечения Расчёт оболочки вращения по безмоментной теории
Кафедра Прочности ЛА... Курсовая работа по курсу Строительная механика летательных аппаратов Расч т... Выполнил студент группы Панков А А Руководитель Хивинцев А В...

0.063
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам