Материалов для студентов I семестра

 

МГТУ “Станкин”

Кафедра физики

 

 

Сборник методических

материалов для студентов I семестра

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЬI МЕХАНИКИ

МОСКВА 2000

 

Лабораторный практикум

 

ВВЕДЕНИЕ.

ИЗМЕРЕНИЯ.

ЗАПИСЬ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Измерения. Прямые и косвенные измерения.

В основе точных естественных наук, к числу которых относится и физика, лежат измерения. Измерения - это процедура, которая ставит в соответствие… Полученные в результате измерений значения различных величин могут зависеть… Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые измеряют саму…

Обработка результатов прямых измерений.

  Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых… Не связанные с вышеупомянутыми, погрешности эксперимента делятся на случайные и систематические. Многократно повторяя…

Обработка результатов косвенных измерений.

Пусть интересующая нас физическая величина Х связана с величинами a и b некоторым физическим соотношением X= f (a,b) причем величины a и b определены в результате прямых измерений, т.е. нам известны ,,,

Изображение экспериментальных результатов на графиках.

Использование графиков для обработки результатов измерений

При построении графической зависимости y=f(x) каждая экспериментальная точка обозначается крестом. Полуразмер креста по горизонтали должен быть… Для графиков следует использовать миллиметровую бумагу. При построении… По осям графика удобно откладывать такие величины, чтобы теоретически ожидаемая зависимость являлась достаточно…

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В

ПОЛЕ ЗЕМНОГО ТЯГОТЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА.

Свободное падение.

Если камень или кусок бумаги начали падать с одинаковой высоты одновременно 6ез начальной скорости, то камень достигнет земли раньше, чем комок. Из… ,  

Машина Атвуда. Методика эксперимента.

. Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до удобных скоростей. Устройство машины Атвуда, являющейся составной частью… Найдем ускорение движения грузов, пренебрегая действием сил трения… Согласно второму закону Ньютона имеем :

Измерения. Обработка результатов измерений.

  2. Определить экспериментально зависимость времени движения t груза от высоты…   h sh t1 t2 t3 t4 t st   …

Контрольные вопросы

 

1 . Какое движение называется свободным падением? От чего зависит и чему равно ускорение свободного падения?

2. Оцените массу Земли.

3. В чем преимущество и в чем недостатки предложенного метода исследования движения тел в поле земного тяготения?

4. При каких упрощающих предположениях выведена формула (2)?

5. Какие погрешности называют случайными, а какие систематическими? Чем обусловлены эти погрешности в проделанной лабораторной работе?

 

 

ИЗУЧЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО И

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ.

 

Введение.

Колебаниями называют такие движения или изменения состояния физической системы, при которых система неоднократно возвращается в исходное состояние, например, в состояние равновесия.

Колебательные движения широко распространены в природе. Это волнение на море, колебания струн, вибрации фундаментов зданий, колебания маятника часов - примеры можно было бы продолжать до бесконечности. Разнообразные по природе колебания могут иметь общие закономерности, описываться однотипными математическими методами. Такая общность составляет основу для изучения самых различных колебаний, встречающихся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах.

Колебательные процессы, с которыми приходится встречаться, подразделяют на периодические и непериодические в зависимости от характера изменения со временем физических величин, характеризующих состояние системы. По причине своего возникновения колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые возникают в системе в результате однократного начального выведения ее из состояния устойчивого равновесия. При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы (в о6щем случае причины), стремящиеся возвратить систему в положение равновесия. (В случае колебания груза на пружине возвращающей силой будет сила упругости пружины.)

Если в системе отсутствуют силы трения и любые другие причины, препятствующие свободным колебаниям, то нет потерь механической энергии, и колебания могут происходить сколь угодно долго с постоянной амплитудой. Такие свободные колебания называются незатухающими. Незатухающие колебания представляют идеализированный случаи колебаний. Свободные колебания реальных систем всегда затухающие. Затухание колебаний связанно, главным образом, с действием в системе сил трения. Незатухающие колебания в реальной системе могут возбуждаться воздействием на нее переменной внешней силы. В этом случае колебания называются вынужденными.

Периодическими называют колебания, при которых значения всех физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший такой промежуток времени Т, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, называется периодом колебаний. За это время, говорят, совершается одно колебание.

Частотой f периодических колебаний называют число колебаний в единицу времени. Если за время t система совершает N колебаний, то частота колебаний равна :

 

Учитывая, что за время, равное периоду ( t =T ) совершается одно колебание (N=1) , приходим к связи частоты f с периодом T:

f =1/ T

Частоту измеряют в герцах (Гц). За 1 Гц принимают частоту такого колебательного процесса, при котором за одну секунду совершается одно полное колебание (Гц=l/c).

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых колеблющаяся физическая величина X (например, координата груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса (или синуса):

, (1)

где величина А , равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся величины x, называются амплитудой колебаний. Выражение определяет значение x в любой момент времени t и называется фазой колебания. В начальный момент времени (t=O) фаза равна начальной фазе .

Величину называют циклической частотой гармонического колебания.

Периодом функции (1), как известно из математики, является

- это и будет период колебаний. Для частоты f гармонического колебания имеем :

.

Заметим, что функция (1) является решением дифференциального уравнения :

, (2)

где - вторая производная функции x(t) по времени.

В самом деле :

и при подстановке в уравнение (2) оно обращается в верное равенство, что и требовалось доказать.

В математике доказывается, что функция (1) является единственным решением дифференциального уравнения (2). Таким образом, если при колебаниях для колеблющейся физической величины X в любой момент времени имеет место соотношение (2) , то колебания являются гармоническими и происходят с периодом

Значения постоянных А и определяются, как правило, из начальных условий.

В настоящей лабораторной работе Вам предстоит экспериментально исследовать свободные колебания пружинного и математического маятников .

 

Пружинный маятник. Методика эксперимента.

Рис.1  

Измерения. Обработка результатов измерения. Пружинный маятник.

1. Прикрепите к подвешенной пружине груз известной массы m и измерьте деформацию пружины . Рассчитайте жесткость пружины по формуле (7) и оцените… 2. Сместите груз из положения равновесия на некоторое расстояние и отпустите.…

Математический маятник.

Здесь t - время n колебаний, . Число колебаний выберите таким, чтобы… Исходя из полученных результатов, выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными.

Контрольные вопросы.

1. Какие колебания называют гармоническими ? Дайте определение амплитуды,

периода и частоты колебаний.

2. При каких упрощающих предположениях выведены формулы (5) и (11) ?

3. Как изменятся периоды колебаний пружинного и математического маятников, если их переместить с Земли на Луну ?

 

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА.

Введение.

Явления природы очень сложны. Даже такое обычное явление как движение тела, на самом деле оказывается совсем не простым. Чтобы понять главное в физическом явлении, не отвлекаясь на второстепенные детали, физики прибегают к моделированию, т. е. к выбору или построению упрощенной схемы явления. Вместо реального явления (или тела) изучают более простое фиктивное (не существующее) явление, похожее на действительное в главных чертах. Такое фиктивное явление (тело) называют моделью.

Одной из важнейших моделей, с которой имеют дело в механике, является абсолютно твердое тело. В природе нет недеформируемых тел. Всякое тело под действием приложенных к нему сил деформируется в большей или меньшей степени. Однако, в тех случаях, когда деформация тела мала и не влияет на его движение, рассматривают модель, называемую абсолютно твердым телом.

Можно сказать, что абсолютно твердое тело - это система материальных точек, расстояние между которыми остается неизменным во время движения.

Одним из простых видов движения твердого тела является его вращение относительно неподвижной оси. Изучению законов вращательного движения твердого тела и посвящена настоящая лабораторная работа.

Напомним, что вращение твердого тела вокруг неподвижной оси описывается уравнением моментов.

(1)

Здесь I - момент инерции тела относительно оси вращения, w - угловая скорость вращения, - сумма проекций моментов внешних сил на ось вращения OZ. Это уравнение по виду напоминает уравнение второго закона Ньютона:

. Роль массы m играет момент инерции I , роль ускорения играет угловое ускорение , а роль силыиграет момент силы .

Уравнение (1) является прямым следствием законов Ньютона, поэтому его экспериментальная проверка является в то же время проверкой основных положений механики.

Как уже отмечалось, в работе изучается динамика вращательного движения твердого тела. В частности, экспериментально проверяется уравнение (1) - уравнение моментов для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

 

Экспериментальная установка. Методика эксперимента.

Рис.1 Маятник Обербека состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На той же втулке…

Измерения. Обработка результатов измерений.

1. Сбалансируйте маятник. Установите грузы на некотором расстоянии R от оси маятника. При этом маятник должен находиться в состоянии безразличного…   2. Оцените момент сил трения. Для этого, увеличивая массу груза m , найдите минимальное ее значение , при котором…

Контрольные вопросы.

 

1.Что мы называем абсолютно твердым телом ? Какое уравнение описывает вращение твердого тела относительно неподвижной оси ?

2.Получите выражение для момента импульса и кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси .

3. Что называется моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси ? Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.

4.Какие измерения в проведенных вами экспериментах вносили наибольшую погрешность ? Что необходимо сделать для уменьшения этой погрешности ?

 

 

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.

Физический маятник.

Рис.1 Запишем уравнение моментов относительно оси вращения OZ(ось проходит через точку подвеса O перпендикулярно плоскости…

Экспериментальная установка.

Методика эксперимента.

Рис.2  

Измерения. Обработка результатов измерений.

  В связи с этим, формулой (3) для периода колебаний можно пользоваться в… . Результаты измерений занесите в таблицу.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1.Что называется физическим маятником ?

2.При каких упрощающих положениях выведена формула (3) ?

3.Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.

4.Выведите формулу для момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину и перпендикулярной стержню.

 

 

УЧЕБНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ

Для студентов первого курса дневного отделения

Кинематика материальной точки.

2.Материаьная точка движется в плоскости XOY с ускорением , зависящим от времени по закону Найдите закон движения точки (уравнение зависимости радиуса - вектора точки от… 3.Точка движется по окружности радиусом R=2м с угловым ускорением , где A=0,5 рад/с2 и B=1 рад/с3 .Определите, как со…

Импульс. Закон сохранения импульса

7.Какую скорость может сообщить мячу футболист при ударе, если максимальная сила удара Fm = 3500 Н, а время удара t = 8×10-3 c ? Считая, что… 8.Тележка массой M движется по горизонтальной поверхности со скоростью V0 . В момент времени t = 0 начинает идти снег,…

Гармонические колебания

11.Найти сумму двух колебаний X = A cos wt + B sin wt.   12.Частица совершает гармонические колебания около положения равновесия x=0 с циклической частотой w=4 рад/с так, что…

Механика твердого тела. Момент инерции. Момент импульса.

  17.Вычислите момент инерции однородного диска массой m и радиусом R…  

Вращательное движение твердого тела.

21.Маховик, представляющий собой диск массой m =10 кг и радиусом R=0.2 м,…  

Дополнительные задачи.

Кинематика материальной точки.

25. Материальная точка движется в плоскости XOY так, что ее декартовы координаты X и Y зависят от времени по законам

X = A Sin wt,

Y= B Cos wt

где A, B, w -постоянные величины. Нарисуйте траекторию движения и покажите, что вектор ускорения точки в любой момент времени направлен к началу координат.

 

26. Точка движется вдоль прямой с ускорением, представленным на графике:

Постройте графики зависимости скорости и перемещения точки от времени, если ее начальная скорость V₀ =0 и начальная координата x₀ =0.

 

27.Тело бросили с поверхности земли под углом a₀ к горизонту с начальной скоростью V₀.Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите:

1)время движения;

2)максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета, а также углы a₀, при

которых это произойдет;

3)уравнение траектории;

4)радиусы кривизны в начале и в вершине траектории.

 

28.Ракета стартует вертикально с ускорением a = 30 м/с² на расстоянии l = 100м от пушки, начальная скорость снарядов которой V₀= 200 м/с. Под каким углом к горизонту надо выстрелить из пушки в момент старта ракеты, чтобы поразить ее? Всегда ли это возможно ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

2.Динамика материальной точки.

 

29.В устройстве, показанном на рисунке, определите ускорение тел, натяжение нити и силу, действующую на ось невесомого блока. Массой нити, ее растяжением и трением в устройстве пренебречь.

30. В устройстве, показанном на рисунке, груз m₁ скользит без трения по наклонной плоскости, связанный невесомой и нерастяжимой нитью с грузом m₂.Определите ускорения грузов m₁ и m₂, если угол наклона плоскости a ,а массами блоков можно пренебречь.

31.Шарик, подвешенный на легкой нити длиной l ,вращается в горизонтальной плоскости с постоянным углом отклонения от вертикали a (конический маятник).

Определите период вращения шарика и его линейную скорость.

 

32.Определите период вращения спутника Земли, находящегося на круговой орбите на расстоянии 400 км от земной поверхности. Радиус Земли R = 6400км.

 

33.В момент выключения двигателя моторная лодка массой m = 200кг шла по озеру со скоростью V₀ = 3 м/с. Считая силу сопротивления воды движению лодки пропорциональной скорости F_c= kV, где k = 10 Н×с/м, определите, как со временем изменяется скорость лодки после выключения двигателя. Какой путь пройдет лодка до полной остановки ?

 

34.Камень массой m падает вблизи поверхности земли без начальной скорости. Считая, что сила сопротивления воздуха движению камня пропорциональна скорости F_c= kV, где k - известная постоянная, определите зависимость скорости камня V от времени.

Импульс. Закон сохранения импульса

35.Пуля массой m = 9г, выпущенная из винтовки, попадает а свободно подвешенную болванку и застревает в ней, сообщая скорость 1м/с. Масса болванки M…   36.Лодка массой M = 160кг и длиной l = 4м стоит в неподвижной воде. Мальчик массой m = 40кг переходит с носа лодки на…

Гармонические колебания

42.Пуля массой m, летевшая горизонтально со скоростью V0, застревает в деревянном кубике массой M , покоившемся на гладкой горизонтальной… 43.Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты как…

Механика твердого тела. Момент инерции. Момент импульса.

  44.Однродный стержень массой M и длиной l подвешен за конец в шарнире. Пуля…

Вращательное движение твердого тела.

46.Тонкий обруч радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости w и положили на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится,… 47.Обруч скатывается без проскальзывания с горки высотой h .Определите…