Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии

Аксиоматическийметод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретическихнауках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построениянаучной теории заключается в следующем выделяются основные понятия,формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическимпут м, опираясь на них. Основныепонятия выделяются следующим образом.Известно, что одно понятие должноразъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются спомощью каких-то известных понятий.

Таким образом, мы приходим к элементарнымпонятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называютсяосновными. Когда мы доказываем утверждение,теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Ноэти предпосылки тоже доказывались, ихнужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемымутверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называютсяаксиомами.Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно былодоказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия исформулировав аксимы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическимпут м. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основныепонятия составляют основания планиметрии. Так как нельзя дать единоеопределение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрииследует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этойгеометрии.Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системымы исходим из некоторой системы аксиом,или аксиоматики.

В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можемпредставить основные понятия в видеобъектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах. После формулировки и доказательствапервых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения теоремы спомощью других.Доказательства многих теорем приписываются Пифагору иДемокриту.

Гиппократу Хиосскому приписываетсясоставление первого систематическогокурса геометрии, основанного на определениях и аксиомах.Этот курс и егопоследующие обработки назывались Элементы . Потом, в III в. до н.э в Александрии появилась книга Евклида с тем женазванием, в русском переводе Начала . От латинского названия Начал произош л термин элементарная геометрия . Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некотороемнение об этих сочинениях по Началам Евклида.

В Началах имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появлениеих объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют Начала предшественников Евклида. Начала Евклида состоятиз 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике инесоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии. Начала начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом.Первые пять аксиом - общие понятия ,остальные называются постулатами . Первые два постулата определяют действия с помощьюидеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля.

Четв ртый, всепрямые углы равны между собой , является излишним, так как его можновывести из остальных аксиом.Последний, пятый постулатгласил Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двухпрямых, то, при неограниченномпродолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньшедвух прямых . Пять общих понятий Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объ мов равные одному и тому же равны между собой , если к равнымприбавить равные, суммы равны между собой , если от равных отнятьравные, остатки равны между собой , совмещающиеся друг с другомравны между собой , целое больше части . Далее началась критика геометрииЕвклида.

Критиковали Евклида по тр м причинам за то, что он рассматривалтолько такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуляи линейки за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целыхчисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомыЕвклида.

Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулатЕвклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из другихаксиом.Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным,равносильным ему Через точку вне прямой можно провести в их плоскостине более одной прямой, не пересекающей данную прямую . Критикаразрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа додействительного числа.

Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIXвека Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, вкоторой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятогопостулата. Он был замен н противоположным утверждением В плоскостичерез точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающейданную . Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрияЕвклида.

Модельпланиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французскимматематиком Анри Пуанкаре в 1882 г. Наевклидовой плоскости провед м горизонтальную прямую см. рисунок 1 . Эта прямаяназывается абсолютом x . Точки евклидовой плоскости, лежащие вышеабсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевскогоназывается открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта.Неевклидовы отрезки вмодели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезкипрямых, перпендикулярных абсолюту AB, CD . Фигура на плоскостиЛобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта F .Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром наабсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Дванеевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можноперевести в другой.

Таковы основные понятия аксиоматики планиметрииЛобачевского.

Всеаксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы.Определение прямой следующее Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч сначалом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту . Таким образом,утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только длянекоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и длялюбой прямой a и любой не лежащей на ней точки A см. рисунок 2 . Загеометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии отевклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидовагеометрия, возникла риманова геометрия общая теория пространств с произвольнымзаконом измерения длин и др. Из науки о фигурах в одном тр хмерном евклидовомпространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразныхтеорий, лишь в ч м-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.