Гамма функции

1.Бэта-функции 6 Бэта функции определяютсяинтегралом Эйлера первого рода 1.1 сходятся при .Полагая 1 t получим - т.e. аргумент и входят в симетрично.Принимаяво внимание тождествопо формуле интегрирования почестям имеем Откуда 1.2 7При целом b n последовательно применяя 1.2 Получим 1.3 при целых m, n,имеемно B 1,1 1,следовательно Положим в 1.1 .Так как графикфункции симметрична относительно прямой ,то8и в результате подстановки ,получаемполагая в 1.1 ,откуда ,получим 1.4 разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ковторому интегралу подстановки ,получим 2. Гамма-функция 9Гамма функцию определяет интегралЭйлера второго родаG a 2.1 сходящийся при 0.Положим ty,t gt 0 ,имеемG a и после замены , через и t через 1 t ,получимУмножая это равенство и интегрируя поt и пределах от 0до, имеем или на основании 1.4 и после изменения в правой частипорядка интегрирования ,получаем 10откуда 2.2 заменяя в 2,1 ,на и интегрируем почастямполучаем рекурентною формулу 2.3 так какно при целом имеем 2.4 то есть при целых значениях аргумента гамма-функцияпревращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значенияаргумента.При n 1 в 2.4 имеем 3.Производная гамма функции 11Интеграл сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.Вобласти , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходитсяравномерно, так как и можна применить признак Веерштраса.

Сходящимся при всехзначениях является и весь интеграл так как и второеслогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значенийи для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса.

Такимобразом , в области интеграл cходитсяравномерно.Отсюда вытекает непрерывность гаммафункции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем ,что интеграл 12сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы тогда при .Поэтому существует число такое , что и на.Но тогда на справедливонеравенство и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерноотносительно на . Аналогично для существует такое число, что для всех выполняетсянеравенство . При таких и всех получим , откуда в силупризнака сравнения следует , что интеграл сходится равномерноотносительно на . Наконец , интегралв котором подынтегральная функция непрерывна в области , очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл13сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функциябесконечно дифференцируема при любом и справедливоравенство .Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, чтоПо индукции доказывается , чтоГ-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенствоИзучим теперь поведение - функции и построим скиз ее графика .Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает.

Поскольку , то по теореме Роля на сегменте 1,2 производная при и при , т. е. Монотонноубывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .14Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из -1,0 .Получаем, что так продолженная функция принимает на -1,0 отрицательные значения и при , а также при функция . Определив таким образом на , мы можем по той жеформуле продолжить ее на интервал -2 1 . На этом интервале продолжением окажется функция,принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках см. рис.1 Отметим еще раз, что интеграл определяет Г-функцию толькопри положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .15 рис.1 4. Вычисление некоторых интегралов. 16Формула Стирлинга Применим гамма функцию к вычислениюинтеграла где m gt -1,n gt -1.Полагая , что ,имееми на основании 2.2 имеем 3.1 В интеграле Где k gt -1,n gt 0,достаточно положить 17 Интеграл Где s gt 0,разложить в ряд где дзетта функция Римана Рассмотрим неполные гамма функции функции Прима связанные неравенством Разлагая, в ряд имеем 18 Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительновспомогательную функцию 3.2 Непрерывна на интервале -1, монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u 0.Так както при u gt 0 и при u lt 0 , далее имеем И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию19 Из предыдущего следует, что существуетобратная функция, определенная наинтервале непрерывная имонотонно возрастающая в этом интервале, Обращающаяся в 0 при v 0 и удовлетворяющая условие 3.3 Формулу Стирлинга выведем из равенства полагая ,имеем Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u -1при ,и при .Замечая что см.3.2 20имеем, полагая на конец получимилив пределе при т.е. при см3.3 откуда вытекает формула Стирлингакоторую можно взять в виде21 3.4 где ,при для достаточно больших полагают 3.5 вычисление же производится при помощи логарифмовесли целое положительное число,то и 3.5 превращается вприближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях nприведем без вывода более точную формулу где в скобках стоит не сходящийся ряд.5. Примеры вычисления интегралов 22Для вычисления необходимыформулы Г Вычислить интегралы 23 М н стерствоосв ти науки Укра ниЗапор зький державний ун верситет ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ Зав. каф. Математичного анал зуд. т. н. проф. С.Ф. Шишканова 2002р. ПОЯСНЮВАЛЬНАЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ ГАМА ФУНКЦ РозробивСт гр 8221-2СадиговР.А. Кер вникСт.викладачКудряВ Запор жжя 2002.СодержаниеЗадание накурсовую работу 2Реферат 4введение 51. Бетафункции 62. Гамма функции 93. Производная гамма функции 114. Вычисление интегралов формулаСтирлинга 165. Примеры вычеслений 22вывод 24Списоклитературы 25 Реферат Курсовая работа 24 ст 5 источников, 1 рис.Обьект иследований гамма и ееприложения.

В работе идет речь о представлении бета игамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода.И о их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ,ПРЕДЕЛ. Введение Выделяютособый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственогоинтеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и отпараметра.

Такиефункции называются интегралами зависящими от параметра.

К их числу относятсягамма и бета функции Эйлера.

Бетафункции представимы интегралом Эйлерапервого рода гамма функция представляется интегралом Эйлера второгорода Вывод Гамма функцииявляются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частностимногих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.Благодаря этому они широкоприменяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в другихотраслях современной науки.

Список литературы1. Специальные функции и ихприложения Лебедев И.И М Гостехтериоиздат,19532. Математический анализ часть 2 Ильин О.А Садовничий В.А Сендов Бл.Х М Московскийуниверситет ,19873. Сборник задач поматематическому анализу Демидович Б.П М Наука,19664. Интегралы и ряды специальные функции Прудников А.П Брычков Ю.А М Наука,19835. Специальные функции Кузнецов , М Высшая школа ,1965.