Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.
Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.
Если существует взаимнооднозначное отображение множества Х на множество У, тогда множества Х и У эквивалентны. Это отношение (между множествами) очевидно обладает следущими свойствами:
1) "Х: Х экв Х - рефлексивность
2) Если Х экв У => У экв Х - симметричность
3) Если Х экв У & У экв Z => X экв Z - транзитивность
[х]q ={у Î М: х экв у} - класс эквивалентных множеств
Th: Если q отн. экв-сти на М, то " х,у Î М следующие условия эквивалентны:
1)[х]q = [у]q
2)[х]q в пересечении с [у]q ¹ Æ
Доказательство:
1=>2Пусть аÎ[х]q => из (1) => аÎ[у]q => аÎ[х]qÇ[у]q => [х]qÇ[у]q ¹ Æ
2=>1 Пусть аÎ[х]qÇ[у]q => аÎ[х]q & аÎ[у]q => по свойству (1) => Х экв а и У экв а=>по свойству (2)=>Х экв а и а экв У=>Х экв У
Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G'
Df: Введем понятие отношения t: F t G <=> F - G = const
Th: t совпадает с d
Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь
Лемма: Сумма правильных дробей - правильная дробь (если сумма ¹ 0).
Доказательство: P1/Q1 + P2/Q2 = P1Q2+P2Q1 / Q1Q2
Доказательство: Сначала из существования P'(x) докажем что такое А существует и определяется однозначно. Дробь под интегралом правильная (так слева… Теперь возьмем такое А и проверим найдется ли многочлен
P'(x): P(z) - A(1-k)R(z) = 0 => по теореме Безу P(z) - A(1-k)R(z) = (x-z)P'(x)
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b}
midP - множество перестановок (m1,...,mN) Î [a,b]… D(xI) = xI-xI-1 - шаг разбиения dP = max D(xI)
NI = sup f(x) x Î [xI-1,xI]
nI = inf f(x) x Î [xI-1,xI]
C(P) = S1...K NID(xI) - верхняя сумма Дарбу
$ inf C(Q) = I. " PÇQ: c(P) £ I £ I’£ C(Q)
Th: Пусть f ограничена на [a,b], следующие условия эквивалентны:
1) I = I’
Доказательство:
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b}; h = b-a / n
MK - sup f(x); mK - inf f(x), где x Î [x+(k-1)h,x+kh]
Монотонность интеграла. Теорема о среднем.
a) £ ,
б) Если дополнительно $ c Î [a,b]: d(c)-f(c) > 0 и g(x)-f(x)… Доказательство:
Интеграл, как функция верхнего предела, ее непрерывность
Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) = - непрерывна на [a,b].
Доказательство: Так как f Î L[a,b] => f - ограничена на [a,b] => $… F(x + Dx) == F(x) +
Связь определенного и неопределенного интегралов.
Доказательство: PN = {a = x0 < x1 < ...< xN = b}
F(b) - F(a) = -F(x0) + F(x1) - F(x1) + F(x2) - F(x2) +...+ F(xN-1) - F(xN-1) +… По условию F - дифференцируема в (xI-1,xI) и непрерывна в xI-1,xI => по теореме Лагранжа F(xI) - F(xI-1) =…
Доказательство: F(x) Î òf(x)dx => F(g(t)) Î òf(g(t))g’(t)dt
= F(g(b))- F(g(a)); = F(g(b))- F(g(a)) => = F(g(b))- F(g(a)) =
Теорема об интегрировании по частям:Пусть u,v Î C[a,b], тогда
Df: сходится если $ lim F(x), в случае существования предела = lim f(x) при x®b-
Замечание: Пусть c Î [a,b), тогдасходится <=> сходится. = +
Df:сходится абсолютно если сходится => S0...¥aK сходится абсолютно если S0...¥|aK| - сходится
Th: Абсолютно сходящийся интеграл (ряд) сходится.
Доказательство:
1) - сходится
2) S0...¥ fN - сходится
1=>2: в силу монотонности f(t) ³ f(x) ³ f(t+1) x Î [t, t+1] интегрируя на [t, t+1] получим: f(t)…
Th: Пусть aNaN+1 < 0 и |aN|®0, тогда если S0...¥ aN сходится и равна S, то |S| £ |a0|, а знак S совпадает со знаком a0 (sgn S = sgn a0,… Доказательство: a0>0
SN = S0...N-1 aK = (a0+a1) + (a2+a3) +...+ (aN-2+aN-1) каждое из слагаемых больше нуля так как |aN|®0
Пример: S0...¥xN; NÖxN = |x|<1 - признак сходимости Коши => (-1,1) - область сходимости данного ряда
fN(x) = aN(x-x0)N; S0...¥aN(x-x0)N - вид степенного ряда x0 = const t =… Лемма: Пусть (1) сходится при x = x0 и |x1|<|x0|, тогда (1) сходится при x = x1:
Df: A Í RN, xO - необязана лежать в А; xO - предельная точка A, если $E>0: OE(xO)ÇA¹Æ. A’ - множество предельных… Df: A Í RN; xO - изолированная точка от A, если $E>0:… Df:A - замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки (А^ = AÈA’)
f:D Î RN ® RM
A Î RN - предел этой вектор функции, xO Î D => lim f(x) = A при… Df по Коши: " E>0 $ d>0: x Î DÇOd(xO) => f(x) Î O’E(A)
Df: D - связано, если " xO,x1 Î D $ путь T(xO,x1) < D.
Df: Областью называется открытое связанное множество.
Th: Пусть 1) f:d®R
f(xO +Dx) - f(xO) = A Dx + o(Dx).
Всякие замечания:
f(xO + Dx) - f(xO) - вектор из m координат
Доказательство:F(h) = f(x0+h,y0+h) - f(xO,yO+h) - f(xO+h,yO) + f(xO,yO) / h2
Зафиксировав h и y получаем: U(x) = f(x,yO+h) - f(x,yO) / h, F(h) = U(xO+h) -… Зафиксировав h и ч получаем: U(y) = f(xO+h,y) - f(xO,y) / h, F(h) = U(yO+h) - U(yO) / h