И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. F î L[A,b], F(X) = ...
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b]
Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) = - непрерывна на [a,b].
Доказательство: Так как f Î L[a,b] => f - ограничена на [a,b] => $ M: |f(t)|<M
F(x + Dx) == F(x) +
|F(x+Dx) - F(x)| = || £ || - переход к неравенству по свойству интеграла || £ || = MDx (использовали то, что |f(t)|<M). => Получили |F(x+Dx) - F(x)| £ MDx => при Dx®0 F(x+Dx)®F(x) - определение непрерывности
Th: Пусть f Î L[a,b] и f непрерывна в точке x Î [a,b], тогда d= f(x) или dF(x)/dx = f(x) или F’(x) = f(x)
Из непрерывности f(t) в точке x получаем: " E>0 $ d>0: |t-x| < d => |f(t)-f(x)| < E
Возьмем Dx < d => |t-x| < Dx < d => |f(t)-f(x)| < E
Получили: 1/Dx* < 1/Dx*=1/Dx*EDx = E => |(F(x+Dx)-F(x))/Dx - f(x)| < E
Следствие: Если f(t) непрерывна на [a,b], то f имеет первообразную на [a,b]
Доказательство: Если f(t) непрерывна на [a,b] => она непрерывна на [a,x] (x Î[a,b]) => по теореме об интегрировании непрерывных функций существует => существует функция F(x) = , а по только что доказанной теореме F’(x)=f(x), т.е. F(x) является первообразной функции f.
Эквивалентность функций.
d - отношение эквивалентности
Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G'
Df: Введем понятие отношения t: F t
Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =
Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны:
1)
Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны
Th: Пусть aNa
Новости и инфо для студентов