рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

  • Раздел Математика
  •  / 
  • Дифференцируемость. Производные по направлению.

Реферат Курсовая Конспект

Дифференцируемость. Производные по направлению.

Дифференцируемость. Производные по направлению. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. Df: Пусть Df - Область Определения Функции F î RN...

Df: Пусть Df - область определения функции f Î RN, f:Df®RM, xO Î DOf (DOf - множество внутренних точек), f - дифференцируема в xO, если $ A Î RM,N:

f(xO +Dx) - f(xO) = A Dx + o(Dx).

Всякие замечания:

f(xO + Dx) - f(xO) - вектор из m координат

ADx, o(Dx) - вектора из m координат

A Î RM,N - т.е. a - m,n матрица (m - строк, n - столбцов)

Элементы матрицы A зависят только от xO

o(Dx) = aDx, a®0 при Dx ® 0

a - матрица, ее элементы зависят от xO и x

Следствие: f дифференцируема в xO => f непрерывна в xO

Df: Пусть f:dÍRN ®RM, xO Î DO. Если lim f((xO+Dx1) - f(xO))/Dx1 при Dx1®0 - существует, то это и есть частная производная функции f по переменной x1 при фиксированном

значении всех остальных переменных.

Df: Пусть f:dÍRN®RM, e - произвольный единичный вектор, xO Î DO. Если lim f((x0+te)-f(x0))/t при t®0 - существует, то это и есть производная функции f по направлению е.

lim f((x0+te)-f(x0))/t = ¶f/¶e(x0). Если функция дифференцируема: берем te = Dx => lim f((x0+te)-f(x0))/t = lim(Ate + ate)/t = Ae при t®0 (т.к. a®0 при Dx®0, т.е. te®0 <=> t®0)

¶e = ei = [0, 0, ...,1 на i-том месте, 0,...,0] ¶f/¶ei(x0) = [A1i,...,AMi], ¶f/¶e(x0) = (¶f(x0)/¶x1,...,¶f(x0)/¶xN)e - справа - скалярное произведение векторов.

Df:Вектор (¶f(x0)/¶x1,...,¶f(x0) - называется градиентом функции f в точке x0 и обозначается grad f(x0).

-|grad f(x0)||e| £ grad f(x0)e = ¶f/¶e(x0) = grad f(x0)e £ |grad f(x0)||e| = |grad f(x0)|

¶f/¶e(x0) £ |grad f(x0)|, но ¶f/¶e(x0) = grad f(x0)e = |grad f(x0)| <=> cos угла между градиентом и e равен 1 => угол равен 0 => ¶f/¶e(x0) - max в направлении градиента => градиент - направление наибольшего роста

Th:Если все частные производные функции f:DÍRN®R непрерывны в точке x0, то f дифференцируема в точке x0.

Доказательство: x = [x1,...,xN], x' = [x2,...xN], x = (x1,x'), xO = (xO1,x'O)

f(x1,x')-f(xO1,x')=¶f(xO1,x')/¶x1*Dx1 - получили по формуле конечных приращений Лагранжа, равенство приблизительное т. к. формула Лагранжа: f(x)-(x0) = f'(x0 + qDx)*Dx, где

q Î (0,1) => f(x) - f(xO) » f'(x0)Dx

f = f(x) - f(xO) = f(x1,x') - f(xO1,x'O) = f(x1,x') - f(xO1,x') + f(xO1,x') - f(xO1,x'O) =

 

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.

На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференцируемость. Производные по направлению.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Эквивалентность функций.
d - отношение эквивалентности Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G' Df: Введем понятие отношения t: F t

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай простых корней)
P(x)/Q(x) - др/рац. функция над полем R, degP(x)<degQ(x) => дробь правильная. Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь Лемма:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай кратных корней)
Лемма1: Пусть P(x), Q(x) над полем R[x] degP(x)<degQ(x); Q(x)=(x-z)kR(x) k³2, R(z)¹0, тогда $AÎR и P'(x) над R[x]: òP(x)/Q(x)dx=A/(x-z)k-1

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.
P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b. P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn

Суммы Дарбу и их свойства
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b} NI = sup f(x) x Î [xI-1,xI]

Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Th: Если f ограничена и монотонна на [a,b], то f Î L[a,b]: Доказательство: P = {a = x0 < x1< x2 <

Среднее значение функции на отрезке.
Th: Пусть f, g Î L[a,b} и f(x) £ g(x) на [a,b], Тогда: a) £

И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b] Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) =

Формула Ньютона-Лейбница
Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b)

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема о замене переменной: Пусть g монотонна на [a,b] и g’ Î C[a,b], f Î C[g(a),g(b)], тогда

Сходимость несобственного интеграла и ряда. Их взаимосвязь. Критерий Коши.
[a,b) b Î RÇ{¥} " b' < b f(x) Î L[a,b`] => F(x) = (a£x£b)

Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.
У всех интегралов в b особенность Df:сходится абсолютно если

Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны: 1)

Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны Th: Пусть aNa

Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.
S0...¥fN (x) D={x Î R: S0...¥fN(x) - сходится} Пример: S0...¥xN; N

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.
Df: A Í RN, xO Î A; xO - внутренняя точка A, если $R: OR(xO) Í A. AO - множество внутренних то

Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте.
f:RN ® RM (при m = 1 - это фунция от n переменных) f:D Î RN ® RM A Î RN - предел этой вектор функции, xO

Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.
Df: D Í RN u:[a,b] ® RN, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = xO, u(b)=x1. При x ¹ x' T = {u(x

Поверхности уровня. Касательная плоскость.
Th: Пусть f:DÍR2®R и ¶2/¶x¶y, ¶2/¶y¶x - непрерывны в точке (x0,y0), тогда ¶2f(x0,y0)/

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги