Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.

У всех интегралов в b особенность

Df:сходится абсолютно если сходится => S_0...¥a_K сходится абсолютно если S_0...¥|a_K| - сходится

Th: Абсолютно сходящийся интеграл (ряд) сходится.

Доказательство:

=> |

Согласно критерию Коши: для интеграла: " E>0 $ b' x₁,x₂ Î (b',b) => =>

Согласно критерию Коши: для ряда: " E>0 $ n₀: " n>n₀ " p>0 |a_N+1| + ... + |a_N+P| < E =>

|a_N+1 + ... + a_N+P| £ |a_N+1| + ... + |a_N+P| < E т.е.|a_N+1 + ... + a_N+P| < E

Признак сравнения 1:a) Пусть 0 £ f(t) £ g(t) при t Î [a,b] и сходится, тогда - сходится

б) 0 £ a_{K £} b_K k Î Z+ и S_0...¥ b_K cходится, тогда S_0...¥a_K cходится.

Доказательство:

a) G(x) = ; F(x) =

G(x) монотонно растет, F(x) - монотонно растет, берем x_N®¥, F(x_N) - монотонно растет £ G(x_N) - монотонно растет

®=> F(x_N) - ограничена сверху числом => F(xn) сходится

б) аналогично

Признак сравнения 2:B = S_0...¥ b_K, A = S_0...¥ a_K, если существует предел lim a_N/b_N = K, тогда

a) если ряд B сходится и 0 £ k < +¥, то ряд A также сходится

б) если ряд B расходится и 0 < k £ +¥, то ряд A также расходится

Доказательство:

a) по определению предела a_N/b_N < K + E => a_N < b_N * (K + E). Так как ряд B сходится => ряд C = S_0...¥ (K + E) b_K - также сходится => a_N < b_N *(K + E) => S_0...¥ a_K < S_0...¥ (K + E) b_K => по признаку сравнения 1, что ряд A сходится.

б) по свойствам пределов при K>0 $ предел отношения a_N/b_N => A должен расходится иначе по доказанному в a) B также сходится, что противоречит условию.

Признак сравнения 3: B = S_0...¥b_K, A = S_0...¥a_K Если $ n₀: " n>n₀ выполняется неравенство: a_N+1/a_N £ b_N+1/b_N, тогда из сходимости ряда B вытекает сходимость ряда A, а из расходимости ряда A вытекает расходимость ряда B.

Доказательство: Отбросим члены до n₀ и перенумеровав их (n₀, n₁, n₂...) получим: a₂/a₁ £ b₂/b₁, a₃/a₂ £ b₃/b₂,...,a_N/a_N-1 £ b_N/b_N-1

Перемножив почленно эти неравенства получим: a_N/a₁ £ b_N/b₁ => a_N £ b_Na₁/b₁, так как a_Nb₁/a₁ £ b_N

Пусть ряд B сходится => сходится ряд C = S_0...¥ b_K a₁/b₁ => по первому признаку сравнения сходится ряд A.

Пусть ряд A расходится => расходится ряд D = S_0...¥ a_K b₁/a₁ => расходится ряд B, так как иначе по первому признаку сходимости сходился бы ряд D - противоречие.

 

25.Признаки сходимости Д'Аламбера и Коши

Признак Д'Аламбера: Пусть a_N®0 и lim a_N+1/a_N = w при n®+¥ (w Î RÈ{+¥}, тогда

1) если w>1, то S_0...¥ a_N - расходится

2) если w<1, то S_0...¥ a_N - сходится

Доказательствво:

1) lim a_N+1/a_N > 1 => $ n₀: " n>n₀ a_N+1 > a_N => lim a_N ¹ 0 => нарушено необходимое условие сходимости ряда (следствие из критерия

сходимости рядов Коши) => ряд расходится

2) w < 1, w’ = w+E, w’ Î (w,1)

Рассмотрим a_N+1/a_N £ w < w’: $ n₀: " n ³ n₀

a_No+1/a_No * a_No+2/a_No+1 *...* a_No+K/a_No+K-1 = a_No+K/a_No < (w')^K

a_No+K < a_Now’^Ka_Now’^K - ряд S0....¥ a_Now’^K сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем w’ => сходится ряд S_0...¥ a_No+K => сходится ряд S_0....¥ a_Nk = S_0...¥ a_No+K + S_0...No a_No+K (константа)

Признак Коши: Пусть a_N > 0 и lim a_N^1/N = q, тогда

1) если q > 1 => S_0...¥ a_N - расходится

2) если q < 1, то S_0...¥ a_N - сходится

Доказательство:

1) a_N^1/N ® q >1 => $ k₀: " k ³ k₀ a_Nk^1/Nk >1 => a^Nk > 1 - бесконечно много членов ряда >1 => lim a_N ¹ 0 => ряд расходится

2) q <1, lim a_N^1/N = q q < q' < 1

В интервале (q',1) не может быть бесконечно много членов последовательности a_N^1/N (так как тогда в эпсилон окрестности точки q (E < (q+q')/2) находится конечное число членов последовательностити - противоречие так как q - предел a_N^1/N) => $ n ³ n₀: a_N^1/N £ q' => a_N £ q'^N => S_0...¥ a_N £ S_0...¥ q'^N, S_0...¥ q'^N - сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия => по первому признаку сравнения S_0...¥ a_N - также сходится.