рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Системы линейных уравнений

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Системы линейных уравнений - Лекция, раздел Математика, Тексты Лекций   Лекция 1. Системы Линейных Уравнений....

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ

 

ЛЕКЦИЯ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1. Системы линейных уравнений.

2. Равносильные системы линейных уравнений

3. Элементарные преобразования систем.

 

1. Системы линейных уравнений.

Систему m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде запишем, так:

(1)

где – неизвестные, – коэффициенты i-го уравнения при неизвестном ,– свободный член i-го уравнения.

Определение. Решением системы (1) назовем любой упорядоченный набор из n чисел , обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Замечание. Набор , – образует одно решение системы (1).

Определение. Систему назовем совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и – несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Замечание. Исследовать систему уравнений (1) – значит установить, совместна ли данная система уравнений. Если система совместна, установить, сколько решений она имеет и найти их (если это возможно) или описать множество решений более эффективным способом.

Теорема. Если система линейных уравнений имеет два различных решения, то она имеет их бесконечное множество.

Доказательство.

Пусть дана система линейных уравнений (1) и (2), (3) – два различных решения системы (1).

Рассмотрим упорядоченный набор чисел:

(4)

1. Докажем, что (4) является решением (1).

Так как (2) и (3) – решения (1), то они обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Для удобства рассмотрим i-ое уравнение системы (1), т.е.

, (5)

тогда

и (6)

Подставляя (4) в (5), с учетом (6), получим:

=

==

=

Таким образом, набор (4) является решением i-го уравнения системы (1). Проводя аналогичные рассуждения для остальных уравнений системы (1) получим, что (4) – решение системы (1).

2. Покажем, что при упорядоченные наборы вида (4) – различны, т.е. наборы

, (7)

(8)

различные решения системы (1).

Пусть (7) и (8) равны, тогда

.

Из последнего равенства, учитывая, что , получим , тогда =, что противоречит предложению: (2) и (3) – различные решения системы (1). Следовательно (7) и (8) – различны.

Поскольку t может приобретать бесконечное множество значений, то и система (1) имеет бесконечное множество решений.

Вывод. Совместная система линейных уравнений может иметь либо одно решение либо бесконечно много решений.

Определение. Совместную систему линейных уравнений назовем определенной, если она имеет единственное решение; и – неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Замечание. Решить систему линейных уравнений – это, значит, исследовать, совместна она или нет; в случае совместности установить число ее решений и найти все эти решения.

 

2. Равносильные системы линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

и линейное уравнение с этими же неизвестными:

a1 x1+ a2 x2+…+ anxn= b (2)

Определение 1. Уравнение (2) называется следствием системы уравнений (1),

если каждое решение системы (1) является решением уравнения

(2).

Пусть дана система s линейных уравнений с этими же неизвестными:

(3)

Определение 2. Система уравнений (3) называется следствием системы

уравнений (1), если каждое решение системы (1) является

решением системы уравнений (3).

Вывод. Если уравнение (2) и система (3) являются следствием системы уравнений

(1), то каждое решение (l1,l2, … , ln) системы уравнений (1) удовлетворяет уравнению (2) и системе (3), но и (2), и (3) могут иметь решения, которые не удовлетворяют системе (1) ( посторонние для системы (1) ).

Пример.

(4)

(a1 –b1)x1+ (a2 –b2)x2=c1-c2 (5)

(6)

(5) и (6) следствия системы (4).

Определение 3. Системы уравнений (1) и (3) с одними и теми же неизвестными

называются равносильными, если множества их решений совпадают, т. е. каждое решение одной из них является решением другой и наоборот или если обе системы несовместны.

Вывод. Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными будут

равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем будет следствием другой.

Определение 4. Если в системе (1)одно или несколько произвольно выбранных

Уравнений, то оставшиеся уравнения образуют систему уравнений, которую называют подсистемой системы (1).

Если какое-либо уравнение системы (1) является следствием подсистемы, образованной всеми другими ее уравнениями, то говорят, что это уравнение является следствием остальных уравнений системы.

Теорема. Если в системе линейных уравнений одно из уравнений является

следствием других ее уравнений, то, отбросив это уравнение, получим систему уравнений, равносильную исходной системе.

Доказательство. Предположим, что в системе (1) некоторое уравнение

ak1 x1+ ak2 x2+…+ aknxn= bk (1 ≤ k ≤ m) (7)

является следствием других ее уравнений. Отбросив это уравнение, получим систему:

(8)

Докажем, что система (8) равносильна системе (1).

Действительно, каждое решение (l1,l2, … , ln) системы (8) удовлетворяет уравнению (7), т. к. уравнение (7) следствие системы (8). Следовательно, оно удовлетворяет всем уравнениям системы (1), т. е. является решением системы (1).

Наоборот, каждое решение (c1,c2, … ,cn) системы (1) удовлетворяет каждому ее уравнению, а значит, и каждому уравнению системы (8), т. е. является решением системы (8). Если одна из систем (1) или (8) несовместна, то, как вытекает из доказанного выше, и другая несовместна.

Вывод. Если какое-либо уравнение данной системы является следствием других ее

уравнений, то его можно отбросить.

Следствие. Уравнение системы, которое является тождеством, можно отбросить.

 

3. Элементарные преобразования систем.

Определение. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений

назовем следующие преобразования:

– перемена местами (транспозиция) двух уравнений в системе;

– умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

– прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на некоторое число.

Предложение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений

обратимы.

Доказательство. Пусть (1) – исходная система, а система (1') – получена из (1) при помощи одного из элементарных преобразований. Тогда:

– если (1') получена из (1) перестановкой i-го и k-го уравнений, то переставив в (1') i-ое и k-ое уравнения получим (1).

– если (1') получена из (1) умножением i-го уравнения на число c≠0, то умножив i-ое уравнение (1') на c-1 получим (1).

– если (1') получена из (1) прибавлением к i-му уравнению k-го умноженного на число c, то прибавив к i-му уравнению системы (1') k-ое уравнение этой системы умноженное на число ( - c) получим (1).

Теорема. При всяком элементарном преобразовании система линейных уравнений

переходит в равносильную ей систему.

Доказательство. Пусть (1) – исходная система, а система (1') – получена из (1) при помощи одного из элементарных преобразований. Тогда:

– если выполнено преобразование первого типа, то (1) и (1') отличаются лишь порядком следования уравнений. Поэтому каждое решение системы (1) является решением (1'). Следовательно, система (1') является следствием (1).

– если выполнено преобразование второго или третьего типа, то система (1') отличается от системы (1) одним уравнением, например, первым в системе (1') первым является уравнение вида:

ca11 x1+ca12 x2+…+ ca1nxn= cb1 (2)

или

(a11+cak1) x1+ ( a12+cak2) x2+…+( a1n+cakn)xn= b1+cbk (2 ≤ k ≤ s) (3)

Очевидно, что если (l1,l2, … , ln) решение системы (1), т. е. (l1,l2, … , ln) удовлетворяет любому уравнению системы (1), то оно удовлетворяет и уравнениям (2) и (3). Поэтому, всякое решение системы (1) является решением системы (1'). Следовательно, (1') является следствием (1).

Таким образом, из доказанного имеем, что при всяком элементарном преобразовании система линейных уравнений преобразуется в систему, являющуюся следствием исходной системы.

Учитывая обратимость элементарных преобразований, имеем, что система (1) является следствием (1'), т. к. существуют элементарные преобразования, переводящие (1') в (1).

Таким образом, показано, что системы (1) и (1') равносильны.

 

ЛЕКЦИЯ 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.

1. Метод Гаусса.

Суть метода заключается в том, что при помощи элементарных преобразований данная система приводится к такому виду, из которого все ее решения усматриваются непосредственно.

Замечание. Если в системе линейных уравнений с n неизвестными есть уравнение вида

0x1+0x2+…+0xn=0 , (1)

то его можно отбросить, т. к. любой набор (l1,l2,…,ln) является решением (1). Если среди уравнений системы есть уравнение вида

0x1+0x2+…+0xn=b, b≠0, (2)

то такая система несовместна, т. к. никакой набор (l1,l2, … ,ln) не может удовлетворять уравнению (2).

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(3)

Будем считать, что среди уравнений системы (3) нет уравнений вида (1) и (2), т. е. уравнения вида (1) можно отбросить, а при наличии в системе уравнений вида (2) она была бы несовместной.

Поскольку система (3) является системой с n неизвестными, то в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Поэтому, среди уравнений системы (3) есть уравнение содержащее x1. Пусть этим уравнением является первое уравнение (этого всегда можно достигнуть перестановкой уравнений), т. е. пусть a11≠0.

С помощью элементарных преобразований в системе (3) исключим из всех уравнений кроме первого неизвестное x1. Для этого первое уравнение умножим на число

(- a21/a11) и сложим со вторым; затем третье уравнение сложим с первым умноженным на

(- a31/a11), … , к m-му уравнению прибавляем первое умноженное на (- am1/a11).

В результате преобразований получим новую систему (3'). Если среди уравнений системы (3') есть уравнение вида (2), то система несовместна, а значит система (3) не имеет решений. Если среди уравнений системы (3') есть уравнение вида (1), то отбросив его получим систему с меньшим числом уравнений:

, (4) где s ≤ m, 2 ≤ p2 ≤ n.

Система (4) равносильна системе (3) (см. теорему 3 лекции 1). Подвергнем преобразованию подсистему системы (4), состоящую из всех уравнений системы, кроме первого. Среди коэффициентов есть по крайней мере один отличный от нуля. Будем считать, что ≠0 (этого можно достигнуть перестановкой уравнений).

Преобразуем систему (4), прибавляя к третьему, четвертому, и т. д., s-му уравнениям системы второе умноженное на числа:

Этим мы исключим неизвестное (и быть может, некоторые другие неизвестные) из всех уравнений, начиная с третьего, и получим систему следующего вида:

, (5)

где t ≤ s ≤ m, 2 ≤ p2 < p3 ≤ n.

Система (5) равносильна системе (4), а следовательно, и системе (3).

В дальнейшем подлежит преобразованию лишь подсистема системы (5), содержащая все уравнения системы (5), содержащая все уравнения системы (5) кроме двух первых. Продолжая описанный процесс исключения неизвестных, на каждом этапе будем получать систему уравнений равносильную исходной системе (3).

При этом возможны случаи:

1) на каком-то этапе мы получим систему, в которой есть уравнение вида (2). Такая система несовместна, а поэтому и заданная система (3) несовместна;

2) через конечное число шагов получим систему линейных уравнений вида:

, (6)

где r ≤ t ≤ s ≤ m, 2 ≤ p2 < p3 <….< pr ≤ n. Коэффициенты отличны от нуля.

Определение. Систему линейных уравнений вида (6) называют системой

ступенчатого вида или ступенчатой системой.

Предложение. Ступенчатая система (6), а, следовательно, и заданная система (3),

совместна.

Доказательство.

1) Если r=n, то система (6) имеет вид:

(7)

 

(c11 ≠ 0, c22 ≠ 0, … , cnn ≠ 0), т. е. имеет треугольную форму.

Из последнего уравнения системы (7) находим находим вполне определенное значение для неизвестного xn:

.

Подставив это значение xn в предпоследнее уравнение системы (7), найдем значение xn-1. Таким же способом найдем значения для неизвестных xn-2, xn-3, … , x2, x1.

Найденные значения неизвестных x1, x2, … , xn образуют упорядоченный набор, являющийся единственным решением системы (7), а следовательно, и системы (3).

2) Если r < n, то (6) имеет ступенчато- трапецеидальную форму. Назовем неизвестные с которых начинаются уравнения системы (6), главными (основными), а все остальные неизвестные – свободными (). Взяв для свободных неизвестных произвольные числовые значения, вычисляем (двигаясь по системе (6) снизу вверх) значения неизвестныхТак как значения для свободных неизвестных можно выбирать бесконечным числом различных способов, то система (6), а, следовательно, система (3) будут совместными, но неопределенными.

Решение системы (6) можно записать в виде:

(8)

Формулы (8) называют общим решением системы уравнений (3).

Вывод. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если при решении методом Гаусса мы получим систему, имеющую в своем составе уравнение 0=1, то заданная система несовместна. Если же в процессе решения мы такого уравнения не получим, то система совместна. Совместная система будет определенной, если методом Гаусса она приводится к системе, имеющей треугольную форму, и неопределенной, если она приводится к системе ступенчато - трапецеидальной формы.

 

2. Метод Гаусса – Жордана.

Метод Гаусса – Жордана является модификацией метода Гаусса. Суть этого метода заключается в следующем:

– вместо того чтобы исключить неизвестноетолько из уравнений с номерами (k+1), (k+2), … , его исключают также из уравнений с номерами 1,2,3,…,(k-1). В результате появиться только в k-ом уравнении. Таким образом, не будет необходимости в обратной подстановке выражений основных неизвестных через свободные неизвестные.

ЛЕКЦИЯ 3. ЧИСЛОВОЕ КОЛЬЦО, ПОЛЕ.

 

1. Понятие алгебры.

Алгебра изучает множества, на которых определены отношения, получившие название алгебраических операций.

Определение. Пусть M – произвольное множество элементов a, b, c, … Под

бинарной операцией на множестве на множестве M подразумевают закон, по которому любым двум (различным или одинаковым) элементам a и b этого множества, взятым в определенном порядке, ставиться в соответствие вполне определенный элемент этого множества.

Пример. Операции: сложения, умножения, объединения двух множеств, пересечения двух множеств и т. д.

Определение. Пусть M – произвольное множество элементов a, b, c, … любой

природы. Говорят, что на множестве M введена некоторая унарная операция, если каждому элементу a множества M поставлен в соответствие единственный элемент этого же множества.

Пример. Операции: возведения числа в квадрат; взятие дополнения подмножества данного множества; нахождение абсолютной величины действительного числа.

В алгебре рассматриваются также n-арные операции, т. е. операции которые выполняются над упорядоченными системами элементов донного множества.

Пример. Нахождение НОД и НОК натуральных чисел.

Определение. Множество M с некоторым набором алгебраических операций и отношений, определенных на этом множестве, называется алгебраической системой.

Примеры. N (+,∙ ) – алгебраическая система натуральных чисел.

Z (+, ∙ , -) – алгебраическая система целых чисел.

R (+, ∙ , -, :) – алгебраическая система действительных чисел.

Важнейшими алгебраическими системами являются: группа, кольцо, поле, линейное пространство, линейная алгебра.

 

2. Группа.

Определение. Непустое множество G, на котором определена бинарная

операция, называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция ассоциативна, т. е.

;

2) в множестве G существует нейтральный элемент ,т. е.

3) для каждого элемента в множестве G существует симметричный элемент a', т. е.

Определение. Если определенная на группе G бинарная операция коммутативна,

то группа G называется коммутативной или абелевой.

Если операцию называют умножением, то группу G(∙) называют мультипликативной (группой по умножению). Если операцию называют сложением, то группу G(+) называют аддитивной (группой по сложению).

Группа элементами которой являются числа, называется числовой группой.

Примеры. Z(+) – абелева группа целых чисел.

Q(+) – абелева группа рациональных чисел.

R(+) – абелева группа действительных чисел.

– множество четных чисел, Z2 (+) – абелева группа.

Q+ – множество положительных рациональных чисел, Q+(∙) – абелева группа положительных рациональных чисел.

Q*– множество отличных от нуля рациональных чисел, Q* (∙) – абелева группа отличных от нуля рациональных чисел.

R+(∙) , R*(∙)абелевые группы.

M = {1,-1}, M(∙) – абелева группа.

B = {0}, B(+) – абелева группа.

Вывод. Множество чисел является группой по сложению, если оно замкнуто

относительно операций сложения и вычитания, и группой по умножению – если оно замкнуто относительно операций умножения и деления (кроме деления на ноль).

3. Кольцо.

Определение. Непустое множество K, на котором определены операции сложения

и умножения, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

I. K(+) – абелева группа, т. е.

II. Операция умножения ассоциативна, т. е.

III. Операция умножения дистрибутивна относительно операции

сложения, т. е.

Определение. Если операция умножения в кольце K коммутативна, то кольцо

называется коммутативным.

Примеры. Z(+,∙) – коммутативное кольцо целых чисел.

Q(+,∙) – коммутативное кольцо рациональных чисел.

R(+,∙) – коммутативное кольцо действительных чисел.

– множество четных чисел, Z2 (+) – коммутативное кольцо.

B = {0}, B (+,∙) – нулевое кольцо.

K(+,∙ ) – коммутативное кольцо.

N, Z3, Q+ – не являются кольцами, т. к. не содержат нейтральный относительно сложения элемент – ноль.

Кольцо элементами которого являются числа, называется числовым кольцом.

Вывод. Множество чисел является числовым кольцом, если оно замкнуто

относительно операций сложения, вычитания и умножения.

3. Поле.

Определение. Коммутативное кольцо P называется полем, если в нем

содержится по крайней мере один элемент, отличный от нуля, и если в нем выполняется операция деления, кроме деления на ноль,

Примеры.

Q(+,∙) – поле рациональных чисел.

R(+,∙) – поле действительных чисел.

K(+,∙ ) – поле.

Поля элементами которого являются числа, называют числовыми полями.

Вывод. Если множество чисел замкнуто относительно операций сложения,

вычитания, умножения и деления, то оно является числовым полем.

4. Метод математической индукции.

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.

I. Основная форма принципа математической индукции.

Если некоторое утверждение T справедливо для числа 1 и если из предположения, что оно справедливо для натурального числа k, вытекает его справедливость для числа k+1, то утверждение T справедливо для любого натурального числа n.

Чтобы доказать методом математической индукции справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n, надо:

1) доказать, что утверждение справедливо для 1;

2) предположив, что оно справедливо для k, доказать его справедливость для k+1.

Пример. Доказать, что при любом натуральном n справедлива формула:

(1)

Доказательство.

1) при n=1, как показывает проверка, формула верна.

2) предположим, что формула (1) справедлива для n=k, т. е.

. (2)

Докажем, что (1) справедлива для n=k+1, т. е. что

. (3)

Преобразуем правую часть (3), используя равенство (2)

(4)

Из (4) следует, что (2) – верно.

Значит, в силу принципа математической индукции, формула (1) справедлива для любого натурального числа.

II. Обобщение основной формы принципа математической индукции.

Если некоторое утверждение T справедливо для натурального числа n0 и если из предположения, что оно справедливо для натурального числа k≥n0, вытекает его справедливость для числа k+1, то утверждение T справедливо для любого натурального числа n≥n0.

III. Вторая форма принципа математической индукции.

Если некоторое утверждение T справедливо для числа 1 и если из предположения, что оно справедливо для всех натуральных чисел, меньших натурального числа k, вытекает его справедливость для числа k, то утверждение T справедливо для любого натурального числа n.

IV. Обобщение второй формы принципа математической индукции.

Если некоторое утверждение T справедливо для натурального числа n0 и если из предположения, что оно справедливо для всех натуральных чисел l, удовлетворяющих условию n0 ≤ l < k, вытекает его справедливость для числа k, то утверждение T справедливо для любого натурального числа n≥n0.

Пример. Доказать утверждение: «Любое натуральное число n > 1 можно

представить в виде произведения простых чисел.»

При n=2 теорема верна, т. к. 2 – простое число.

Предположим, что утверждение cправедливо для всех натуральных чисел l, таких что 2 ≤ l < k, и покажем, что она справедлива и для k.

Если k – простое число, то для него утверждение справедливо;

если k – составное число, то k=k1k2, где k11 и k21.

Но тогда k1 < k и k2 < k. Поэтому, по предположению, для k1 и k2 утверждение справедливо. Следовательно, , где pi(i=1,…,s), qj (j=1,…,r) – простые числа. Тогда k можно представить в виде произведения простых чисел:

.

Следовательно, в силу принципа математической индукции, утверждение верно для любого натурального числа n > 1.

 

ЛЕКЦИЯ 4. АРИФМЕТИЧИСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАСТВО.

1. Арифметическое векторное пространство.

Пусть P – некоторое числовое поле с элементами a, b, c, … , т. е. P = {a,b,c, …}.

Определение. Всякая упорядоченная система n чисел (a1,a2, … ,an) из поля P

называется n-мерным числовым вектором; числа a1,a2, … ,an

называются его координатами.

Числовые векторы будем обозначать: α, β, γ, δ, ...

Координаты a1,a2, … ,an n-мерного числового вектора α распологают в строку или в столбец:

(1) (2)

(1) – вектор-строка, (2) – вектор-столбец.

Обозначим Vn – множество n-мерных числовых векторов с координатами из поля P.

Определение. Для любых двух числовых векторов α = (a1,a2, … ,an) и

β = (b1,b2, … ,bn) из Vn положим:

1) (α = β) (a1=b1, a2=b2, … , an= bn);

2) α + β = ( a1+b1, a2+b2, … , an+bn);

3) .

Предложение. Множество Vn всех n-мерных числовых векторов является абелевой

группой относительно определенной в нем операции сложения.

Доказательство. Сложение n-мерных числовых векторов сводится к сложению их соответствующих координат, поэтому оно ассоциативно и коммутативно, т. е.

В множестве Vn содержится нулевой элемент (0,0, … ,0) = θ – нулевой вектор.

Для каждого n-мерного числового вектора α=(a1,a2, … ,an) в множестве Vn содержится противоположный ему вектор - α=(- a1,- a2, … ,- an)

Следствие. В группе Vn выполняется операция вычитания:

α – β = α + (- β) = (a1- b1,a2- b2, … ,an- bn) .

Свойства.

Все свойства доказываются непосредственно.

Определение. Множество Vn всех n-мерных числовых векторов с координатами

из поля P, рассматриваемое с определенными в нем операциями

сложения векторов и умножения вектора на число из поля P называется n-мерным арифметическим пространством над полем P.

 

2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Определение. Вектор β из пространства Vn называется пропорциональным

вектору α из того же пространства, если существует такое число l, что β = lα.

Следствие. 1) пропорционален любому вектору , т. к.

2) (если , то l≠0), т.е. для

ненулевых векторов отношение пропорциональности обладает

свойством симметричности.

Обобщением понятия пропорциональности является понятие линейной комбинации векторов.

Пусть α1,α2, … ,αm (1) – призвольная система векторов из пространства Vn.

Определение. Вектор β из пространства Vn называется линейной комбинацией

векторов α1,α2, … ,αm, если существуют такие числа k1,k2, … ,km, что

β =k1α1+ k2α2+ … +kmαm ,где k1,k2, … ,km – коэффициенты линейной комбинации.

Следствие. 3) любой вектор αs системы (1) является линейной комбинацией

векторов этой системы;

4) нулевой вектор является линейной комбинацией векторов любой

системы α1,α2, … ,αm , т.е. θ = 0α1+ α2+ … + αm..

Определение. Система векторов α1,α2, … ,αm пространства Vn называется

линейно зависимой, если существуют такие числа k1,k2, … ,km , не все равные нулю, такие что k1α1+ k2 α2+ … + kmαm = θ .

Система векторов α1,α2, … ,αm пространства Vn называется

линейно независимой, если равенство k1α1+ k2 α2+ … + kmαm = θ возможно только при k1= k2= …= km= 0.

Следствие. 5) система, состоящая из одного вектора α, линейно независима, если

α≠θ.

Если α= θ, то kα= θ и при k=1≠0.

Если αθ, то из kα= θ , следует, что k=0.

Примеры. 1. β= (3, 0, - 6, 9) пропорционален α= (2, 0, - 4, 6) β= .

2. β= (15, -11, 7, 7) является линейной комбинацией векторов

α1= (1, 0, 1, - 2), α2= (- 1, 2, 0, 3), α3= (2, - 1, 1, 4), т.к. β= 2α1- 3α2+ 5α3.

3. система векторов α1= (1, - 1, 0), α2= (0, - 1, 1), α3= (2, 3, 1), α4= (2, - 1,1)

линейно зависима, т.к. 4α1+ 2α2+α3- 3α4= θ.

4. единичные векторы прстранства Vn: e1=(1,0,0,…,0),e2= (0,1,0,…,1),…,

en=(0,0,0,…,1) образуют систему линейно независимых векторов.

Теорема 1.(критерий линейной зависимости) Система векторов линейно зависима

тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных ее векторов.

Доказательство.

Необходимость. Пусть (1) линейно зависима, т.е. k1α1+ k2 α2+ … + kmαm = θ , и пусть (для определенности) km≠ 0. Тогда

,

тюею αm – линейная комбинация векторов α1,α2, … ,αm .

Достаточность. Пусть α1 системы (1) является линейной комбинацией остальных ее векторов:

где k 1= (- 1) ≠ 0. Следовательно система (1) линейно зависима.

Следствие. 1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно

зависима.

2. Всякая система, состоящая из двух пропорциональных векторов

линейно зависима.

Теорема 2. Если система векторов линейно независима, а

система векторов линейно зависима, то вектор β

является линейной комбинацией векторов .

Доказательство.

Система векторов – линейно зависима, значит

k1α1+ k2 α2+ … + kmαm +km+1β= θ , (2)

в котором не все коэффициенты k1, k2,, km , km+1 равны нулю.

Покажем, что km+1≠ 0.

Если km+1= 0, то из (2) получим равенство: k1α1+ k2 α2+ … + kmαm = θ , в котором не все коэффициенты равны нулю, а следовательно α1, α2, … ,αm – линейно зависимая система векторов, что противоречит условию теоремы. Таким образом, km+1≠ 0.

Из (2) получим:

,

т.е. β – линейная комбинация векторов

Определение. Множество состоящее из любых k (km) векторов системы (1)

называют подсистемой системы (1).

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов (1) линейно зависима, то

система (1) линейно зависима.

Доказательство. Пусть α1, α2, … ,αs (s < m) линейно зависимая подсистема системы (1). Тогда имеет место соотношение: k1α1+ k2 α2+ … + ksαs = θ, в котором все коэффициенты равны нулю. Поэтому, k1α1+ k2 α2+…+ ksαs+ 0αs+1+…+0αm = θ, и, следовательно, система (1) линейно зависима.

Следствие. 1. Теорема 3 равносильна утверждению: если система векторов (1)

линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно

независима.

2. Всякая система векторов, содержащая два равных или два

пропорциональных вектора, линейно зависима.

Теорема 4. Всякие s векторов арифметического n-мерного пространства

составляют при s > n линейно зависимую систему.

Доказательство. Пусть

(3)

произвольно выбранные векторы пространства Vn, причем число их s > n. Докажем, что эти векторы линейно зависимы.

Рассмотрим равенство

k1α1+ k2 α2+ … + ksαs = θ , (4)

и покажем что найдется ненулевой набор значений (k1,k2, … ,ks) ему удовлетворяющий.

Подставив (3) в (4), получим:

(5)

В этой системе число уравнений n меньше числа неизвестных, поэтому применив к системе метод Гаусса получим систему (5') равносильную (5), имеющую трапецеидальную форму, т.е. (5) имеет бесконечное множество решений, среди которых будут и ненулевые решения. Таким образом, среди наборов (k1,k2, … ,ks) найдем набор среди компонентов которого не все равны нулю.

Замечание. 1. Если вектор β пространства Vn является линейной комбинацией

векторов системы (1), то будем говорить, что вектор β линейно

выражается через векторы системы (1).

2. Если каждый вектор системы β1, β2 ,…, βs линейно выражается через

систему (1), то будем говорить, что система векторов β1, β2 ,…, βs

линейно выражается через систему векторов (1).

Предложение: Если вектор β линейно выражается через подсистему системы (1),

то он линейно выражается и через систему (1).

Пусть β = k1α1 + k2α2 + … +ksαs , где α1, α2,…, αs – подсистема системы (1) и sm, тогда можно записать β = k1α1 + k2α2 + … +ksαs + 0αs+1 + … + 0αm .

Теорема 5. Если система векторов γ1, γ2, …, γr линейно выражается через систему

векторов β1,β2, … ,βs, а система векторов β1,β2, … ,βs линейно выражается через систему векторов α1, α2,…, αm, то система γ1, γ2, …, γr линейно выражается через систему α1, α2,…, αm.

Доказательство.

По условию

Тогда

Таким образом, каждый вектор γi линейно выражается через систему α1, α2,…, αm.

Теорема 6. (основная теорема о линейной зависимости систем) Пусть даны две

системы векторов α1, α2,…, αr (6) и β1, β2 ,…, βs (7), причем r > s.

Тогда, если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы, то первая система линейно зависима. (Если большая система линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима.)

Доказательство.

По условию каждый из векторов системы (6) разлагается по векторам системы (7):

(8)

Надо доказать, что система (6) линейно зависима, т.е. что существуют такие числа

x1,x2, … ,xr не все равные нулю, для которых справедливо соотношение:

x1α1+ x2 α2+ … + xrαr = θ (9)

Перепишем равенство (9) с учетом (8):

x1()+ x2()+ xr()= θ

()β1 + ()β2 + … + ()β s= θ

Положим

= 0

= 0

………………………………………………

= 0

Получили однородную систему линейных уравнений в которой число уравнений s меньше числа неизвестных r (по условию r > s). Согласно доказанному в теореме 4 такая система имеет ненулевые решения. Таким образом, показано, что существуют числаx1,x2, … ,xr не все равные нулю, для которых справедливо равенство (9), а значит, система (6) линейно зависима.

Следствие. 1. Если система (6) линейно независима и каждый вектор системы

линейно выражается через систему (7), то rs.

2. Среди линейных комбинаций s векторов не может быть больше,чем

s линейно независимых.

3. Если (6) и (7) две линейно независимые системы векторов и система

(6) линейно выражается через систему (7), а система (7) – через

систему (6). Тогда r = s.

Определение. Лестничной системой векторов называется система вида

(10)

где координаты, расположенные ниже пунктирной диагонали рав ны нулю, а числа a11,a22,…, apn не равны нулю.

Свойство. Лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство.

Выясним, в каком случае вектор вида равен нулю.

Учитывая (10) получим, что первая координата вектора α: k1a11, тогда k1a11 = 0 (при a11≠0), только при k1= 0.

Вторая координата вектора α: k1a12 + k1a22, тогда k1a12 + k2a22= 0 (при k1= 0, a22≠ 0),

только при k2= 0, и т.д.

В результате получим, что равенство возможно лишь при условии k1= k2= … = kp= 0. Следовательно, система (10) линейно независима.

Пример.

Система векторов α1= (0, 3, 4, -2, 1), α2= (- 1, 0, 2, 3, -5), α3= (0, 0, - 2, 1, 1) линейно независима, т.к.

α2= (- 1, 0, 2, 3, - 5)

α1= ( 0, 3, 4, -2, 1)

α3= ( 0, 0, - 2, 1, 1)

лестничная система векторов.

 

ЛЕКЦИЯ 5. РАНГ И БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.

 

1. Базис системы векторов.

Определение. Базис системы векторов α1, α2,…, αm – это непустая линейно

независимая ее подсистема, через которую линейно выражается

любой вектор этой системы.

Пример. Система e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1), α4= (0, 0, 2), α5= (- 1, 2, - 2).

1) (e1, e2, e3) – базис данной системы e1, e2, e3, α4, α5;

2) (e1, e2, α4) – базис данной системы e1, e2, e3, α4, α5.

Теорема 1. Конечная система векторов, содержащая хотя бы один ненулевой

вектор, обладает базисом.

Доказательство. Пусть задана система векторов α1, α2,…, αm (1), содержащая ненулевой вектор. Пусть для определенности α1≠ 0.

Если (1) линейно независима, то она и есть базис системы.

Если (1) линейно зависима, то согласно критерию линейной зависимости, существует вектор, например, вектор αk, который является линейной комбинацией остальных векторов системы (1).

Исключим αk из (1), получим подсистему системы (1): α1, α2,… ,αk-1, αk+1,… , αm (2),

содержащую ненулевой вектор.

Если (2) линейно независима, то она является базисом системы (1).

Если (2) линейно зависима, то из нее можно вычеркнуть вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов, и т.д.

После конечного числа вычеркиваний получается подсистема векторов, ни один вектор которой не выражается линейно через вектора подсистемы; эта подсистема является базисом системы (1), т.к. она линейно независима и непуста.

Теорема 2. Любые два базиса данной конечной системы векторов состоят из

одинакового числа векторов.

Доказательство. Пусть γ1, γ2,…,γr и β1, β2,…,βs – два базиса системы векторов (1).

Тогда согласно следствию 3 из основной теоремы о линейной зависимости систем

r = s, т.к. (3) и (4) линейно независимы и линейно выражаются одна через другую.

 

2. Ранг конечной системы векторов.

Определение. Рангом конечной системы векторов называется число векторов,

Входящих в какой - нибудь базис системы.

Ранг системы нулевых векторов и ранг пустой системы векторов

считается равным нулю.

Теорема. Ранг системы векторов не изменится, если к системе добавить любой

вектор, являющийся линейной комбинацией векторов данной системы.

Ранг системы векторов не изменится, если из системы убрать любой

вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

Доказательство.

I. Пусть дана система векторов α1, α2,…, αm (1) и вектор β является линейной комбинацией векторов системы (1).

Рассмотрим систему α1, α2,…, αm,β (2) и покажем, что любой базис системы (1)

является базисом системы (2).

Выделим из системы (1) базис: α1, α2,…, αr.

Тогда любой вектор системы (1) разлагается по векторам системы α1, α2,…, αr. Но тогда и вектор β разлагается по этим же векторам, т.е. вектора α1, α2,…, αr образуют базис системы (2).

Таким образом, системы (1) и (2) допускают общий базис, следовательно, их ранги совпадают.

II. Если за исходную принять систему (2), а систему, полученную вычеркиванием

одного вектора, – через (1), то окажется, что (2) можно получить из (1) добавлением вектора, являющегося линейной комбинацией векторов из (1). Но в таком случае ранги систем (1) и (2) согласно утверждению доказанному выше равны.

 

3. Элементарные преобразования конечной системы векторов.

Определение. Элементарными преобразованиями конечной системы векторов

называются следующие преобразования:

1) умножение какого-нибудь вектора системы на отличное от нуля

число;

2) прибавление к одному из векторов системы, другого вектора

системы, умноженного на число;

3) исключение из системы или введение в систему нулевого

вектора;

4) перестановка любых двух векторов системы.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг системы.

Доказательство.

Рассмотрим возможные случаи.

1) Пусть дана система α1, α2, … , αm (1), r1 – ранг системы (1).

Умножим, например, α1 на число c≠ 0, т.е. сα1, α2, … , αm (2), r2 – ранг системы (2).

Рассмотрим вспомогательную систему α1, сα1, α2, … , αm (3), r3 – ранг системы (3).

Замечаем, что . Тогда согласно теореме вопроса 2: r1= r3 и r2= r3. Следовательно, r1= r2.

2) Умножим α1 на с ≠ 0 и прибавим к вектору α2, получим систему

α1, α2+ сα1, α3, … , αm (4), r4 – ранг системы (4).

Рассмотрим вспомогательную систему

α2, α1, α2+ сα1, α3, … , αm (5), r5 – ранг системы (5).

Замечаем,что

Тогда согласно теореме вопроса 2: r1= r5и r4= r5. Следовательно, r1= r4.

3) Является следствием теоремы вопроса 2.

4) Очевидно.

Определение. Системы векторов α1, α2, … , αm и β1, β2,…,βs называются

эквивалентными, если каждый ненулевой вектор любой из этих систем можно представить в виде линейной комбинации векторов

другой системы.

 

ЛЕКЦИЯ 6. РАНГ МАТРИЦЫ. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

 

1. Векторная форма записи системы линейных уравнений.

Из определения равенства числовых векторов, суммы векторов и произведения вектора на число вытекает, что

(1) , (1')

где – неизвестные,m-мерный вектор составленный из коэффициентов при m-мерный вектор свободных членов.

Уравнение (1') называется векторной формой системы линейных уравнений (1).

Определение. Решением системы линейных уравнений (1) называется всякий

n-мерный числовой вектор , который является

решением каждого из уравнений этой системы.

 

2. Система однородных линейных уравнений, условия существования

нетривиальных решений.

Определение. Систему линейных уравнений, в которой все свободные члены

равны нулю, называют однородной системой линейных

уравнений или однородной линейной системой.

(2) , (2')

Предложение. Всякая однородная система совместна.

Доказательство. Любая однородная система имеет решение .

Определение. Решение называют нулевым или тривиальным

решением однородной системы.

Всякое решение однородной системы, отличное от нулевого, называют ненулевым или нетривиальным.

Теорема. Однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений

меньше числа неизвестных, имеет ненулевые решения.

 

3. Понятие матрицы.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1)

Таблицу составленную из коэффициентов системы (1) назовем матрицей из m строк и n столбцов или матрицей размера .

A = или

Определение. Если m= n, то матрица A называется квадратной матрицей порядка

n, если mn, то матрица A называется прямоугольной матрицей

порядка .

Диагональ квадратной матрицы n-го порядка, составленная из элементов , называется главной диагональю, а диагональ составленная из элементов , называется побочной диагональю.

Определение. Две матрицы и называются равными, если число

строк и столбцов одной равны соответственно числу строк и столбцов другой и элементы матриц расположенные на соответствующих местах равны, т.е. .

Определение. Замена строк матрицы A столбцами с тем же номером называется

транспонированием матрицы A.

A' =

Определение. Матрицу A составленную из коэффициентов системы (1) называют

матрицей этой системы.

Матрицу B составленную из коэффициентов и свободных членов

системы (1) называют расширенной матрицей этой системы.

B =

 

4. Ранг матрицы.

Пусть дана матрица

A =

Каждая строка матрицы A является n-мерным числовым вектором, а каждый столбец n-мерным числовым вектором. Поэтому с матрицей A связаны две системы векторов:

(1)

(2)

(1) – векторы- строки, (2) – векторы-столбцы.

Определение. Ранг системы векторов-строк матрицы A называется строчечным

рангом матрицы A; ранг системы векторов-столбцов матрицы A называют столбцовым рангом матрицы A.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы A назовем следующие

преобразования:

1) перемена местами (транспозиция) двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение строки (столбца) матрицы на любое отличное от нуля число;

3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (другого столбца), умноженной (умноженного) на некоторое число.

Предложение. Элементарные преобразования матриц обратимы.

Доказательство. (см. лекция 1, вопрос 3)

Теорема 1. Столбцовый ранг матрицы не изменяется при любом элементарном

преобразовании ее строк.

Доказательство. Пусть дана матрица

A = ,

предположим, что, выполнив некоторое элементарное преобразование строк матрицы A,

получили матрицу

B =

Докажем, что столбцовые ранги матриц A и B равны, т.е. что ранги систем векторов

(3)

(4)

равны.

Выберем в системе векторов (3) произвольную подсистему α1, α2, … , αs, а в системе (4) соответствующую ей подсистему β1, β2,…,βs.

Рассмотрим системы уравнений

(5)

(6)

Матрица B получена из матрицы A при помощи элементарного преобразования, значит система (6) получена из системы (5) с помощью того же элементарного преобразования. Поэтому, учитывая, что при всяком элементарном преобразовании система линейных уравнений переходит в равносильную ей систему, системы (5) и (6) равносильны, т.е.

(7)

где 1 ≤ sn.

Предположим, что ранг системы (3) равен r, т.е. в системе (3) есть r линейно независимых векторов α1, α2, … , αr, а всякие (r+1) векторов системы – линейно зависимы.

1. Покажем, что соответствующие векторы β1, β2,…,βr системы (4) линейно независимы.

Предположим противное: пусть векторы β1, β2,…,βr – линейно зависимы, т.е. при условии .

Тогда в силу (7): при , а векторы

α1, α2, … , αr – линейно зависимы, что противоречит условию.

2. Покажем, что всякие (r+1) вектор системы (4) – линейно зависимы.

Предположим противное: пусть β1, β2,…,βrr+1 – линейно независимы, т.е.

при .

Тогда в силу (7): при , а векторы α1, α2, … , αr,α r+1 – линейно независимы, что противоречит условию.

Из доказанного в пунктах 1. и 2. следует, что ранги матриц A и B – равны.

Следствие. Строчечный ранг матрицы не изменится при любом элементарном

преобразовании ее столбцов.

Теорема 2. Строчечный и столбцовый ранги всякой матрицы равны.

Доказательство. Рассмотрим матрицу вида

(5)

в которой диагональные элементы отличны от нуля; а все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Строки и столбцы матрицы (5) образуют лестничные системы векторов-строк и векторов-столбцов, а потому линейно независимы. Но тогда в матрице B строчечный и столбцовый ранги равны.

Если составить новую матрицу

, (6)

то строчечный и столбцовый ранги не изменяться: строки матрицы (6) образуют лестничную систему из r векторов, первые r векторов-столбцов – линейно независимы, а значит, в пространстве Vr эти системы векторов образуют базис.

Известно, что любая матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть приведена к виду (6), поэтому, с учетом теоремы 1 и следствия из нее, имеем, что строчечный и столбцовый ранги матрицы равны.

Определение. Общее значение строчечного и столбцового рангов матрицы A

называют рангом матрицы A и обозначают r(A).

Теорема 3. Любое элементарное преобразование матрицы не изменяет ее ранга.

 

5. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1)

Рассмотрим матрицу A и расширенную матрицу B системы (1):

A = , B =

Обозначим r(A) –ранг матрицы A, r(B) – ранг матрицы B.

Теорема (Кроникера – Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений

(1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой

системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство.

Необходимость. Запишем (1) в векторной форме

(1')

Пусть система (1') совместна, и – решение (1'). Тогда

.

Значит, вектор-столбец свободных членов β является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы B, поэтому если исключить из матрицы B столбец β,

столбцовый ранг матрицы не изменится. Следовательно, .

Достаточность. Пусть .

Тогда в матрице A существует максимальное число линейно независимых векторов-столбцов равное r, а все остальные вектора-столбцы линейно выражаются через них. Так как эти же столбцы находятся и в матрице B, и , то они образуют базис векторов-столбцов матрицы B, а все остальные вектора линейно выражаются через вектора базиса. В частности последний столбец разлагается по векторам базиса.

Пусть – базис, тогда

.

Таким образом, система (1') будет иметь решение .

Следовательно, система совместна.

 

6. Критерий определенности системы линейных уравнений.

Теорема. Для того чтобы совместная система линейных уравнений была

определенной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой

системы был равен числу неизвестных, входящих в систему.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система (1') имеет единственное решение , т.е.

является определенной и (2).

Предположим, что , тогда система векторов-столбцов – линейно зависима, т.е. существуют числа не все равные нулю, для которых

(3)

Сложив (2) и (3) получим

.

Следовательно, система (1') имеет решение отличное от решения , что противоречит условию.

Достаточность. Пусть система (1') совместна и . Докажем, что (1') опредленная.

Предположим, что (1') имеет два решения и . Тогда

(4)

(5)

Вычтем из равенства (5) равенство (4):

. (6)

Так как решения и различны, то в равенстве (6) не все

коэффициенты равны нулю. Следовательно, система линейно зависима, что противоречит условию .

 

7. Решения системы однородных линейных уравнений.

Теорема. Если вектор является решением системы однордных

линейных уравнений, то вектор , где k – любое

число, также является решением этой системы.

Доказательство. Пусть дана система однородных линейных уравнений

(1)

Так как β – решение (1), то

(2)

Умножим левую и правую часть (2) на число k:

.

Следовательно, вектор является решением системы (1).

Теорема. Если векторы и являются решениями

системы однородных линейных уравнений, то вектор

,

также является решением этой системы.

Доказательство. Так как и решения системы (1), то

, (3)

. (4)

Складывая (3) и (4) получим:

.

Следовательно, – решение системы (1).

Следствие. Если – решения системы однородных линейных уравнений

(1), то любая линейная комбинация, , этих

решений является решением этой системы.

 

8. Фундаментальный набор решений системы однородных линейных

уравнений.

Пусть система однородных линейных уравнений является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений, которое является бесконечным множеством n-мерных векторов.

Определение. Всякая линейно независимая подсистема множества решений

системы однородных линейных уравнений, через которую линейно

выражается любое решение данной системы уравнений, называется

фундаментальным набором решений.

Следствие. Фундаментальные наборы решений системы однородных линейных

уравнений состоят из одинакового числа векторов.

Способ построения фундаментального набора решений системы однородных

линейных уравнений.

Пусть дана система однородных линейных уравнений:

. (1)

Применим к системе (1) метод Гаусса и после ряда преобразований получим равносильную ей систему:

(3)

или же к системе, получающейся из этой изменением нумерации неизвестных.

Для определенности допустим, что получилась именно система (3). Придаем свободным неизвестным следующие значения:

,

после чего находим из (3) значения остальных неизвестных: . Получим решение исходной системы (1) .

Затем, полагая , находим решение ,

и так далее. В результате получим решений системы (1):

(4)

Докажем, что векторы образуют фундаментальный набор решений.

Система – линейно независима, т.к. образует лестничную систему векторов.

Пусть – произвольное решение системы (1)

Рассмотрим вектор.

По следствию из теорем вопроса 7:– решение системы (1).

Из (4) следует, что последние координат вектора равны:, т.е. совпадают с последними координатами вектора . Но тогда последние координат у вектора, тоже являющегося решением равны нулю. Из (3) найдем остальные координаты вектора , они равны нулю.

Следовательно, =0, т.е. . Это означает, что является линейной комбинацией векторов .

Вывод. Число решений в фундаментальном наборе равно n - r , разности между

числом неизвестных и рангом матрицы системы однородных линейных

уравнений.

 

9. Связь между решениями неоднородной и приведенной однородной

системами линейных уравнений.

Пусть дана произвольная неоднородная система линейных уравнений

(1)

Заменив в (1) все свободные члены нулями, получим однородную систему линейных уравнений

(2)

(2) называют приведенной системой для системы (1).

Векторные формы систем (1) и (2) соответственно

(1')

(2')

 

Теорема 3. Сумма любого решения неоднородной системы (1') и любого решения

приведенной однородной системы (2') является решением системы (1').

Доказательство. Предположим, что – произвольное решение системы (1') и – произвольное решение системы (2') , тогда

(3)

(4)

Сложим равенства (3) и (4):

.

Следовательно, векторявляется решением системы (1') .

Теорема 4. Разность любых двух решений неоднородной системы (1') является

решением системы (1') приведенной однородной системы (2').

Доказательство. Предположим, что и – произвольные решения системы (1') , тогда

(3)

(4)

Вычтем из равенства (3) равенство (4):

.

Следовательно, векторявляется решением системы (2') .

Следствие. Общее решение неоднородной системы (1) равно сумме произвольно

выбранного решения этой системы и общего решения приведенной

однородной системы.

 

 

ЛЕКЦИЯ 7. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА.

 

1. Операции над матрицами.

Обозначим: .

Определение. Суммой матриц , назовем матрицу

.

Примеры.

;

 

C+D=;

 

.

Определение. Произведением матрицына число назовем матрицу

.

Примеры.

;

 

(-1) D =.

Определение. Произведением матриц , назовем

матрицу, где

,.

Пример.

 

;

Определение. Квадратную матрицу все элементы которой, за исключением

элементов главной диагонали, равны нулю назовем диагональной.

Диагональную матрицу, у которой все элементы главной диагонали

равны между собой назовем скалярной.

Скалярную матрицу, у корой все элементы главной диагонали

равны 1 назовем единичной.

Скалярную матрицу все элементы которой равны нулю назовем

нулевой.

Примеры.

 

.

 

.

 

2. Свойства операций над матрицами.

 

I. Сложение матриц.

1. Операция сложения матриц коммутативна, т.е.

,

Доказательство. По определению 1:

Для элементов поля P справедлив коммутативный закон, тогда

2. Операция сложения матриц ассоциативна, т.е.

,

Доказательство. По определению 1:

Для элементов поля P справедлив ассоциативный закон, тогда

3. Во множестве существует единственная матрица , являющаяся

нейтральным элементом относительно операции сложения матриц (нулевым

элементом), т.е.

Доказательство. – нулевая матрица .

Аналогично доказывается, что

Покажем, что матрица – единственная.

Предположим противное: пусть и – две нейтральные матрицы, тогда

4. Во множестве для каждой матрицы существует единственная

противоположная матрица , т.е.

Доказательство.

Покажем, что матрица – единственная.

Предположим противное: пусть и – две противоположные матрицы для матрицы

 

II. Умножение матрицы на скаляр.

1. Операция умножения матрицы на скаляр ассоциативна относительно умножения

скаляров, т.е.

2. Операция умножения матрицы на скаляр дистрибутивна относительно сложения

матриц и относительно сложения скаляров, т.е.

 

III. Умножение матриц.

1. Операция умножения матриц в общем случае не коммутативна, т.е.

Доказательство.

 

– не существует.

Замечание. Свойство 1 не означает, что никакие две матрицы не удовлетворяют

условию .

Коммутативный закон умножения выполняется для диагональных матриц, в случаях, когда одна из матриц множителей квадратная, а другая – скалярная.

О матрицах и удовлетворяющих условию: , говорят, что они перестановочны или коммутируют.

Из условия, налагаемого на размеры перемножаемых матриц, следует, что коммутировать могут лишь квадратные матрицы одного порядка.

Итак, во множестве квадратных матриц одного порядка всегда найдутся пары коммутирующих матриц и пары некоммутирующих матриц.

2. Операция умножения матриц ассоциативна, т.е.

.

Доказательство. ПустьВведем обозначения:

Суммы (1) и (2)отличаются лишь порядком слагаемых и поэтому равны между собой.

Таким образом, матрицы иодного размера, и . Следовательно,.

Следствие. Для любых матриц и соответствующего размера и произвольного

имеем

5. Во множестве квадратных матриц n-го порядка существует единственная матрица

, являющаяся нейтральным элементом относительно операции умножения

матриц, т.е. (3)

Доказательство. 1) Существование:

2) Единственность: Предположим, что и две матрицы со свойством (3), тогда

Замечание. Для множества прямоугольных матриц размера можно

утверждать лишь существование односторонних нейтральных элементов, т.е.

 

IV. Связь между сложением и умножением матриц.

1. Во множестве квадратных матриц n-го порядка имеют место дистрибутивные

законы (правый и левый) умножения относительно сложения, т.е.

.

Доказательство. Пусть Докажем первое равенство.

Элемент матрицы , расположенный и i-той строке и j-том столбце равен:

Первая сумма представляет собой элемент матрицы , расположенный и i-той строке и j-том столбце, вторая – аналогичный элемент матрицы . Следовательно, и обоих частях первого равенства стоят одинаковые матрицы.

Второе равенство доказывается – аналогично.

Вывод. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P является

кольцом с единицей относительно операций сложения и умножения

матриц.

 

 

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 8. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ.

 

1. Элементарные матрицы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы A назовем следующие

преобразования:

1) транспозиция двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение строки (столбца) матрицы на число отличное, отличное от нуля;

3) прибавление к строке (столбцу) матрицы другой строки (другого столбца) умноженной (умноженного) на некоторое число.

Определение. Элементарной матрицей n-го порядка называется матрица,

полученная из единичной матрицы n-го порядка с помощью

некоторого элементарного преобразования.

Теорема 1. Всякое элементарное преобразование данной матрицы равносильно

умножению этой матрицы на некоторую элементарную матрицу. При

этом элементарное преобразование строк данной матрицы равносильно

ее умножению на элементарную матрицу слева, а элементарное

преобразование столбцов – умножению на элементарную матрицу

справа.

Доказательство.

1. Чтобы переставить в матрице i-ую и j-ую строки, достаточно матрицу A умножить слева на элементарную матрицу, полученную из матрицыперестановкой i-ой и j-ой строк:

Чтобы переставить в матрице i-й и j-й столбцы, достаточно матрицу A умножить справа на элементарную матрицу, полученную из матрицыперестановкой

i-го и j-го столбцов:.

2. Чтобы умножить i-ую строку матрицы на число k≠ 0 , достаточно матрицу A

умножить слева на элементарную матрицу, полученную из матрицыумножением i-й строки на число k≠ 0: .

Чтобы умножить i-й столбец матрицы на число k≠ 0, достаточно матрицу A

умножить справа на элементарную матрицу, полученную из матрицыумножением

i-го столбца на число k≠ 0:

3. Чтобы к i-й строке матрицы A прибавить j-ую строку умноженную на число k, достаточно матрицу A умножить слева на элементарную матрицу, полученную из матрицы прибавлением к i-й строке j-й строки умноженной на число k: .

Чтобы к i-у столбцу матрицы A прибавить j-й столбец умноженный на число k, достаточно матрицу A умножить справа на элементарную матрицу, полученную из матрицы прибавлением к i-у столбцу j-го столбца умноженного на число k: .

 

2. Обратная матрица.

Определение. Матрицей, обратной матрице A, называется матрица, обозначае

мая A-1 и обладающая свойством: , (1)

где E – единичная матрица соответствующего порядка. Матрица,

для которой существует обратная ей матрица, называется

обратимой.

Предложение 1. Если для матрицы A существует обратная, то она единственная.

Доказательство. Пусть и – матрицы обратные матрице, тогда

, (1)

. (2)

Для матриц A, A-1и B выполняется ассоциативный закон. (3)

Преобразуем левую и правую части последнего равенства с учетом (1) и (2):

Предложение 2. Единичная матрица E обратима, причем E-1=E.

Доказательство.

Следует из определения обратной матрицы и равенства:

Предложение 3. Если матрица A обратима, то и обратная ей матрица A-1 обратима

причем

Предложение 3. Обратимой может быть лишь квадратная матрица A, причем

обратная матрица A-1 также квадратная и имеет тот же порядок

что и матрица A.

Определение. Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее

ранг меньше ее порядка.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной),

если ее ранг равен ее порядку.

Следствие. При элементарных преобразованиях вырожденная матрица переходит

в вырожденную матрицу, а невырожденная в невырожденную.

(элементарные преобразования не изменяют ни ранг, ни порядок матрицы)

Примеры. 1. – вырождена .

2. – невырождена .

 

Теорема 2. Любая невырожденная матрица элементарными преобразованиями

строк может быть преобразована в единичную матрицу.

Доказательство. Любую матрицу A можно преобразовать в ступенчатую с помощью элементарных преобразований строк.

В случае, когда матрица A – невырожденная, соответствующая ступенчатая матрица

B будет иметь вид:

,

где все элементы главной диагонали отличны от нуля.

Если , то, по определению ступенчатой матрицы . Далее , т.е. матрица B содержит нулевую строку и является вырожденной. Но тогда матрица A тоже вырожденная, что противоречит условию. Следовательно, .

Прибавим к первой строке матрицы B вторую строку, умноженную на В результате получим матрицу B1 вида:

Прибавим к первой строке матрицы B1 третью строку, умноженную на , а ко второй – третью, умноженную на , получим матрицу B2, вида:

Продолжая этот процесс, придем в результате последовательности элементарных преобразований строк к диагональной матрице:

.

Для преобразования ее в единичную достаточно выполнить следующие элементарные преобразования: первую строку умножить на , вторую – на , …. , n-ю – на .

Итак, показано, что матрицу B можно с помощью элементарных преобразований строк превратить в единичную матрицу. А матрица B получена из матрицы A тоже при помощи элементарных преобразований строк.

 

3. Условие обратимости матрицы.

Теорема 3. Любая невырожденная матрица обратима.

Доказательство. Пусть A невырожденная матрица. Докажем, что существует обратная ей матрица A-1.

По теореме 2, матрица A может быть преобразована в единичную матрицу E в результате последовательности элементарных преобразований строк. Но в силу теоремы 1,

каждое элементарное преобразование строк матрицы соответствует умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную матрицу.

Пусть цепочке элементарных преобразований, переводящих A в E, соответствует последовательность элементарных матриц:. Тогда

. (4)

Обозначим (4')

и перепишем (4) в виде: . (5)

Этим показано, что для любой невырожденной матрицы A существует «левая обратная» матрица, удовлетворяющая соотношению (5).

Матрица BA – невырождена, т.к. получена из единичной матрицы при помощи элементарных преобразований.

Умножая обе части равенства (5) справа на BA, получим:

. (6)

По доказанному выше для BA, как для любой невырожденной матрицы, существует «левая обратная» матрица C, такая, что . Умножая обе части (6) слева на C, получим: . Таким образом,

, т.е. .

Следствие. Всякая элементарная матрица обратима.

 

4. Нахождение матрицы обратной данной.

Способ нахождения матрицы обратной данной вытекает из доказательства теоремы.

Пусть A – заданная невырожденная матрица. Тогда, с учетом (4'), для обратной матрицы A-1 имеет место представление: , (7)

где:– последовательность элементарных матриц, соответствующая цепочке элементарных преобразований строк, переводящих A в единичную матрицу E.

.

Следовательно, для нахождения матрицы A-1 достаточно определить в процессе преобразования A в E элементарные матрицы:и затем составить их произведение.

На практике нет необходимости находить матрицы:по отдельности. Расположим рядом данную матрицу A и единичную матрицу E того же порядка, следующим образом:,т.е.

(8)

Произведем последовательные элементарные преобразования строк комбинированной матрицы (8) размера так, чтобы матрица A при этом преобразовалась в E. Это равносильно умножению матрицы A, а потому и матрицы E слева на . В результате получим комбинированную матрицу:

. (9)

Но , а . Поэтому, матрица (9) имеет вид: . (10)

Итак, выполняя элементарные преобразования строк, можно от матрицы (8) перейти к матрице (10). Как только слева от черты будет получена единичная матрица, справа от черты можно будет прочитать обратную матрицу .

Пример. Найти матрицу обратную матрице A:

.

ЛЕКЦИЯ 9. ПЕРЕСТАНОВКИ ИЗ ЧИСЕЛ 1,2,…,n .

 

Пусть дано конечное множество, состоящее из n первых, натуральных чисел: .

Определение. Перестановкой n натуральных чисел 1,2,…,n назовем линейно

упорядоченное множество этих чисел.

Различные перестановки множества M отличаются друг от друга порядком элементов.

Теорема. Число всех перестановок из n элементов равно n! .

Доказательство. Обозначим число различных перестановок, которые можно составить из элементов множества M через Pn.

Докажем теорему используя метод математической индукции.

1. Пусть n = 2, тогда .

Возможные перестановки: (1,2) и (2,1).

Число перестановок: = 2= 2!.

2. Предположим, что при n= k Pk= k!

3. Покажем, что при n=k+1 Pk+1= (k+1)!

M= {1, 2,…, k, k+1}.

Если зафиксировать любое из чисел из чисел множества M, например i, то число перестановок в этом случае ( согласно предположения) будет k! В каждой из полученных перестановок число i может занять k+1 место. Но тогда Pk+1= (k+1)k!, т.е. Pk+1= (k+1)!

Таким образом, из предположения, что утверждение теоремы верно при n= k получили, что теорема верна при n= k+1, следовательно, теорема верна для любого натурального n.

Определение. Индексы i и j в данной перестановке образуют инверсию если i> j,

но i стоит в перестановке раньше числа j.

Общее число инверсий в перестановке будем обозначать .

Определение. Перестановка называется четной, если число – четное, и

нечетной, если число – нечетное.

Пример. = (4, 5, 1, 3, 2)

Инверсию образуют пары индексов: (4, 1), (4, 3), (4, 2), (5, 1), (5, 3), (5, 2), (3, 2); перстановка содержит 7 инверсий, т.е. = 7 и – нечетная.

= (2, 4, 5, 3, 1, 6, 7)

= 4+ 0+ 2+ 0+ 0+ 0+ 0= 6

– четная.

Замечание. Число инверсий образуемых различными индексами с единицей, равно

числу индексов стоящих в данной перестановке перед единицей.

= (1, 2,…, n); = 0; – четная.

Определение. Транспозицией данной перестановки, определенной числами i и j

назовем операцию над перестановкой при которой i и j меняют

местами, а остальные числа остаются неподвижными.

Пример. траспозиция – (4,1).

Теорема. Любая транспозиция меняет характер перестановки.

Доказательство. Рассмотрим возможные случаи.

1. Пусть i и j находятся рядом, т.е.

(числа, стоящие на месте … не меняют положения)

Числа i и j составляют одинаковое число инверсий со всеми числами, стоящими вместо … в перестановках и .

Если в перестановке числа (i, j) составляют инверсию, то в перестановке они не образуют инверсию, и наоборот.

Таким образом, при переходе от перестановки к – , т.е. и имеют разную четность.

2. Пусть между i и j находится s элементов, т.е.

Для получения из достаточно выполнить (2s + 1) транспозицию соседних элементов, а именно выполняя последовательно (s + 1) транспозицию: (i, k1), (i, k2),…,(i, ks),

(i, j) получим , затем выполним s транспозиций: (j,ks),…,(j,k2),

(j, k1) получим перестановку .

Согласно пункту 1 при каждой перестановке соседних элементов четность перестановки меняется и так как (2s + 1) – нечетное число, то четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, имеет другую четность.

Следствие. При любом n ≥ 2 число четных перестановок совпадает с числом

нечетных и равно !

Доказательство. Пусть общее число четных перестановок – p, а нечетных – q.

Произведем во всех перестановках транспозицию (1,2). Тогда согласно теореме 2 четные перестановки станут нечетными и наоборот.

Возможны случаи:

!

ЛЕКЦИЯ 10. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

 

1.Понятие определителя n-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка над полем P:

Всего в матрице A имеется n2 элементов. Выберем из них n элементов, притом так, чтобы они находились:

1) в разных строках (т.е. из каждой строки берется по одному элементу);

2) в разных столбцах (т.е. из каждого столбца берется по одному элементу).

Такой набор из n-элементов матрицы назовем допустимым.

Пример. .

Чтобы получить допустимый набор, поступим следующим образом: выберем произвольный элемент матрицы, а затем исключим из матрицы строку и столбец, в которых расположен этот элемент. В результате получим матрицу порядка (n – 1). Из этой матрицы снова выберем какой-нибудь элемент, после чего исключим строку и столбец, в которых он расположен. Из оставшейся матрицы вновь выберем элемент и т.д. Всего, таким образом, выбирают n-элементов матрицы.

Рассмотрим какой-то допустимый набор из n-элементов матрицы A. Расположим элементы этого набора, в определенном порядке: сначала элемент , взятый из первой строки, затем – из второй строки и т.д. В результате получим: . Числа – номера столбцов, в которых находятся выбранные элементы; по условию эти числа различны. Следовательно, строка – набор чисел 1, 2,…, n, записанных в определенном порядке. Обозначим . Таким образом, – перестановка чисел 1, 2,…, n.

Перестановке поставим в соответствие произведение элементов допустимого набора: . (1)

Обозначим – число инверсий в перестановке .

Определение. Определителем n-го порядка матрицы A называется алгебраическая

сумма:

,

где суммирование производится по всевозможным перестановкам

, которые можно составить из чисел 1, 2,…, n.

Определитель n-го порядка обозначают:

.

Замечание. Из определения следует:

1) выражение определителя содержит n! слагаемых, т.к. существует n!

перестановок из n элементов;

2) каждое слагаемое – произведение n элементов матрицы A взятых по

одному из каждой строки и каждого столбца;

3) в разложении определителя ! слагаемых со знаком « + » и !

слагаемых со знаком « - ».

 

2. Вычисление определителя второго и третьего порядков.

Пусть n = 2

.

Число слагаемых n! = 2, число перестановок элементов (1, 2) равно 2:

Число инверсий в указанных перестановках равно : .

.

Пусть n = 3

.

Число слагаемых n! = 6, число перестановок из элементов (1, 2, 3) равно 6:

Примечание. Вычисление членов определителя третьего порядка со знаками «+»

и «-» видно из следующей диаграммы:

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 11. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ.

 

1. Разложение определителя по строке или столбцу.

Рассмотрим определитель n-го порядка

 

. (1)

 

I. Пусть i - одно из чисел 1, 2, … , n. Каждый член определителя содержит в качестве множителя один элемент i-ой строки. Объединим все члены, содержащие ai1 (первый элемент i-ой строки), вынесем общий множитель ai1 за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим Ai1. Далее объединим все члены, содержащие ai2 (их сумма ai2Ai2) и т.д. В результе сумма (1) распадается на n частей:. Следовательно,

(2)

(2) – разложение определителя по элементам i-ой строки (по i-ой строке).

Определение. Выражение Aij алгебраическим дополнением элемента aij в

определителе Δ.

Вывод. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их

алгебраические дополнения.

 

Пример.

 

Замечание. Любой член определителя, содержащий элемент aij, не может

содержать множителем никакой другой элемент из i-ой строки или

j-го столбца определителя. Отсюда следует, что в выражение для Aij

не входят элементы i-ой строки и j-го столбца определителя, т.е. число

Aij полностью определяется элементами, расположенными в других

(отличных от i-ой) строках и других (отличных от j-го) столбцах

определителя.

 

II. Пусть j - одно из чисел 1, 2, … , n. Каждый член определителя содержит в качестве множителя один из элементов j-го столбца. Объединим все члены, содержащие a1j (первый элемент j-го столбца), вынесем общий множитель a1j за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим A1j. Далее объединим все члены, содержащие a2j (их сумма a2jA2j) и т.д. Тогда сумма (1) распадается на n частей:. В результате приходим к равенству: (3) (3) – разложение определителя по элементам j-го столбца (по j-му столбцу).

 

Вывод. Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца на их

алгебраические дополнения.

 

2. Миноры.

Рассмотрим определитель n-го порядка:

.

Выделим некоторый элемент aij . Если вычеркнуть из определителя Δ i-ю строку и j-ый столбец (строку и столбец в которых расположен элемент aij), то оставшийся определитель (n-1)-го порядка назовем минором элемента aij в определителе Δ и обозначают Mij .

Пример.

.

.

3. Связь между минорами и алгебраическими дополнениями.

Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента aij определителя Δ равно

минору этого элемента умноженному на (-1)i+j , т.е. .

Прежде чем доказывать теорему докажем лемму.

Лемма. Если перестановка в которой на i-ом месте

стоит элемент j и . Тогда верно равенство:

Доказательство. Обозначим через s число инверсий, которое составляет элемент j

перестановки с остальными элементами этой перестановки. Тогда . (1)

Рассмотрим множества .

Пусть в M1 имеется p чисел больше j, тогда с элементами из M1 j составляет p инверсий.

Определим число чисел меньших j в M2.

В множестве M={1,2,…,n} имеется (j-1) чисел меньше j.

В множестве M1 имеется (i-1-p) чисел меньше j.

Тогда в множестве M2 имеется (j-i+p) чисел меньше j.

Значит, j составляет с элементами из M2 (j-i+p) инверсий.

Общее число инверсий, которое составляет элемент j с элементами перестановки :

. (2)

Подставляя (2) в (1) получим: , откуда

 

Доказательство (теоремы). По определению минора:

 

 

Минор Mij является определителем (n-1) порядка, тогда согласно определению определителя имеем:

,

где любая перестановка из (n – 1) элемента, т.е. из элементов 1, 2,…, j-1, j+1,…, n.

 

,

 

где любая перестановка из n элементов 1, 2, … , n.

В определителе Δ выберем слагаемые содержащие элемент aij и составим из них сумму Δ':

где перестановки в которых на i-ом месте стоит элемент j.

В Δ' вынесем множитель aij за скобку из всех членов суммы:

(2)

Из (2): Таким образом, .

 

 

ЛЕКЦИЯ 12. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

1. Величина определителя не изменится, ели его строки сделать столбцами,

сохраняя порядок их следования.

Доказательство. Пусть исходный определитель имеет вид:

,

а транспонированный определитель

.

Докажем, что Δ = Δ'.

Для доказательства используем метод математической индукции.

1. Пусть n = 2, покажем что Δ = Δ'.

.

2. Предположим, что утверждение справедливо для любого определителя (n-1) порядка.

3. Докажем, что утверждение справедливо и для любого определителя n-го порядка.

Разложим определитель Δ по элементам первой строки, а Δ' по элементам первого столбца:

Миноры Mij и M'ij (n-1) порядка получены транспонированием строк и столбцов, тогда в силу предположения индукции Mij = M'ij. Таким образом, Δ = Δ'.

Замечание. Утверждение верное для строк определителя, верно и для его

столбцов, так как при транспонировании величина определителя не

меняется.

2. Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то и сам

определитель равен нулю.

Достаточно разложить определитель по элементам данной строки (столбца).

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель умножается на (-1).

Доказательство.

1. Предложим, что определитель Δ' получен из определителя Δ перестановкой соседних строк, например, первой и второй. В результате такой перестановки получим:

 

, .

 

Докажем, что Δ' = - Δ.

Рассмотрим какой-нибудь член определителя Δ: . (1)

Множители из которых составлено это произведение, являются элементами и в определителе Δ', причем они так же расположены в разных строках и в разных столбцах. Следовательно, любой член определителя Δ является членом определителя Δ'. Верно и обратное: любой член определителя Δ' является членом определителя Δ. Таким образом, определители Δ и Δ' состоят из одних и тех же членов.

Знак с которым произведение (1) входит в определитель Δ, определяется множителем: , где . Чтобы определить знак того же члена определителя Δ'

нужно переписать (1) так чтобы на первом месте стоял элемент первой строки определителя Δ', на втором месте элемент второй строки и т.д. Учитывая способ получения определителя Δ' перепишем выражение (1) в виде: (2). Знак с которым (2) входит в Δ', определяется множителем , где . При переходе от к меняются местами j1 и j2. В результате чего число инверсий в перестановке изменится (увеличится или уменьшится) на 1. Следовательно, . (3)

Равенство (3) означает, что знак с которым произведение (1) входит в определитель Δ, противоположен знаку с которым оно входит в определитель Δ'.

Таким образом, показано, что Δ' = - Δ.

1. Предложим, что определитель Δ' получен из определителя Δ перестановкой i-ой и j-ой строк, где i < j.

Такую перестановку можно осуществить следующим образом: переставляем местами соседние строки последовательно. Всего – . Затем первоначальную j-ю строку (занимает j-1 место) сдвигаем вверх, пока она не займет положение i-ой строки. Всего – j - i. Общее число перестановок – 2(j - i)+1. При каждой перестановке соседних строк определитель умножается на (-1), так как число перестановок нечетное, то в результате определитель умножится на (-1), т.е. Δ' = - Δ.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Доказательство. Переставим в определителе Δ две одинаковые строки. Получим тот же определитель Δ. Однако, по свойству 3 при перестановке строк определитель изменяет знак, т.е. Δ = - Δ. Откуда 2 Δ= 0 или Δ= 0.

5. Общий множитель элементов любой строки (столбца) определителя можно

выносить за знак определителя.

7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца)

прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца),

умноженные на одно и тоже число.

Доказательство.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на

алгебраические дополнения к соответственным элементам другой строки

(другого столбца) равна нулю.

Доказательство. Докажем, что .

Для любых чисел имеет место равенство:

, (4)

(4) – формула разложения определителя по элементам первой строки.

Полагая , получим

 

= = 0.

 

Замечание. Чтобы доказать сформулированные свойства для столбцов

определителя достаточно применить свойство 1.

 

ЛЕКЦИЯ 13. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ.

 

1. Необходимое и достаточное условие равенства нулю

определителя.

Теорема. Для того чтобы определитель квадратной матрицы был равен нулю,

необходимо и достаточно, чтобы ранг этой матрицы был меньше ее

порядка.

Доказательство. Пусть . Докажем, что .

I. Достаточность. Пусть , покажем, что .

Если , то система векторов-строк матрицы A линейно зависима, т.е. хоть один из этих векторов является линейной комбинацией остальных. Пусть, например, . Тогда, прибавив к первой строке определителя вторую, умноженную на ; затем третью умноженную на , и т.д.; получим определитель – в котором первая строка будет состоять из нулей; такой определитель равен нулю. При указанных преобразованиях значение определителя не менялось (см. свойство 7). Следовательно, .

II. Необходимость. Пусть , покажем, что .

Предположим, что . Тогда с помощью элементарных преобразований строк матрицу A можно привести к единичной матрице E.

С другой стороны элементарные преобразования строк не изменяют величины нулевого определителя. Следовательно, , т.к. . Что невозможно, т.к. .

Полученное противоречие доказывает, что .

Таким образом, определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица вырождена.

Следствие. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки

(столбцы) образуют линейно зависимую систему векторов.

 

2. Определитель произведения матриц.

Теорема. Определитель произведения двух матриц равен произведению

определителей этих матриц.

Доказательство. Пусть A и B две квадратные матрицы одного порядка.

Докажем, что. (1)

 

1. Если , то равенство (1) верно, т.е. .

 

2. Лемма. Если справедливо равенство: , (2)

то справедливо и равенство: , (3)

где матрица получается из матрицы одним из строчечных

преобразований.

Доказательство. Пусть матрица получается из матрицы одним из строчечных преобразований:

а) перестановкой строк;

б) умножением любой строки на число k≠0;

в) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на какое-либо число.

Матрица получается из матрицы таким же преобразованием (это вытекает из правила умножения матриц).

В случае преобразования:

а) ; (4)

б) ; (5)

в) . (6)

Из равенств (2) и (4) следует равенство (3).

Из равенств (2) и (5) следует равенство (3).

Из равенств (2) и (6) следует равенство (3).

 

3. Если матрица A невырождена, то она может быть получена из единичной матрицы с помощью преобразований а), б), в).

Тогда из леммы и равенства вытекает справедливость (1).

 

4. Если матрица A вырождена, т.е. между ее строками существует линейная зависимость. Тогда такая же зависимость существует и между строками матрицы . Следовательно, матрица является вырожденной.

.

 

Следствие 1. Произведение двух невырожденных матриц – невырожденная

матрица. Произведение двух матриц, из которых хоть одна

вырожденная, – вырожденная матрица.

Следствие 2. Для того чтобы квадратная матрица была обратима, необходимо,

чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Пусть A – обратимая матрица, т.е. существует матрица такая, что .

Следствие 3. Если A – обратимая матрица, то .

 

Пример. Вычислить определитель n-го порядка:

.

Определитель можно представить как произведение двух матриц:

.

При n > 2 определитель каждой из них равен нулю. Следовательно, при n > 2

Если n = 2, то

.

 

ЛЕКЦИЯ 14. ТЕОРЕМА О РАНГЕ МАТРИЦЫ.

 

1. Теорема о ранге матрицы.

Пусть .

Теорема. Для того чтобы ранг матрицы был равен r, необходимо и достаточно,

чтобы среди миноров матрицы нашелся хоть один минор порядка r,

отличный от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю.

Доказательство.

Необходимость. Пусть ранг матрицы равен r. Тогда существует базис системы векторов-строк, состоящий из r-строк. Рассмотрим матрицу:

 

 

Ее строчечный ранг равен r, но тогда и ее столбцовый ранг равен r. Поэтому существует базис системы векторов-столбцов матрицы , состоящий из r столбцов.

Рассмотрим определитель:

 

, (1)

 

система его столбцов, а, следовательно, и система его строк (укороченных векторов-строк матрицы A) является линейно независимой. По следствию из теоремы о равенстве нулю определителя, . Итак, нашелся минор порядка r матрицы A, отличный от нуля

По условию теоремы любая система, состоящая из (r+1) строк матрицы A линейно зависима. Поэтому линейно зависима и всякая система, состоящая из (r+1) укороченных векторов- строк. Следовательно, строки любого минора (r+1)-го порядка образуют линейно зависимую систему и, по следствию из теоремы о равенстве нулю определителя, эти миноры равны нулю. Итак, все миноры (r +1)-го порядка матрицы A равны нулю.

Достаточность. Пусть среди миноров матрицы A существует минор прядка r, отличный от нуля, а все миноры порядка (r+1) равны нулю.

Можно считать, что минор расположен в левом верхнем углу матрицы, т.е. имеет вид (1).

Строки и столбцы матрицы определителя образуют линейно независимые системы векторов. Следовательно, в матрице A первые r векторов-строк составляют линейно независимую систему.

Таким образом, .

Если , то, по доказанному выше, существует минор r1-го порядка, отличный от нуля. Это противоречит тому, что все миноры (r+1)-го порядка (а следовательно, и порядка ) равны нулю. Итак, .

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок миноров этой

матрицы, отличных от нуля.

2. Обратная матрица (второй способ вычисления).

Теорема (критерий обратимости матрицы). Квадратная матрица обратима

тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Доказательство.

Необходимость. Любая обратимая матрица невырождена.

Если матрица A обратима, то ее определитель . Тогда A – невырождена.

Достаточность. Любая невырожденная матрица обратима: для нее существует (и притом единственная) обратная матрица , т.е. такая, что .

Таким образом, матрица A обратима тогда и только тогда, когда определитель матрицы A отличен от нуля.

Теорема. Если матрица

A =

невырождена, то тогда обратная матрица может быть вычислена по

формуле:

, (1)

где Aij алгебраическое дополнение к элементу aij в определителе .

Доказательство. Чтобы проверить справедливость формулы (1), достаточно показать справедливость равенства . (2)

Подставим (1) в левую часть (2):

.

Элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы :;

при i=j cii = 1, так как в скобках стоит разложение определителя по элементам i-ой строки), если i≠j и cii=0, так как в скобках стоит сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения элементов j-й строки определителя матрицы A.

Таким образом, написанное произведение равно единичной матрице E.

Замечание. Формулу (1) можно представить в виде , где

,

где – присоединенная матрица матрицы A.

 

 

3. Система линейных уравнений в матричной форме.

Пусть дана система линейных уравнений:

 

(1)

 

Рассмотрим матрицы:

 

A = , ,

 

Произведение будет, матрицей размера , т.е. столбцом из m чисел.

 

.

 

Тогда (1) можно записать в виде:

 

, (2)

 

(2) – матричная форма системы (1).

Рассмотрим случай, когда m=n, т.е. число уравнений в системе (1) совпадает с числом неизвестных. Тогда матрица A – квадратная. Если она невырожденная, то существует обратная матрица A-1. Умножим обе части уравнения (2) слева на A-1, получим:

 

 

или, с учетом , получим:

 

(3)

 

(3) – дает матричную запись решения системы n линейных уравнений с n неизвестными при условии, что матрица A системы является невырожденной.

 

 

ЛЕКЦИЯ 15. ПРАВИЛО КРАМЕРА.

1. Правило Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

 

(1)

причем матрица A из коэффициентов при неизвестных невырожденная. Тогда, решение системы задается формулой:или

.

Перемножая матрицы, стоящие в правой части, получаем:

(2)

Если первую сумму, заключенную в скобки, переписать в виде: , то очевидно, что эта сумма является разложением по первому столбцу определителя:

,

матрица, которого A1 получается из матрицы A заменой первого столбца столбцом свободных членов системы (1). Итак,

.

Аналогичным образом перепишем выражение для x2:

,

где матрица A получается из матрицы A заменой элементов второго столбца столбцом свободных членов. Всю совокупность равенств (2) можно записать в виде:

.

Таким образом, получено правило, позволяющее решать системы n линейных уравнений с n неизвестными, при условии, что матрица системы невырождена.

 

Правило Крамера: если дана система n линейных уравнений с n неизвестными,

матрица, которой невырождена, то система имеет

единственное решение.

Это решение можно найти по формулам:

, ,…, ,

где матрица Ai получается из матрицы A заменой i-го

столбца столбцом свободных членов системы.

Теорема 1. Если в системе линейных уравнений число неизвестных равно числу

уравнений и определитель системы отличен от нуля, то система имеет

единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Следствие. Если система n линейных уравнений с n неизвестными имеет

ненулевые решения, то ее определитель равен нулю.

(Если бы определитель системы был отличен от нуля, то, по теореме, она имела бы единственное решение, что противоречит условию.)

 

2. Условие, при котором однородная система n линейных уравнений с n

неизвестными имеет единственное решение.

Теорема. Для того чтобы система n линейных, однородных уравнений с n

неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно,

чтобы определитель этой системы был равен нулю.

Доказательство.

Необходимость. (см. следствие теоремы 1)

Достаточность. Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то ранг квадратной матрицы системы меньше числа неизвестных, в этом случае система имеет бесконечное множество решений, среди которой имеются и ненулевые решения.

 

ЛЕКЦИЯ 16. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

1. Определение поля комплексных чисел.

Ряд задач математики, решение которых сводится к извлечению корней из отрицательных чисел, не разрешим в поле действительных чисел. В частности, задача решения квадратного уравнения x2+1=0. В поле действительных чисел это уравнение не решается, так как не существует действительного числа, квадрат которого равнялся бы

(-1).

Поставим перед собой задачу расширить поле действительных чисел R до такого поля, в котором уравнение x2+1=0 уже имело бы решение. Для этого определим множество комплексных чисел C. Действительные числа мы отождествляли с точками на прямой. Комплексные числа отождествим с точками на плоскости.

Пусть , где (a, b) – упорядоченная пара.

В соответствии с общим определением равенства упорядоченных пар будем считать:

.

Определим на множестве упорядоченных пар C операции сложения и умножения.

Определение. Пусть , тогда

;

.

Теорема 1. Множество пар C с определенными на нем операциями сложения и

умножения являются полем.

Доказательство.

I. Покажем, что – абелева группа.

1) операция (+) – ассоциативна, т.е.

;

2) операция (+) – коммутативна, т.е.

;

3) в множестве C существует нейтральный элемент, т.е.

;

4) в множе стве C для каждого элемента существует симметричный элемент, т.е.

.

II. Покажем, что C(+,·) – коммутативное кольцо.

5) операция (·) – ассоциативна, т.е.

;

6) операция (·) – коммутативна, т.е.

;

5) операция (·) – дистрибутивна относительно сложения, т.е. .

III. Покажем, что в кольце C выполняется операция деления, кроме деления на

ноль, т.е.

гдетогдат.е. .

 

Определение. Частным от деления пары (a,b) на пару (c,d) является пара (x,y),

удовлетворяющая условию: (c,d)·(x,y)= (a,b).

 

Найдем частное (x,y):

.

Нахождение пары (x,y) равносильно решению системы уравнений:

.

Следовательно, при (c,d)≠(0,0) частное существует, и притом только одно:

. (1)

Единицей поля C является пара (1,0), т.к.

.

Положив в (1): (a,b)=(1,0), получим, что для отличной от нуля пары (c,d) обратной будет пара:

.

Теорема 2. В поле C содержится подполе R', изоморфное полю действительных

чисел R относительно операций сложения и умножения,

определенных в подполе R и поле R'.

Если P и F – поле с однозначно определенными операциями,

то P – подполе поля F, а F расширение поля P.

Изоморфизм – это такое взаимно однозначное соответствие между множеством всех элементов группы G и множеством всех элементов группы G', при котором произведению двух элементов из G cопоставляется произведение соответствующих элементов из G', т.е. изоморфизмом называется взаимно однозначное отображение одного поля на другое, сохраняющее операции.

Доказательство.

Пусть .

1. (очевидно).

2. Зададим взаимно однозначное соответствие по правилу:

.

Покажем, что заданное соответствие является изоморфным. Для этого покажем, что

сумме и произведению любых двух действительных чисел a и b соответствуют сумма и произведение пар (a,0) и (b,0), поставленных в соответствие этим числам.

Таким образом, . Поэтому, R' – поле относительно операций сложения и умножения, определенных в поле C и, следовательно, есть подполе поля С.

Замечание. Поскольку R' R', то каждый элемент поля R' отождествим с

соотвествующим ему при изоморфизме элементом поля R, т.е.

.

При таком отождествлении с элементами поля R'–поле

действительных чисел является подполем поля C. Следовательно, построенное нами поле C является расширением поля действительных чисел R.

Нашей задачей было построить такое расширение поля действительных чисел R, которое содержит решение уравнения x2+1=0.

Построенное нами поле C имеет это свойство: одним из корней уравнения является элемент .

.

– второй корень уравнения.

Условимся элемент (0,1) обозначать символом i, тогда (0,-1)= -(0,1) будем обозначать (-i). Следовательно, i2=(-i)2= -1. Тогда, учитывая, что и , получим:, откуда . В результате получим: .

Определение. Поле комплексных чисел – это расширение поля действительных

чисел, полученное присоединением корня i квадратного уравнения

x2+1=0. Элементы поля C назовем комплексными числами.

Теорема 3. Поле С является минимальным расширением поля действительных

чисел R, содержащим элемент, квадрат которого равен (-1).

Теорема 4. Всякое минимальное расширение поля действительных чисел R,

содержащее элемент, квадрат которого равен (-1), изоморфно полю C.

Замечание. 1. Кроме поля комплексных чисел и его подполей никаких других

полей, элементами которых являются числа, не существует.

(Числовые поля – поле комплексных чисел и все его подполя.)

2. Поле рациональных чисел является наименьшим числовым полем,

т.е. содержится в любом числовом поле.

 

2. Алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексные числа обозначаются малыми буквами греческого алфавита:

Если , то его можно записать в виде: , где , а . (1)

Запись – алгебраическая форма комплексного числа. Назовем, – мнимая единица, – мнимое число. В (1): a – действительная часть числа , – мнимая часть числа , – коэффициент мнимой части.

Из данных выше определений, имеем:

1. Если .

2. Если и , то

Определение. Два комплексных числа и ,отличающиеся друг от

друга только знаком при мнимой части, называются

сопряженными. Число, сопряженное с комплексным числом ,

обозначают символом .

Свойства сопряженных комплексных чисел.

1.Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел – числа действительные.

.

2. .

3. .

4.

5.

6.

7. .

Свойства 1- 4 – доказываются непосредственно, 5-7 – методом математической индукции.

Теорема. Поле комплексных чисел не может быть упорядочено.

Упорядоченным полем называется поле F, на котором определено отношение

линейного порядка ≤ , удовлетворяющее аксиомам:

 

3. Квадратные уравнения.

Полученных результатов уже достаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с комплексными коэффициентами (хорошо известно, что уравнение с действительными коэффициентами может не иметь корней в поле действительных чисел). В первую очередь надо научиться извлекать квадратные корни из комплексных чисел.

Определение. Квадратным корнем из комплексного числа назовем

комплексное число квадрат которого равен – .

По определению , откуда . Тогда:

.

Замечание. 1) при b>0 x и y – одного знака;

2) при b<0 x и y – разных знаков.

Корни квадратного уравнения с комплексными коэффициентами находятся по тем же формулам, что и корни квадратного равнения с действительными коэффициентами:

.

.Как в школьном курсе математики, доказывается утверждение:

Если x1,x2 – корни уравнения . Тогда:

1) ;

2) ;

3) если , то .

 

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Тригонометрическая форма.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат.

Установим взаимно однозначное соответствие:

 

Действительные числа, и только они, изображаются точками оси Ox, поэтому эту ось назовем действительной осью. Чисто мнимые числа, и только они, изображаются точками оси Oy, поэтому эту ось назовем мнимой осью. Плоскость, между точками которой и комплексными числами установлено взаимнооднозначное соответствие назовем комплексной плоскостью.

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy.

Установим взаимнооднозначное соответствие:

Таким образом, между множеством C и совокупностью

направленных отрезков плоскости, выходящих из

начала координат установлено взаимнооднозначное

соответствие. Каждому действительному числу a

соответствует отрезок лежащий на действительной

оси, а всякому мнимому числу bi – отрезок, лежащий на

мнимой оси. Единичным отрезкам соответствуют

числа1 и i.

Тригонометрическая форма комплексных чисел.

– модуль комплексного числа ;

если , то ;

– аргумент числа .

Замечание. 1. Любое имеет аргумент.

2. Если то .

Если то .

(1)

(1) – тригонометрическая форма комплексного числа.

.

Функции периодичные с периодом , тогда с наряду с (1) имеет место равенство: .

Таким образом, равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме, означает, что модули этих чисел равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное .

Обычно аргумент рассматривают в границах .

 

4.Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть даны числа: , .

1. Складывать и вычитать числа и – неудобно.

2. Перемножим и :

(1)

Из (1) следует, что .

3. Пусть , т.е.

 

. (2)

Из (2) .

Геометрическое истолкование операций над комплексными числами.

Пусть

С геометрической точки зрения сложение комплексных

чисел и – это сложение направленных отрезков,

которыми изображены слагаемые.

Вычитание комплексных чисел с геометрической точки

зрения сводится к вычитанию направленных отрезков,

которыми изображаются эти числа.

Пусть, .

Учитывая, что

, надо:

1) вектор повернуть на угол ,

2) растянуть его в раза (при это будет

сжатие)

Учитывая, что

,

надо:

1) отрезок повернуть на угол (т.е. на угол по

часовой стрелке),

2) сжать в раза (при это будет растяжение)

Теорема. Модуль суммы двух комплексных чисел не больше суммы модулей этих

чисел, а модуль разности двух комплексных чисел не меньше

абсолютной величины разности модулей этих чисел.

По правилу треугольника:

ЛЕКЦИЯ 17. ВОЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ЦЕЛУЮ

СТЕПЕНЬ. ФОРМУЛА МУАВРА.

Если комплексное число задано в алгебраической форме, т.е. , то для возведения его в целую положительную степень надо к выражению применить формулу бинома Ньютона:

,

и затем положить , при .

В том случае, когда комплексное число задано в тригонометрической форме, возведение его в целую степень производится по формуле Муавра, к выводу которой перейдем.

Пусть . Тогда по правилу умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, будем иметь:

Теорема. Для любого целого числа n справедливо равенство:

, (1)

которое называется формулой Муавра.

Доказательство.

Докажем справедливость формулы (1) методом математической индукции для . При n=1 формула (1), очевидно, верна. Предположим, что она верна для показателя n-1. Тогда:

,

т.е. формула (1) справедлива и для показателя n-1.

Следовательно, В силу принципа математической индукции, формула (1) справедлива для любого натурального показателя n.

Предположим, что . Пусть. Тогда

Следовательно, при любом целом отрицательном показателе n формула (1) справедлива. При n=0 справедливость формулы (1) очевидна.

Примеры. 1)

2)

3)

 

4) В формуле Муавра возьмем r=1, получим равенство:

, (2)

Это равенство позволяет выразить и черези

. В самом деле, разложив левую часть равенства (2) по

формуле бинома Ньютона, будем иметь:

Приравняв отдельно действительные части и коэффициенты

мнимых частей левой и правой частей равенства (3), получим

выраженияи через и.

Тогда

ЛЕКЦИЯ 18. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО

ЧИСЛА.

 

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа будем

называть число , такое что , и будем обозначать его

символом .

Вопрос об извлечении из комплексного числа корня любой степени n можно решить с исчерпывающей полнотой, если воспользоваться тригонометрической формой числа .

Если =0, то=0.

Пусть , где . Предположим, чтосуществует и равен . Тогда

.

Но по формуле Муавра,

.

Следовательно,

. (1)

Напомним, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы либо равны, либо отличаются слагаемым, кратным . Поэтому из (1) имеем, что

Очевидно, что при любом целом k n-ая степень числа

равна числу .

Следовательно,

,

где k– произвольное число, – арифметическое значение корня n-ой степени из положительного числа r.

Покажем, что имеется только n различных значений корня.

Полагая , получим n различных значений корня, ибо при , очевидно,

Если же k=m, где m- любое целое число, отличное от 0,1,2,…,n-1, то , где q и r – некоторые целые числа, причем . Тогда

,

т.е. значение аргумента приотличается от значения аргумента при слагаемым, кратным . Следовательно, при мы получим то же самое значение корня, что и при .

Таким образом, операция извлечения корня в поле комплексных чисел всегда выполнима: какими бы ни были натуральное число n и комплексное число α ,корень n-ой степени из числа α – существует; если α=0, то , если , то имеет n значений, которые задаются формулой:

Условимся значения , которые получаем при , обозначать соответственно символами . Тогда

(2)

Геометрический смысл при

Все n значений имеют один и тот же модуль. Аргументравен , а аргументы получаем последовательным прибавлением угла. Следовательно, точки комплексной плоскости, которыми изображаются числа являются вершинами n-угольника, вписанного в окружность радиусас центром в начале координат, причем одна из вершин изображает числос аргументом , чем однозначно определяется положение всех других вершин.

Замечание. В поле комплексных чисел корень n-ой

степени из действительного числа также имеет n

различных значений; действительных среди этих

значений будет два, одно или ни одного в зависимости

от знака числа и четности показателя корня n.

Пусть . Тогда , и поэтому вершина

вписанного многоугольника, изображающая значение

, лежит на действительной, положительной полуоси.

Если n-четное, то противоположная ей вершина лежит

на действительной, отрицательной полуоси и,

следовательно, в данном случае будем иметь два

действительных значения корня; если n-нечетное, то

никакая другая вершина вписанного многоугольника на

действительную ось попасть не может и поэтому среди

значений корня действительных будет только одно.

Пусть. Тогда . Значение будет действительным тогда и только тогда, когда его аргумент будет кратным . Если n-нечетное, то среди значений k удовлетворяющих условию , есть, очевидно, только одно значение, а именно , при котором аргумент будет кратным . Таким образом, в этом случае будем иметь одно действительное значение корня; оно будет отрицательным, ибо его аргумент равен . Если n-четное, то аргумент числане может быть кратным и поэтому действительных значений корня вовсе не будет.

ЛЕКЦИЯ 19. КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. ПЕРВООБРАЗНЫЙ

КОРЕНЬ.

 

В тригонометрической форме . Поэтому, по формуле извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, имеем:

Значениеназывают корнями n-ой степени из 1; обозначают их символами . Следовательно,

(1)

Если n-четное, т.е. n=2m, то действительными корнями из 1 будут корни и ; если n-нечетное, т.е. n=2m+1, то действительным будет только корень.

На комплексной плоскости корни n-ой степени из 1 изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, причем кореньизображается вершиной, лежащей на действительной, положительной полуоси. Отсюда вытекает, что корни из 1, не являющиеся действительными, расположены попарно симметрично относительно действительной оси и, следовательно, попарно сопряженные.

Из (1) вытекает, что квадратный корень из 1 имеет два

значения: 1 и -1, корень четвертой степени из 1 – четыре значения: 1, -1, i, -i; корень третьей степени из 1 имеет три значения:

 

 

Свойства корней n-ой степени из 1.

Теорема. Все значения корня n-ой степени из комплексного числа можно

получить, умножив одно из этих значений на каждый из корней n-ой

степени из 1.

Доказательство. Пусть – одно из значений корня n-ой степени из числа ,т.е. , а – любой из корней n-ой степени из 1, т.е. . Тогда

т.е. – одно из значений корня n-ой степени из .

Рассмотрим произведения. Каждое из этих произведений является одним из значений корня n-ой степени из числа . Кроме того, если

, то, так как из равенствавытекало бы равенство

, чего не может быть. Поэтому все эти произведения являются различными значениями корня n-ой степени из числа , и так как их n, то ими исчерпываются все n значений этого корня.

Доказанная теорема позволяет упростить вычисление корня n-ой степени из комплексного числа, если известно одно из значений.

Пример. Одно из значений кубического корня из (-64) равно (-4). Умножив это

значение на кубические корни из единицыполучим все значения корня кубического из (-64): .

Теорема. Множество G всех корней n-ой степени из 1 является абелевой группой

по умножению.

Доказательство. Пусть .

1. .

Таким образом, на множестве G определена операция умножения. Эта операция, как операция умножения комплексных чисел, ассоциативна и коммутативна.

2. .

Таким образом, на множестве G определена операция деления.

Следовательно, G – абелева мультипликативная группа.

Каждый корень n-ой степени из 1 является, очевидно, так же корнем из 1 степени nl, где l- любое натуральное число. Отсюда вытекает, что если n – число составное, т.е. n=pq (p,q≠1, p,q≠n), то в множестве всех корней n-ой степени из 1 есть корни, которые являются корнями из 1 степени p и степени q.

Пример. .

Найдем

.

Однако, каким бы ни было натуральное число n, среди корней n-ой степени из 1 есть такие, которые не являются корнями из 1 никакой, меньшей степени: таким, в частности, является корень , ибо для любого натурального k<n имеем . Такие корни называются первообразными корнями n-ой степени из 1.

Определение. Корень n-ой степени из 1 называется первообразным, если он не

Является корнем из 1 никакой меньшей степени.

При любом n корень является первообразным. Кромеесть и другие первообразные корни n-ой степени из 1. Найти их позволяет следующая

Теорема. Корень n-ой степени из единицы корень

является первообразным тогда и только тогда, когда k и n взаимно

просты.

Следствие. Число первообразных корней n-ой степени из 1 равно числу

натуральных чисел, меньше n и взаимно простых с n.

 

Примеры. 1. Первообразные корни шестой степени из 1:

.

2. Первообразные корни p-ой степени из 1: , т.е. все корни

кроме .

 

Двучленные уравнения.

Определение. Двучленным уравнением n-ой степени называется уравнение

вида

Рассмотрим схему решения двучленного уравнения:

.

Следовательно, решение уравнения сводится к извлечению корня n-ой степени из числа p. Если p≠0, то имеет n различных значений. Если p=0, то уравнение имеет один корень x=0.

Пример. Решить уравнение .

Возьмем за арифметическое значение , т.е. . Тогда

 

ЛЕКЦИЯ 20. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА

КОРДАНО.

Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:

(1)

Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент равен единице; в противном случае мы поделили бы обе части уравнения на старший коэффициент.

Подвергнем (1) упрощению – сделаем член с квадратом неизвестного равным нулю, для чего положим и найдем .

Таким образом, сделав в (1) подстановку , получим неполное кубическое уравнение:

(2)

Чтобы найти корни уравнения (2), положим , где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:

,

раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:

.

Потребуем, чтобы или . Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.

Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:

Отсюда согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:

откуда

.

Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:

(3)

(3) – формула Кардана.

Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v, получим девять сумм u+ v ,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:

(4)

Обозначим через ,какую-нибудь пару значений , удовлетворяющих (4), а через - один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например:.

Тогда , . Найдем . Так как и , то

, откуда

, откуда .

Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):

, , .

Учитывая, что , , имеем: (5)

Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения:

, .

 

,

Обозначим - выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.

Предложение Если, то уравнение (2) имеет три различных корня.

Покажем, что , , , где - первообразный корень третьей степени из 1.

Пусть , , . Возведя обе части равенства в куб получим : , т.е. квадратное уравнение имеет два равных корня: , что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) , т.к. при . Если бы , то , т.е.

, что при невозможно.

Аналогично обнаруживается, что .

Если прии , то

. Так как ,то . Следовательно .

Откуда одно из значений : . Соответствующее значение :

Обращаясь к формулам (5) получим:

Предложение: При (и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно:, (6)

Пример: Решить уравнение: .

 

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Пусть (7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .

Теорема: Если, то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;

если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;

если, то то все корни (7) действительны и различны.

1. . Так как , то все три корня уравнения (7) должны быть различными.

Рассмотрим выражение .

Так как , то - действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть , тогда . На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: , а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:

,

.

2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.

При , , уравнение (7) имеет три равных нулю корня: .

3. ( неприводимый случай). Так как , то , где . Тогда. Найдем модульи аргумент подкоренного выражения:

, . Т.о. .

Полагая получим:

 

.

Произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату модуля:

.

Найдем

, т.е. , но . Значит . Тогда

Тогда корни (7) имеют вид:

(8)

Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.

 

Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.

Пример. Очевидно - действительный корень.

( один действительный и два сопряженных мнимых корня)

По формуле Кардана: - иррациональные числа

При приближенных вычислениях , . Вследствие этого недостатка рациональные корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами определяют не по формуле Кардана.

 

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.

Пусть (1) –

Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.

(2)

Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что , где , , . Если , сравнивая коэффициенты при : , , , откуда . Обратно, если , то .

Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что .

(3)

(3)- кубическая резольвента.

Пусть - какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:

Откуда

Эти два квадратных уравнения дадут все четыре корня уравнения (1). Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени, и так же решается в радикалах. При нахождении корней уравнения типа (1) по способу Феррари проводят последовательно все преобразования, не запоминая кубическую резольвенту.

Пример.

, ,

 

II способ Левая часть уравнения раскладывается на два множителя второй степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения такого разложения левую часть представляют как разность квадратов, для чего сначала представляют ее как разность между квадратом некоторого квадратного трехчлена и многочленом второй степени: - (члены степени не больше двух), оставляя пока неопределенным. В вычитаемое при этом входят лишние члены уменьшаемого( члены степени не больше 2) и такие же члены левой части (с обратным знаком). Для того, чтобы вычитаемое было полным квадратом, надо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Это условие дает уравнение третьей степени относительно . Беря в качестве любой корень этого уравнения, получаем искомое.

Пример.

1)

, , ,

, ,

*2)

 

– Конец работы –

Используемые теги: тексты, лекций, Лекция, системы, ЛИ, ных, уравнений, системы, ных, уравнений0.098

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Системы линейных уравнений

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта Например если при моделировании экономической системы не... Исходные данные... Исходные данные как правило содержат погрешности так как они либо неточно измерены либо являются результатом...

Лекции 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ. 2 ЛЕКЦИИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. 12 ЛЕКЦИЯ 3. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. 20 ЛЕКЦИЯ 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРОВ.. 49 Широко распространён также англоязычный вар
gl ОГЛАВЛЕНИЕ... Лекции ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ... ЛЕКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ...

Лекция 1. Тема: Операционная система. Определение. Уровни операционной системы. Функции операционных систем. 1. Понятие операционной системы
Понятие операционной системы... Причиной появления операционных систем была необходимость создания удобных в... Операционная система ОС это программное обеспечение которое реализует связь между прикладными программами и...

ЛЕКЦИЯ № 2 / 3 2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Кафедра Автоматизации управления войсками... Только для преподавателей...

Лекция: Архитектура компьютерной системы В лекции подробно рассмотрена архитектура компьютерной системы: управление прерываниями
В лекции подробно рассмотрена архитектура компьютерной системы управление прерываниями памятью вводом выводом иерархия памяти ассоциативная... Содержание Введение Архитектура компьютерной системы... Введение...

Системы линейных неравенств и их решение. Геометрическая интерпретация систем линейных неравенств
Линейные неравенства Строгие неравенства Нестрогие неравенства Какой геометрический... Далее приведем простой пример задачи такого класса... Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат Каждая клюшка приносит компании прибыль в...

Лекция первая. ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая. ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ: ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ Лекция третья. СОЦИОЛОГИЯ ОГЮСТА КОНТА ЛЕКЦИИ
Оглавление... ОТ АВТОРА... Лекция первая ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ...

Учебная программа курса. 4. Лекция 1. История психологии как наука. 5. Лекция 2. Античная философия и психология. 6. Лекция 3. Развитие психологии в Средневековый период. 19. Лекция 16. Тревога и защита
Введение... Учебная программа курса... Рабочая программа курса Лекция История психологии как наука...

ЛЕКЦИЯ № 1. Факторы выживания в природной среде ЛЕКЦИЯ № 2. Обеспечение водой ЛЕКЦИЯ № 3. Обеспечение питанием ЛЕКЦИИ по ОБЖ
КЛАСС Содержание Стр I четверть ЛЕКЦИЯ Факторы выживания в природной среде ЛЕКЦИЯ... ЛЕКЦИЯ Факторы выживания в природной... ЛЕКЦИЯ Обеспечение питанием...

0.055
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам