СПЕКТР ДЛЯ ПРОЦЕССОВ

Спектр белого шума – константа (т.к. для любого k>0, в данном случае это 2). Т.е. альтернативный вариант распознавания выхода на белый шум (в отличие от ) – это изучение периодограммы остатков.

Вывод формулы, связывающей автоковариационную функцию и выборочный спектр.

Т.к. , то можно записать:

Воспользуемся выражением для :

Подставляя и в выражение для , получаем:

Вспомним, что эмпирическая автоковариация считается так:

и заменяя в на k:

[с учетом того, что и в силу симметричности можно написать] , т.е. разложим сумму на три части: (от (Т-1) до –1), она совпадает с суммой (от 1 до (Т-1)), и выделяем средний элемент .

Т.к. это выражение лежит в основе многих выкладок и результатов, то часто курс эконометрии начинается с этой формулы.

Итак, нормированный спектр и автокорреляционная функция в какой-то степени эквивалентны, следовательно, иногда удобно использоваться спектр, чтобы определить тип модели, а иногда удобно использовать автокорреляционную функцию. В нашем курсе основной инструмент для распознавания типа процесса – автокорреляционная функция.

Что делать, если мы переходим к непрерывным функциям, т.е. частоты измеряются не дискретно, а непрерывно?

Принцип остается тем же, а специфика заключается в том, что функция , если она непрерывна, не может быть представима в виде конечной суммы. Она представляется в виде бесконечной суммы, т.е. базис тоже является бесконечным. И разлагаем по этому базису.

Сложность в том, что не всякая функция может быть представлена в виде ряда Фурье, а только такая, для которой этот ряд сходится.

Вторая сложность в том, что когда мы определяем коэффициенты разложения Фурье: , т.е. совокупность гармоник , следовательно, переходим к интегралу, т.к. это непрерывная функция. Итак, в левой части получаем: , где t непрерывно изменяется от 0 до Т, а в правой части остается только один элемент: (или ). И сложность состоит в том, чтобы зане6сти интеграл под сумму.

Но, в принципе, механизм остается тот же. Но нам это не надо, т.к. мы работаем с дискретными частотами и ВР.

Выборочный спектр и автокорреляционная функция связаны между собой следующим соотношением:

(*)

Если мы изучаем нормированный спектр, то для чисто случайного процесса это константа, равная 2.

Но мы изучаем периодограмму (т.е. выборочный, а не нормированный спектр), следовательно, критерий для остановки процесса построения модели в виде композиции существующих гармоник – выход на асимптотическую константу. Т.е. для случайного процесса выборочный спектр будет константой.

Вид выборочного спектра основных линейных процессов:

 

СПЕКТР ДЛЯ ПРОЦЕССОВ AR(p)

(дисперсия белого шума). Покажем это:

Эта функция получена из предыдущей, знаменатель преобразуется в знаменатель .

Мы знаем, что для AR(1):

- дисперсия процесса

- автоковариация

Если их подставить в функцию спектра, то

у нас как раз , т.к. мы работаем со стационарными процессами

Выделяем элемент

 

СПЕКТРЫ ПРОЦЕССОВ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО MA(q)

 

СПЕКТРЫ АВТОРЕГРЕССИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ARMA(p,q)

 

 

ДИНАМИЧЕСКАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

 

Лаг – запаздывание. Обычно под лагом понимают какую-то запаздывающую переменную.

Например, для переменной с лагом в периодов, такой лаговой переменной будет , хотя под лагом иногда подразумевается сама , а иногда структура.

В векторном виде луг записывают следующим образом: , т.е. все значения объединяются за весь период времени.

Очень удобно обозначать лаг с помощью лагового оператора, и если применить к вектору В, то .

Особенность темы в том, что мы выходим за рамки изучения одного ВР. Не всегда можно обойтись этими моделями. При введении в модель других объясняющих переменных модель усложняется.

 

МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ЛАГА

В модели на изменение исследуемой переменной y влияет не только какой-то объясняющий фактор х, но и его лаги. Тогда МРЛ можно записать так:

- в векторной форме, (1)

где , где q – величина максимального лага.

Коэффициенты показывают структуру лага и называются весами.

В случае мультиколлинеарности лаговых переменных обычно на лаговую структуру накладывают какое-нибудь ограничение, чтобы не уменьшать количество оцениваемых параметров.

 

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ ЛАГ

(2)

- коэффициенты;

- степень многочлена.

Простейший полиномиальный лаг – линейный, для которого .

Чтобы оценить такую модель, подставим выражение для в формулу (1), т.е. в исходную модель:

,

т.е. получается новая переменная

(3)

где , т.е. - это преобразованные регрессоры, их значения всегда можно получить, следовательно, мы можем оценить значения методом наименьших квадратов. Подставив их в (2), найдем величину весов .

 

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЛАГ

(геометрический лаг)

Его веса задаются следующим соотношением: .

Т.е. веса геометрического лага убывают экспоненциально с увеличением лага, а не линейно.

В модели с геометрическим лагом можно применить преобразование Койка (Koyck transformation).

После этого преобразования модель с распределенным лагом будет выглядеть так:

(4)

(модель с экспоненциальной лаговой структурой после преобразования Койка)

(5)

Умножим обе части (4) на , зная, что если оператор сдвига стоит перед константой, то он ее сохраняет.

Проблема, которая возникает при оценивании модели распределенного лага – это определение величины наибольшего лага. Самый простой способ: взять модель с достаточно большим лагом и проверить гипотезы по отсечению хвоста с помощью t и F-статистик.

 

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

AR МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ

Рассмотрим достаточно общую модель с одной независимой переменной (AR модель с распределенным лагом): (6) Первая сумма – AR член в виде распределенного лага зависимой переменной.

ARCH – ПРОЦЕССЫ

  Из теории прогнозирования известно, что прогнозы с минимальной ошибкой… Часто, в особенности в финансовых моделях, нужно уметь предсказывать не только тенденцию показателя и его…