Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений установившегося режима
Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений установившегося режима - раздел Энергетика, Расчет режима сложных электроэнергетических сетей
В Случае, Если Метод Ньютона Применяется Для Определения Узло...
В случае, если метод Ньютона применяется для определения узлового напряжения в сети, содержащей не один, а n-е число независимых узлов, вышеприведенные уравнения заменяются их матричными эквивалентами.
Например, в случае n=3 совокупность небалансов образует систему
,
которая может быть записана в форме вектор-столбца
,
где – столбец небалансов;
– столбец искомых узловых напряжений.
Вышеприведенную систему нелинейных уравнений необходимо заменить системой линейных уравнений, разложив нелинейные уравнения в ряд Тейлора в окрестностях точки начальных приближений . Например, линеаризация первого из трех уравнений системы данной системы путем разложения в ряд Тейлора дает линейное уравнение, включающее значение небаланса при подстановке начальных приближений и производные данного небаланса по каждому из искомых параметров.
Линеаризация всех трех уравнений рассматриваемой системы дает девять производных, которые в совокупности образуют квадратную матрицу производных (матрица Якоби).
,
где .
В общем случае линеаризация (2.2) нелинейной системы уравнений узловых напряжений на i-м итерационном шаге метода Ньютона в матричном виде имеет следующий вид
,
а итерационная формула данного шага
.
Приведенная запись определения новых приближений узловых напряжений не предполагает обращения матрицы производных. На каждом итерационном шаге решается система линейных уравнений
(2.3)
методом Гаусса или Зейделя, находятся поправки и следующие приближения.
Итерационный процесс считается сошедшимся, если
,
где – столбец значений небалансов токов при подстановке i-х приближений узловых напряжений, который для рассматриваемого примера (n=3) имеет вид
,
где – действительные и мнимые части узловых напряжений;
– значения небалансов действительных и мнимых частей токов.
Поскольку в общем случае число неизвестных связано с числом независимых узлов n отношением, матрица Якоби включает в себя четыре подматрицы размером n ×n
,
и линеаризованное уравнение (2.3) на i-м итерационном шаге в матричной форме имеет вид
или же
,
где – столбец i-х приближений искомых величин размером 2n.
Небалансы действительных и мнимых частей токов для k-ого узла при подстановке i-х приближений искомых параметров (действительных и мнимых частей узловых напряжений) определяются по формулам
Для каждой подматрицы матрицы Якоби различаются два вида производных: диагональные и недиагональные.
Все недиагональные производные подматриц матрицы Якоби представляют собой взятые с обратным знаком элементы узловых проводимостей. Они не зависят от напряжений и не меняются от итерации к итерации. Все диагональные производные подматриц матрицы Якоби нелинейно зависят от напряжений и меняются на каждой итерации.
Например, диагональные и недиагональные производные первой строки двух верхних подматриц матрицы Якоби
Диагональные и недиагональные производные первой строки двух нижних подматриц матрицы Якоби
Решение линейных уравнений установившегося режима
Задача расчета режима сложной электрической сети требует определения токов ветвей и напряжения узлов многоконтурной схемы замещения.
Современные электрические сети имеют схемы замещения, с
Законы Кирхгофа и Ома в матричной форме
Умножение матрицы соединения ветвей и узлов и матрицы токов ветвей для графа, приведенного на рис. 1.7, дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму токов в одном из узлов графа
В электрической сети
Метод расчета токораспределения в ветвях электрической сети, основанный на использовании I и II закона Кирхгофа, без какого-либо их предварительного преобразования, называется прямым методом.
Определение напряжения в узлах сети
Напряжения узлов сети, наряду с токами ее ветвей, являются параметрами ее режима, и эти напряжения, называемые узловыми, отличаются друг от друга на величину падения напряжения в ве
Расчет токораспределения методом узловых напряжений
Число уравнений при определении токораспределения может быть уменьшено, если выразить искомые токи через падение напряжения в ветвях, находимое, в свою очередь, как разность напряжений в узлах.
Установившегося режима
Методы решения нелинейных уравнений установившегося режима делятся на два вида: точные и итерационные.
Точные методы расчета в предположении, что расчеты ведутся точно, без округлен
Линейных уравнений узловых напряжений
Непосредственное определение матрицы узловых напряжений возможно на основании записи узловых уравнений в форме, требующей определения обратной матрицы
Линейных уравнений узловых напряжений
Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации, отличаясь более быстрой сходимостью итерационного процесса. Его основная идея заключается в том, что вычисленное i+1-е приближени
Метод контурных токов
Метод контурных токов, так же как и метод узловых напряжений, позволяет уменьшить число уравнений в системе, определяющие токи ветвей.
Метод контурных токов исключает из системы уравнений
Нелинейные уравнения установившегося режима
Нелинейные уравнения узловых напряжений (НУУН) описывают установившийся режим энергосистемы при условии задания нелинейного источника тока.
Нелинейный источник тока – это г
Для решения нелинейных уравнений узловых напряжений
Нелинейные уравнения узловых напряжений в форме балансов токов имеют особенность: они линейны слева и нелинейны справа, т.е. все элементы схемы замещения линейны, кроме источников тока.
Та
В форме баланса токов
Небаланс тока в k-ом узле
является комплексом небалансов мнимой и действительной частей токов
Учет слабой заполненности матрицы узловых проводимостей
Наиболее эффективным способом экономии машинного времени и памяти является учет слабой заполненности матрицы узловых проводимостей, симметричной относительно главной диагонали и содержащей много ну
Эквивалентирование схемы электрической сети
Схема называется эквивалентной, если при расчете ее режима узловые напряжения те же, что и при расчете режима исходной схемы.
Преимущество эквивалентирования – уменьшение числа узлов рассм
Установившегося режима
Геометрическая интерпретация метода простой итерации показана на рис. 2.12, где φ(x) – нелинейная функция, – то
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
,
,
– столбец небалансов;
– столбец искомых узловых напряжений.
. Например, линеаризация первого из трех уравнений системы данной системы путем разложения в ряд Тейлора дает линейное уравнение, включающее значение небаланса при подстановке начальных приближений и производные данного небаланса по каждому из искомых параметров.
,
.
,
.
(2.3)
,
– столбец значений небалансов токов при подстановке i-х приближений узловых напряжений, который для рассматриваемого примера (n=3) имеет вид
,
– действительные и мнимые части узловых напряжений;
– значения небалансов действительных и мнимых частей токов.
связано с числом независимых узлов n отношением
, матрица Якоби включает в себя четыре подматрицы размером n ×n
,
,
– столбец i-х приближений искомых величин размером 2n.
(действительных и мнимых частей узловых напряжений) определяются по формулам
Новости и инфо для студентов