Долю предприятий, у которых величина признака меньше среднего значения, гарантируя результат с вероятностью 0,99

Содержание контрольной работы

1. На основе статистического сборника «Регионы России. Социально-экономические показатели» (можно свободно скачать на сайте Росстата – www.gks.ru), необходимо сформировать первичный массив данных (N>30), характеризующих социально-экономическое положение субъектов РФ, ознакомится с их характером, установить причинно-следственные связи между ними. Определить, какой показатель будет являться признаком-фактором (Х), а какой результативным показателем (Y). К выбору показателей необходимо подойти взвешенно и по возможности согласовать их с преподавателем.

2. По итогам отчетного года провести группировку первичного массива данных по величине факторного признака, выделив малые, средние и крупные регионы. Интервалы групп принять самостоятельно. По каждой группе определить число регионов, величину факторного и результативного показателей всего по группе и в среднем на один регион, удельный вес (долю) каждой группы в общем числе субъектов РФ и в общей величине факторного и результативного показателей. Сформулировать выводы о различии регионов по группам и о наличии (отсутствии) связи между величиной факторного и результативного признаков. Результаты группировки представить в виде таблицы.

3. Используя выполненную группировку, оценить уровень вариации результативного показателя, используя правило сложения дисперсий. Сформулировать вывод о практическом значении полученных результатов.

4. Построить ряд распределения по результативному показателю по итогам отчетного года, определив число групп по формуле Стерджесса. Для построенного ряда определить показатели центра распределения (среднее значение, мода, медиана), вариации, асимметрии. Сформулировать выводы.

5. Учитывая, что массив исходных данных является 5%-й выборочной совокупностью из общего массива данных (генеральной совокупности), определить для неё:

§ среднюю величину факторного признака, гарантируя результат с вероят­ностью 0,95;

§ долю предприятий, у которых величина признака меньше среднего значения, гарантируя результат с вероятностью 0,99.

6. Провести анализ зависимости между факторным и результативным показателями. В качестве формы уравнения регрессии выбрать линейную функцию. Определить параметры уравнения регрессии и дать их экономическую интерпретацию. Измерить степень тесноты связи, используя линейный коэффициент корреляции, дать оценку полученным значениям.

7. По данным о величине результативного показателя одного из регионов проанализировать его динамику. Найти прогнозное значение результативного показателя в следующем году, используя метод аналитического выравнивания.

Пример выполнения контрольной работы

Задание 1.

Исходный массив данных для выполнения контрольной работы представлен в табл. 1 (N=35).

Таблица 1

Показатели социально-экономического развития регионов РФ

Субъект Федерации	Посевные площади сахарной свеклы, тыс. га	Валовой сбор сахарной свеклы, тыс. тонн
Белгородская область	108,3	3303,5	2669,5	2391,7	1788,2	4335,3
Брянская область	3,9	123,9	132,4	134,2
Воронежская область	191,4	3498,9	3505,2	3024,5		6991,6
Калужская область
Курская область	109,9	2932,7	2723,4	2753,1	2161,6	4416,6
Липецкая область	89,2	2117,6	1891,3	1780,4	1259,5	3498,8
Орловская область	41,9	1011,8	926,4	842,5	716,2	1716,2
Рязанская область	17,5	317,5	350,4	381,2	212,8	648,7
Тамбовская область	128,6	2635,3	2758,2	2354,1	1905,9	5093,5
Тульская область	11,6	242,3	296,7	139,2	226,3	455,9
Республика Адыгея	0,4			8,2	21,2
Республика Калмыкия
Краснодарский край	211,9	5065,8	6120,8	4461,3	7095,4	9283,2
Астраханская область
Волгоградская область		3,2	2,2	0,5	2,1	22,1
Ростовская область	25,8	325,0	451,9	273,9	683,4
Республика Ингушетия	0,1	1,2
Кабардино-Балкарская Республика
Карачаево-Черкесская Республика	13,5	215,6	180,2	234,4	276,9	338,3
Республика Северная Осетия
Чеченская Республика	4,4		33,1	23,2	39,9	32,8
Ставропольский край	41,4	964,3	1262,8	1149,1	1421,4	1925,7
Республика Башкортостан	63,8	1482,5	1112,3	1161,6	376,5	1432,3
Республика Марий Эл
Республика Мордовия	22,6	386,7	446,0	511,2	197,3	856,1
Республика Татарстан		2002,9	1826,8	1501,9	681,5
Чувашская Республика	1,7	60,0	34,4	18,8	15,1	34,8
Нижегородская область	10,6	180,5	259,4	127,1	97,3	248,1
Оренбургская область	1,7	1,9	0,1	2,1		7,2
Пензенская область	61,2	923,2	1091,2	928,6	592,3	2053,5
Самарская область	0,4	56,5		0,5	2,6	8,9
Саратовская область	8,7	226,8	188,9	94,6	40,9	237,8
Ульяновская область		284,6	270,8	132,7	142,7	551,6
Алтайский край	19,5	471,9	460,9	461,5	402,9	570,8
Новосибирская область

На основе логического анализа определяем, что посевная площадь сахарной свеклы является факторным признаком (Х), так как ее величина в значительной степени определяет валовой сбор сахарной свеклы,который будет являться результативным признаком (Y).

Задание 2.

С целью изучения распределения субъектов РФ по размеру посевной площади, необходимо выполнить их группировку, выделив три группы регионов. Для определения величины интервала используем формулу:

, (1)

где – максимальное значение признака;

– минимальное значение признака;

– число групп.

По данным табл. 1:

2011 год:

Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению признака. Верхнюю границу получаем путем прибавления к нижней границе величины интервала. Так, для первого интервала верхняя граница: 0+71=71 тыс. га и т.д. Результаты типологической, структурной и аналитической группировки представим в табл. 2. Полученные результаты по структурной группировке проанализируем с помощью их графического изображения (рис. 1).

Таблица 2

Распределение субъектов РФ по размеру посевных площадей за 2011 г.

Группы регионов, тыс. га	Число регионов, ед.	Удельный вес, %	Посевная площадь, тыс. га	Валовой сбор, тыс. тонн
по числу регионов	по размеру площадей	по объему валового сбора	всего	в среднем на 1 регион	всего	в среднем на 1 регион
Малые		80,0	28,8	25,4	372,7	13,3	12087,8	431,7
Средние		14,3	39,9	40,5		103,2	19280,2	3856,0
Крупные		5,7	31,2	34,1	403,3	201,7	16274,8	8137,4
Итого						36,9	47642,8	1361,2

Показатели удельного веса рассчитываются делением соответствующего показателя по группе на итог по совокупности в целом.

Значения показателей инвестиций в основной капитала и прибыли (всего) по каждой группе и по совокупности в целом получаем путем суммирования соответствующих значений по каждому субъекту РФ.

Показатели в среднем на один субъект РФ по каждой группе и по совокупности в целом определяются делением суммарной величины инвестиций в основной капитал (или прибыли) на число субъектов РФ в группе (или в совокупности в целом).

Рис. 1. Распределение регионов России по размеру

посевных площадей сахарной свеклы, %

Исходя из табл. 2, можно сделать следующие выводы:

1. Основная часть субъектов РФ относится к первой группе и их доля составляет около 80%. На долю этих регионов приходится 28,8% посевных площадей сахарной свеклы и ими получено 25,4% валового сбора урожая.

2. Показатели величины посевных площадей в среднем на один регион значительно отличаются друг от друга: по малым – 13,3 тыс. га; по средним – 103,2 тыс. га; по крупным – 201,7 тыс. га. То есть средняя величина посевных площадей по группе крупных субъектов РФ в 15,2 раза превышает средний размер посевных площадей по группе малых и в 1,95 раза по группе средних регионов.

3. Показатели объема валового сбора в среднем на один регион по группам показывают следующую зависимость между размером посевных площадей и валовым сбором сахарной свеклы: малые предприятия – 431,7 тыс. тонн; средние – 3856,0 тыс. тонн; крупные – 8137,4 тыс. тонн. То есть средняя величина валового сбора по группе крупных в 18,8 раза превышает средний размер валового сбора по группе малых и в 2,1 раза по группе средних.

Сопоставление роста объема валового сбора по группам в зависимости от размера посевных площадей свидетельствует о наибольшей эффективности третьей группы – крупных регионов.

Задание 3.

Если совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то можно определить, какая часть вариации обусловлена признаком-фактором, положенным в основание данной группировки, а какая – всеми прочими неучтенными факторами. Для этого необходимо воспользоваться разложением общей дисперсии на составляющие: межгрупповую и среднюю из внутригрупповых. Правило сложения дисперсий имеет вид:

, (2)

где – общая дисперсия; – средняя из внутригрупповых дисперсий; – межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

, (3)

где – общая средняя арифметическая для изучаемой совокупности в целом. В нашем случае она равняется 1361,2 тыс. тонн (табл. 2).

– размер выборки.

Используя данные табл. 1 об объеме валового сбора за 2011 год, рассчитаем общую дисперсию:

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, возникающую в результате действия неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Исчисляется следующим образом:

, (4)

где – внутригрупповая дисперсия (дисперсия по отдельной группе), рассчитывается как:

, (5)

где – величина i-го признака в конкретной группе;

– средняя величина признака в данной группе.

Находим внутригрупповую дисперсию по каждой группе (при расчетах задействованы табл. 1 и 2):

= 1177879,8.

.

Далее рассчитываем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

Определим межгрупповую дисперсию. Она характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Рассчитывается по формуле:

, (4)

где и – соответственно средние и численности по отдельным группам.

Расчеты производятся на основе данных, представленных в табл. 2.

.

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий:

.

Полученный результат соответствует общей дисперсии, исчисленной обычным способом.

Опираясь на правило сложения дисперсии, можно определить какая часть общей дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Для этого определим долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, т.е. рассчитаем коэффициент детерминации:

Таким образом, размер посевной площади оказывает значительное влияние на вариацию валового сбора сахарной свеклы. Другими словами, вариация объема валового сбора на 88,5% обусловлена величиной посевной площади, а на 11,5% всеми прочими неучтенными факторами.

Для качественной оценки тесноты связи используем эмпирическое корреляционное отношение:

. (5)

Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно 0, то есть групповые средние будут равны между собой и межгрупповая вариация отсутствует. Это значит, что группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение равно 1, то есть дисперсия групповых средних равна общей дисперсии и внутригрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем ближе значение корреляционного отношения к 1, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе корреляционного отношения можно воспользоваться шкалой Чеддока.

В нашем случае: что свидетельствует о весьма тесной связи между размером посевной площади и объемом валового сбора сахарной свеклы.

Задание 4.

Для построения ряда распределения по объему валового сбора, необходимо определить число групп и величину интервала. Для определения количества групп группировки с равными интервалами можно воспользоваться формулой Стерджесса:

n = 1+3,322lg N, (6)

где N – число единиц совокупности.

В нашем случае:

n = 1+3,322lg 35 = 6 групп

Определим величину интервала:

2011 год:

Если определенная верхняя граница последнего интервала будет меньше максимального значения величины признака в совокупности, то это может привести к потере данных. В таком случае последний интервал можно принять открытым. Если значение признака совпадает со значением границы интервала, то обычно его включают в интервал, для которого это значение совпадает с нижней границей.

По каждой группе подсчитаем число регионов, результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3

Распределение субъектов РФ по объему валового сбора

сахарной свеклы за 2011 г.

№ п/п	Группы регионов, тыс. тонн
	0-1550				-974,3	24357,1	949232,7	23730816,3
	1550-3100				575,7	2302,9	331446,9	1325787,8
	3100-4650				2125,7	6377,1	4518661,2	13555983,7
	4650-6200				3675,7	3675,7	13510875,5	13510875,5
	6200-7750				5225,7	5225,7	27308089,8	27308089,8
	7750-9300				6775,7	6775,7	45910304,1	45910304,1
Итого		–		–	48714,3	92528610,2	125341857,1

За принимаем середину интервала, условно считая, что она будет равна средней по интервалу.

Средняя по вариационному интервальному ряду рассчитывается по средней арифметической взвешенной:

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака. Для определения моды в интервальном ряду вначале необходимо определить модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, а затем значение модального признака. Из табл. 3 видно, что (0-1550) – модальный интервал. В этом случае моду (М_О) рассчитывают по следующей формуле:

, (7)

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующая модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Подставив значения в формулу, получаем:

Медиана – значение признака, которое делит численность ранжированного ряда на две равные части. Для интервального вариационного ряда конкретное значение медианы вычисляется по формуле:

, (8)

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма частот ряда;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

В нашем случае медианный интервал совпал с модальным (0-1550):

Для расчета показателей вариации используем вспомогательную таблицу 3. Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся:

• размах вариации;
• среднее линейное отклонение;
• дисперсия;
• среднее квадратическое отклонение;
• квартильное отклонение.

Размах вариации (размах колебаний признака) определяется как разность между наибольшим (Y_MAX) и наименьшим (Y_MIN) значениями вариантов:

Среднее линейное отклонение () и среднее квадратическое отклонение () показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения. Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных определяется по формуле:

Дисперсия () и среднее квадратическое отклонение ():

;

=

Квартильное отклонение () применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использование крайних значений:

, (9)

где и – соответственно третья и первая квартили распределения.

Квартиль – это значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные части. Первая квартиль – значение соответствует величине признака, который совпадает с 25-тым процентом, вторая квартиль – медиана – 50-тый процент, третья квартиль – 75%, четвертая – 100%. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы. Сначала определяем положение и место квартили:

Затем по накопленным частотам в дискретном ряду определяют численное значение. Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют следующие формулы:

, (10)

, (11)

где – нижняя граница интервала, содержащая нижний квартиль;

– нижняя граница интервала, содержащая верхний квартиль;

– величина интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– частота интервала, содержащего верхний квартиль.

В нашем случае:

первая квартиль находится в интервале (0-1550)

;

третья квартиль находится в интервале (1550-3100)

;

квартильное отклонение:

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации к средней арифметической (или медиане) и чаще всего выражаются в процентах. Наиболее часто с этой целью используют коэффициент вариации:

V=

Коэффициент вариации больше 33%. Таким образом, данная совокупность неоднородна по объему валового сбора.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателя асимметрии. Для сравнительного анализа степени асимметрии рассчитывается относительный показатель асимметрии:

. (12)

Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина данного показателя указывает на наличие правосторонней асимметрии. Отрицательный знак показателя асимметрии говорит о наличии левосторонней асимметрии.

Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности. Принято считать, что если коэффициент асимметрии меньше 0,25, то асимметрия незначительная, если выше 0,5, то асимметрия значительная.

В нашем случае можно говорить о значительной правосторонней асимметрии, так как значение данного коэффициента приближается к 0,5; её наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.

Графически интервальный вариационный ряд может быть представлен в виде гистограммы, полигона, кумуляты. Гистограмма строиться в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладываются интервалы значений вариационного признака. На отрезках (интервалах) строятся прямоугольники, высота которых соответствует частоте.

На основе построенной гистограммы можно графически определить значение моды. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. На рис. 2 эти прямые линии, соединяющие вершины прямоугольников, и перпендикуляр из точки их пересечения показаны пунктирной линией.

На рис. 3 представлена кумулятивная кривая (кумулята). Кумулята может быть использована для графического определения медианы. Для этого последнюю ординату делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси Х, до пересечения её с кумулятой. Из точки пересечения опускается перпендикуляр до оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой. Линии, определяющие медиану, на рис. 3 показаны пунктирными линиями.

Рис. 2. Гистограмма распределения регионов РФ

по объему валового сбора сахарной свеклы

 

Рис. 3. Кумулята распределения регионов РФ

по объему валового сбора сахарной свеклы

Выводы:

1. В результате исследования выявлено, что данная совокупность может рассматриваться как неоднородная, так как значение коэффициента вариации больше 33% и составляет 108,2%.

2. Медианное значение объема валового сбора сахарной свеклы в отчетном году составляет 1085 тыс. тонн, то есть половина регионов России имеет объем меньше 1085 тыс. тонн, а другая половина – больше. Наиболее часто встречающее значение объема валового сбора (модальное) – 842,4 тыс. тонн.

3. Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения соответственно равны 1391,8 тыс. тонн и 1892,4 тыс. тонн. Эти величины показывают, насколько индивидуальные значения признака отличаются от среднего его значения. Стандартное отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних.

4. Четверть регионов России (25%) имеет объем валового сбора сахарной свеклы менее 542,5 тыс. тонн, 25% регионов – свыше 2034,4 тыс. тонн, остальные в пределах 542,5-2034,4 тыс. тонн. Квартильное отклонение, которое определяют вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использование крайних значении, составляет 746 тыс. тонн.

5. Асимметрия правосторонняя, значительная.

Задание 5.

Предполагается, что исходные данные по 35 регионам РФ являются 5%-й выборкой из некоторой генеральной совокупности. В связи с этим возникают следующие задачи:

1. определение характеристик выборочной совокупности: средней величины (), дисперсии количественного признака (), доли единиц, обладающих значением изучаемого признака (W), дисперсии доли ();

2. расчет ошибок выборки (, , , );

3. распространение результатов выборки на генеральную совокупность путем определения доверительных интервалов, в которых с определенной вероятностью можно гарантировать нахождение характеристик генеральной совокупности.

Для проведения расчетов используем результаты расчетов, как сделанных ранее, так и новые (данные взяты из табл. 1 и табл. 2):

тыс. га

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповторного отбора, так как по условию можно определить численность генеральной совокупности (N). Среднюю ошибку выборки () найдем по следующей формуле:

, (13)

где – дисперсия выборочной совокупности;

– численность единиц выборочной совокупности;

– численность генеральной совокупности.

Так как =35, что составляет 5% от численности генеральной, то =700.

Предельная ошибка для средней находится по формуле:

, (14)

где – коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы ().

Коэффициент доверия определяем по таблице распределения Стьюдента(Приложение А). Внашем случае при вероятности = 0,95 и = 34 (35 – 1) значение = 2,0322445. Тогда:

Доверительные интервалы генеральной средней:

С вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя величина посевной площади в расчете на один регион по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 23,75 тыс. га до 50,05 тыс. га

Число регионов, у которых величина посевной площади меньше средней величины по выборочной совокупности, определим по первичным данным (табл. 1). Таких регионов 24, их доля (W) в выборочной совокупности:

Средняя ошибка доли для бесповторного отбора:

. (15)

Предельная ошибка доли:

. (16)

При вероятности = 0,99 и = 34 значение = 2,7283944. Тогда:

Доверительные пределы генеральной доли:

Таким образом, с вероятностью 0,99 можно гарантировать, что доля регионов, у которых величина посевной площади меньше среднего значения, будет находиться в пределах от 54% до 84%.

Задание 6.

В случае прямолинейной связи зависимость между двумя факторами описывается следующим уравнением:

, (17)

где и – коэффициенты регрессии.

Параметры уравнения прямой могут быть найдены путем решения системы нормальных уравнений:

(18)

Расчёты произведем за последний год, используя вспомогательную табл. 4.

В нашем примере система уравнений выглядит следующим образом:

Решив данную систему уравнений, получим следующие значения параметров уравнения: а₀ = -106,2; а₁ = 39,8;

Таблица 4

Расчётная таблица для определения параметров уравнения регрессии

зависимости посевной площади от объема валового

сбора сахарной свеклы за 2011 год

№ п/п	Посевные площади, тыс. га ()	Валовой сбор, тыс. тонн ()
А
	108,3	4335,3	11728,9		4199,0	71,4	2974,1
	3,9		15,2	530,4	48,8	-33,0	-1225,2
	191,4	6991,6	36634,0		7502,5	154,5	5630,4
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
	109,9	4416,6	12078,0	485384,3	4262,6	73,0	3055,4
	89,2	3498,8	7956,6		3439,7	52,3	2137,6
	41,9	1716,2	1755,6	71908,78	1559,4	5,0	355,0
	17,5	648,7	306,3	11352,25	589,4	-19,4	-712,5
	128,6	5093,5	16538,0	655024,1	5006,0	91,7	3732,3
	11,6	455,9	134,6	5288,44	354,9	-25,3	-905,3
	0,4		0,2		-90,3	-36,5	-1361,2
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
	211,9	9283,2	44901,6		8317,5	175,0	7922,0
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
		22,1	1,0	22,1	-66,5	-35,9	-1339,1
	25,8		665,6	20923,8	919,4	-11,1	-550,2
	0,1		0,0		-102,3	-36,8	-1361,2
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
	13,5	338,3	182,3	4567,05	430,4	-23,4	-1022,9
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
	4,4	32,8	19,4	144,32	68,7	-32,5	-1328,4
	41,4	1925,7	1714,0	79723,98	1539,5	4,5	564,5
	63,8	1432,3	4070,4	91380,74	2430,0	26,9	71,1
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
	22,6	856,1	510,8	19347,86	792,2	-14,3	-505,1
			6400,0		3074,0	43,1	574,8
	1,7	34,8	2,9	59,16	-38,7	-35,2	-1326,4
	10,6	248,1	112,4	2629,86	315,1	-26,3	-1113,1
	1,7	7,2	2,9	12,24	-38,7	-35,2	-1354,0
	61,2	2053,5	3745,4	125674,2	2326,7	24,3	692,3
	0,4	8,9	0,2	3,56	-90,3	-36,5	-1352,3
	8,7	237,8	75,7	2068,86	239,6	-28,2	-1123,4
		551,6	441,0	11583,6	728,6	-15,9	-809,6
	19,5	570,8	380,3	11130,6	668,9	-17,4	-790,4
			0,0		-106,2	-36,9	-1361,2
Итого:		47642,8			47642,8	–	–

Таким образом, получаем следующее уравнение:

Подставив в уравнение действительные значения , найдем теоретические значения результативного показателя (столб. 5 табл. 4).

Коэффициент регрессии а₁ = 39,8 говорит о том, что при увеличении посевной площади на 1 тыс. га объем валового сбора в среднем возрастет на 39,8 тыс. тонн.

Предполагая, что зависимость между размером посевной площади и объемом валового сбора, имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Для этого используем как расчеты сделанные ранее, так и данные табл. 4.

.

Значение , что свидетельствует о тесной связи между размером посевной площади и объемом валового сбора. Однако чтобы это утверждать, необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно сделать на основе расчета t-критерия Стьюдента:

Теоретическое значение находим по таблицам Стьюдента (Приложение Б).Для числа степеней свободы и вероятности = 0,99 = 2,733. Таким образом, > , следовательно, с вероятностью 0,99 можно говорить о существенности коэффициента корреляции.

Задание 7.

При выполнении данного задания необходимо провести анализ динамики объема валового сбора одного из регионов и осуществить прогноз. В качестве такого региона в нашем примере выступит Алтайский край.

Анализ динамики выполняется путем расчета показателей, характеризующих изменение анализируемого показателя по периодам:

1. Абсолютные показатели динамики:

а) цепной абсолютный прирост: y_ц = y_i – y_i-1.

б) базисный абсолютный прирост: y_б = y_i – y_0.

2. Относительные показатели динамики:

а) цепной темп роста: Тр_ц = y_i / y_i-1 * 100.

б) базисный темп роста: Тр_б = y_i / y₀ * 100.

в) цепной темп прироста: Тпр_ц = y_ц / y_i-1* 100 = Тр_ц – 100.

г) базисный темп прироста: Тр_б =y_б / y₀ * 100 = Тр_б – 100.

Расчет данных показателей представлен в табл. 5.

3. Средние показатели динамики:

а) средний уровень ряда:

б) средний абсолютный прирост:

в) средний темп роста:

г) средний темп прироста:

Таблица 5

Динамика объема валового сбора сахарной свеклы в Алтайском крае

Год	Объем валового сбора, тыс. тонн	Абсолютный прирост, тыс. тонн	Темп роста, %	Темп прироста, %
Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
	471,9	–	–	–	–	–	–
	460,9	-11,0	-11,0	97,7	97,7	-2,3	-2,3
	461,5	0,6	-10,4	100,1	97,8	0,1	-2,2
	402,9	-58,6	-69	87,3	85,4	-12,7	-14,6
	570,8	167,9	98,9	141,7	121,0	41,7	21,0

Вывод:

1. Показатели динамики свидетельствуют о ежегодном росте объема валового сбора сахарной свеклы, кроме 2008 г. и 2010 г., что, скорее всего, связано с кризисными явлениями в экономике. В 2011 г. валовой сбор вырос на 167,9 тыс. тонн, что на 41,7% выше предыдущего уровня и на 21,0% базового.

2. Среднегодовой объем валового сбора за анализируемый период составил 473,6 тыс. тонн, при этом среднегодовой темп роста находился на уровне 104,9%.

Для того чтобы найти прогнозное значение валового сбора в 2012 году, используем метод аналитического выравнивания. Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение:

,(19)

где t – порядковый номер периода времени.

Параметры уравне6ния тренда и находятся решением системы нормальных уравнений прямой:

(20)

Для упрощения системы уравнений показатели времени обозначают так, чтобы , тогда система принимает вид:

(21)

Отсюда: ;

Расчет параметров тренда выполним с использованием вспомогательной табл. 6.

Таблица 6

Выравнивание по прямой ряда динамики объема

валового сбора сахарной свеклы

Период времени	Объем валового сбора, тыс. тонн ()
	471,9	-2	-943,8		445,64	26,26	689,59
	460,9	-1	-460,9		459,62	1,28	1,64
	461,5				473,6	-12,1	146,41
	402,9		402,9		487,58	-84,68	7170,70
	570,8		1141,6		501,56	69,24	4794,18
Итого			139,8			–	12802,52

;

Используя полученное уравнение, рассчитываем для каждого периода теоретические значения. Например, для 2007 года уравнение примет следующий вид:

Для нахождения прогнозного значения объема валового сбора сахарной свеклы в 2012 году необходимо в уравнение тренда подставить соответствующее значение :

Это так называемый точечный прогноз. При этом фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от теоретического, поэтому определяют доверительные интервалы прогноза:

, (21)

где – среднее квадратическое отклонение от тренда;

– табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости .

Если и , то число степеней свободы . Тогда с доверительной вероятностью = 0,95, коэффициент доверия (Приложение А).

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

, (22)

где и – соответственно фактические и теоретические значения уровней динамического ряда;

n – число уровней ряда;

m – число параметров в уравнении тренда (для прямой m = 2).

Зная точечную оценку прогнозируемого значения валового сбора сахарной свеклы в 2012 году (), определим вероятностные границы интервала:

Следовательно, с вероятность 0,95 можно утверждать, что объем валового сбора Алтайского края в 2012 году будет находиться в пределах от 307,56 тыс. тонн до 723,32 тыс. тонн.

 

Приложение А

Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерий)

n	p
0,99	0,95	0,90	0,85	0,80	0,75	0,70
	63,6567412	12,7062047	6,3137515	4,1652998	3,0776835	2,4142136	1,9626105
	9,9248432	4,3026527	2,9199856	2,2819306	1,8856181	1,6035675	1,3862066
	5,8409093	3,1824463	2,3533634	1,9243197	1,6377444	1,4226253	1,2497781
	4,6040949	2,7764451	2,1318468	1,7781922	1,5332063	1,3443976	1,1895669
	4,0321430	2,5705818	2,0150484	1,6993626	1,4758840	1,3009490	1,1557673
	3,7074280	2,4469119	1,9431803	1,6501732	1,4397557	1,2733493	1,1341569
	3,4994833	2,3646243	1,8945786	1,6165917	1,4149239	1,2542787	1,1191591
	3,3553873	2,3060041	1,8595480	1,5922214	1,3968153	1,2403183	1,1081454
	3,2498355	2,2621572	1,8331129	1,5737358	1,3830287	1,2296592	1,0997162
	3,1692727	2,2281389	1,8124611	1,5592359	1,3721836	1,2212554	1,0930581
	3,1058065	2,2009852	1,7958848	1,5475598	1,3634303	1,2144602	1,0876664
	3,0545396	2,1788128	1,7822876	1,5379565	1,3562173	1,2088525	1,0832114
	3,0122758	2,1603687	1,7709334	1,5299196	1,3501713	1,2041462	1,0794687
	2,9768427	2,1447867	1,7613101	1,5230951	1,3450304	1,2001403	1,0762802
	2,9467129	2,1314495	1,7530504	1,5172280	1,3406056	1,1966893	1,0735314
	2,9207816	2,1199053	1,7458837	1,5121302	1,3367572	1,1936854	1,0711372
	2,8982305	2,1098156	1,7396067	1,5076598	1,3333794	1,1910471	1,0690331
	2,8784405	2,1009220	1,7340636	1,5037077	1,3303909	1,1887115	1,0671695
	2,8609346	2,0930241	1,7291328	1,5001888	1,3277282	1,1866293	1,0655074
	2,8453397	2,0859634	1,7247182	1,4970355	1,3253407	1,1847614	1,0640158
	2,8313596	2,0796138	1,7207429	1,4941938	1,3231879	1,1830764	1,0626697
	2,8187561	2,0738731	1,7171444	1,4916196	1,3212367	1,1815487	1,0614488
	2,8073357	2,0686576	1,7138715	1,4892769	1,3194602	1,1801572	1,0603365
	2,7969395	2,0638986	1,7108821	1,4871358	1,3178359	1,1788845	1,0593189
	2,7874358	2,0595386	1,7081408	1,4851713	1,3163451	1,1777160	1,0583844
	2,7787145	2,0555294	1,7056179	1,4833625	1,3149719	1,1766394	1,0575232
	2,7706830	2,0518305	1,7032884	1,4816916	1,3137029	1,1756443	1,0567270
	2,7632625	2,0484071	1,7011309	1,4801434	1,3125268	1,1747218	1,0559887
	2,7563859	2,0452296	1,6991270	1,4787048	1,3114336	1,1738642	1,0553022
	2,7499957	2,0422725	1,6972609	1,4773647	1,3104150	1,1730649	1,0546623
	2,7440419	2,0395134	1,6955188	1,4761131	1,3094635	1,1723181	1,0540644
	2,7384815	2,0369333	1,6938887	1,4749418	1,3085728	1,1716189	1,0535045
	2,7332766	2,0345153	1,6923603	1,4738431	1,3077371	1,1709628	1,0529790
	2,7283944	2,0322445	1,6909243	1,4728105	1,3069516	1,1703459	1,0524849
	2,7238056	2,0301079	1,6895725	1,4718382	1,3062118	1,1697649	1,0520194
	2,7194846	2,0280940	1,6882977	1,4709212	1,3055139	1,1692167	1,0515802
	2,7154087	2,0261925	1,6870936	1,4700547	1,3048544	1,1686986	1,0511651
	2,7115576	2,0243942	1,6859545	1,4692348	1,3042302	1,1682082	1,0507721
	2,7079132	2,0226909	1,6848751	1,4684578	1,3036386	1,1677433	1,0503995
	2,7044593	2,0210754	1,6838510	1,4677204	1,3030771	1,1673020	1,0500458
	2,7011813	2,0195410	1,6828780	1,4670197	1,3025434	1,1668826	1,0497095
	2,6980662	2,0180817	1,6819524	1,4663529	1,3020355	1,1664834	1,0493895
	2,6951021	2,0166922	1,6810707	1,4657177	1,3015516	1,1661030	1,0490846
	2,6922783	2,0153676	1,6802300	1,4651119	1,3010901	1,1657402	1,0487936
	2,6895850	2,0141034	1,6794274	1,4645335	1,3006493	1,1653936	1,0485158
	2,6870135	2,0128956	1,6786604	1,4639807	1,3002280	1,1650624	1,0482501
	2,6845556	2,0117405	1,6779267	1,4634518	1,2998249	1,1647454	1,0479959
	2,6822040	2,0106348	1,6772242	1,4629453	1,2994389	1,1644418	1,0477524
	2,6799520	2,0095752	1,6765509	1,4624598	1,2990688	1,1641507	1,0475190
	2,6777933	2,0085591	1,6759050	1,4619940	1,2987137	1,1638714	1,0472949
	2,6757222	2,0075838	1,6752850	1,4615468	1,2983727	1,1636032	1,0470798
	2,6737336	2,0066468	1,6746892	1,4611170	1,2980450	1,1633454	1,0468730
	2,6718226	2,0057460	1,6741162	1,4607037	1,2977298	1,1630975	1,0466741
	2,6699848	2,0048793	1,6735649	1,4603059	1,2974265	1,1628588	1,0464826
	2,6682160	2,0040448	1,6730340	1,4599228	1,2971343	1,1626289	1,0462982
	2,6665124	2,0032407	1,6725223	1,4595535	1,2968527	1,1624073	1,0461204
	2,6648705	2,0024655	1,6720289	1,4591974	1,2965810	1,1621936	1,0459489
	2,6632870	2,0017175	1,6715528	1,4588538	1,2963189	1,1619873	1,0457833
	2,6617588	2,0009954	1,6710930	1,4585219	1,2960657	1,1617881	1,0456234
	2,6602830	2,0002978	1,6706489	1,4582013	1,2958211	1,1615955	1,0454689
	2,6588571	1,9996236	1,6702195	1,4578913	1,2955846	1,1614094	1,0453196
	2,6574786	1,9989715	1,6698042	1,4575914	1,2953558	1,1612293	1,0451750
	2,6561450	1,9983405	1,6694022	1,4573011	1,2951343	1,1610550	1,0450351
	2,6548543	1,9977297	1,6690130	1,4570201	1,2949198	1,1608861	1,0448996
	2,6536045	1,9971379	1,6686360	1,4567478	1,2947120	1,1607226	1,0447683
	2,6523935	1,9965644	1,6682705	1,4564838	1,2945106	1,1605640	1,0446410
	2,6512197	1,9960084	1,6679161	1,4562278	1,2943152	1,1604102	1,0445176
	2,6500813	1,9954689	1,6675723	1,4559795	1,2941256	1,1602609	1,0443978
	2,6489768	1,9949454	1,6672385	1,4557384	1,2939416	1,1601161	1,0442815
	2,6479046	1,9944371	1,6669145	1,4555042	1,2937629	1,1599754	1,0441685
	2,6468634	1,9939434	1,6665997	1,4552768	1,2935893	1,1598387	1,0440588
	2,6458519	1,9934636	1,6662937	1,4550557	1,2934205	1,1597058	1,0439521
	2,6448688	1,9929971	1,6659962	1,4548408	1,2932564	1,1595766	1,0438484
	2,6439129	1,9925435	1,6657069	1,4546317	1,2930968	1,1594509	1,0437475
	2,6429831	1,9921022	1,6654254	1,4544282	1,2929415	1,1593286	1,0436493
	2,6420783	1,9916726	1,6651514	1,4542302	1,2927903	1,1592095	1,0435537
	2,6411976	1,9912544	1,6648845	1,4540374	1,2926430	1,1590936	1,0434606
	2,6403400	1,9908471	1,6646246	1,4538495	1,2924996	1,1589806	1,0433699
	2,6395046	1,9904502	1,6643714	1,4536665	1,2923598	1,1588705	1,0432815
	2,6386906	1,9900634	1,6641246	1,4534881	1,2922236	1,1587632	1,0431953
	2,6378971	1,9896863	1,6638839	1,4533141	1,2920907	1,1586586	1,0431113
	2,6371234	1,9893186	1,6636492	1,4531444	1,2919611	1,1585565	1,0430294
	2,6363688	1,9889598	1,6634202	1,4529788	1,2918347	1,1584569	1,0429494
	2,6356325	1,9886097	1,6631967	1,4528173	1,2917113	1,1583597	1,0428713
	2,6349139	1,9882679	1,6629785	1,4526595	1,2915908	1,1582648	1,0427951
	2,6342123	1,9879342	1,6627654	1,4525055	1,2914732	1,1581722	1,0427207
	2,6335272	1,9876083	1,6625573	1,4523550	1,2913582	1,1580816	1,0426480
	2,6328580	1,9872899	1,6623540	1,4522080	1,2912459	1,1579932	1,0425770
	2,6322042	1,9869787	1,6621553	1,4520643	1,2911362	1,1579067	1,0425075
	2,6315652	1,9866745	1,6619611	1,4519238	1,2910289	1,1578222	1,0424397
	2,6309405	1,9863772	1,6617712	1,4517865	1,2909240	1,1577396	1,0423733
	2,6303296	1,9860863	1,6615854	1,4516521	1,2908214	1,1576587	1,0423083
	2,6297321	1,9858018	1,6614037	1,4515207	1,2907210	1,1575796	1,0422448
	2,6291476	1,9855234	1,6612259	1,4513921	1,2906227	1,1575022	1,0421827
	2,6285757	1,9852510	1,6610518	1,4512662	1,2905265	1,1574265	1,0421218
	2,6280158	1,9849843	1,6608814	1,4511430	1,2904324	1,1573523	1,0420622
	2,6274678	1,9847232	1,6607146	1,4510223	1,2903402	1,1572796	1,0420039
	2,6269311	1,9844675	1,6605512	1,4509041	1,2902499	1,1572085	1,0419467
	2,6264055	1,9842170	1,6603912	1,4507883	1,2901614	1,1571388	1,0418908
	2,6258905	1,9839715	1,6602343	1,4506749	1,2900748	1,1570705	1,0418359