Статистика: Дисперсия, ее свойства, правило "трех сигм"

Введение При изучениисоциально-экономических явлений и процессов статистика встречается сразнообразной вариацией признаков, характеризующих отдельные единицысовокупности. Величины признаков колеблются, варьируют под действием различныхпричин и условий, которые в статистике называются факторами.Нередко эти факторыдействуют в противоположном направлении и сами, в свою очередь, варьируют.Среди них есть существенные факторы, определяющие величину вариантов данногопризнака у всех единиц совокупности.

Но есть и несущественные чистослучайные , которые могут на одни единицы совокупности могут оказывать влияние,на другие нет. Вариация, порождаемая существенными факторами, носитсистематический характер, т.е. наблюдается последовательное изменение вариантовпризнака в определенном направлении.Такая вариация называется систематической.В систематической вариации проявляются взаимосвязи между явлениями, ихпризнаками, в такой связи один как причина фактор , другой как следствие результат его действия.

Точнее говоря, проявляется зависимость вариацииодного признака от вариации другого или от нескольких других.Вариация, обусловленнаяслучайными факторами, называется случайной вариацией.Здесь ненаблюдается систематического изменения вариантов зависимого признака отслучайных факторов все изменения носят хаотический характер, поскольку нет устойчивойсвязи этих факторов с единицами изучаемой совокупности.Вариация зависимогопризнака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на негофакторов, называется общей вариацией.

Следовательно, общая вариацияслагается из систематической и случайной вариации.Но систематическая вариация,если между признаками имеется довольно существенная связь, в конце концов,пробивает себе дорогу через хаос случайных колебаний вариантов зависимогопризнака и проявляет себя.Наличие вариациипризнаков, изучаемых статистикой явлений, ставит задачу определить мерувариации, ее измерение, найти соответствующие измерители показатели,характеризующие размеры этой вариации, а также выявить сущность и методывычисления определяющих ее факторов.По степени вариацииизучаемые явления можно рассматривать с различных аспектов, в частности судитьоб однородности совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака,типичности средней, о взаимосвязи междупризнаками одного и того же явления и признаками разных явлений.

Статистическиепоказатели, характеризующие вариацию, широко применяются в практическойдеятельности, например для оценки ритмичности работы промышленных предприятий,используются как контроль над производственными процессами, а также дляопределения устойчивости урожайности сельскохозяйственных культур тех или иныхсортов или одного и того же сорта в определенных климатических условиях.

Наоснове вариации в статистике разрабатываются показатели, характеризующиесоциально-экономические явления и процессы, например показатели тесноты связимежду явлениями и их признаками, показатели оценки точности выборочногонаблюдения.Для характеристикизакономерностей распределения изучаемого признака недостаточно пользоватьсятолько вариационными рядами распределения и их графическим изображением.

Впроцессе анализа требуется вычислить различные числовые характеристики показатели ,которые в обобщенном виде отразят особенности распределения изучаемыхпризнаков. Наличие таких характеристик показателей существенно облегчает сравнениеразличных распределений между собой.Все показатели вариации взависимости от характеризуемых ими особенностей можно разделить на три группы 1. показатели центра распределения средняя арифметическая, мода и медиана 2. показатели типа формы распределения структурные характеристики, показатели асимметрии и эксцесса, кривыераспределения 3. показатели степени вариации вариационный размах, среднее линейное отклонение, среднее квадратическоеотклонение, коэффициент вариации и дисперсия.Именно исследованиетакого показателя вариации, как дисперсия является целью этой работы.

ДисперсияДисперсия представляет собой средний квадратотклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и взависимости от исходных данных вычисляется по формулам простой дисперсии ивзвешенной дисперсии.

S xi x 2 s формула простой дисперсии n S xi x 2 f i s формула взвешеннойдисперсии. S f i Расчет дисперсии может быть упрощен.В случае равныхинтервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета отусловного нуля способ моментов . Для его понимания необходимо знать математическиесвойства дисперсии.

Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равнанулю.2. Уменьшение всех значений признака наодну и ту же величину А не меняетвеличины дисперсии s 2 х-A s 2x. Значит, средний квадратотклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по ихотклонениям от какого-то постоянно числа. 3. Уменьшение всех значений признака в kраз уменьшает дисперсию в k раз,а среднее квадратическое отклонение в k раз s 2 х A s 2x k .Значит, все значенияпризнака можно разделить на какое-то постоянное число скажем, на величинуинтервала ряда , исчислить среднее квадратичное отклонение, а затем умножить напостоянное число s 2х gt s 2х k k .4. Если исчислить средний квадратотклонений от любой величины A, в той или иной степени отличающейся отсредней арифметической х , то он всегда будет больше среднего квадратаотклонений, исчисленного от средней арифметической s 2A gt s 2х.Средний квадратотклонений при этом будет больше на вполне определенную величину на квадрат разностисредней и этой условно взятой величины, т.е. на x - A 2 s 2A s 2x х - A 2,или S xi-A 2 i s - x - A 2 . S i Значит, дисперсия отсредней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. онаимеет свойство минимальности.

В случае, когда Априравнивается нулю и, следовательно, отклонения не вычисляются, формулапринимает такой вид s 2х х - х ,или S х i S хi i s - . S i S i Значит, средний квадратотклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднегозначения признака.

На приведенныхматематиче6ских свойствах дисперсии основан метод расчета дисперсии поспособу моментов, или способу отсчета от условного нуля, которыйприменяется при исчислении средней величины. Расчет производится по формуле S i s k - х - A , S i где k ширина интервала A условный нуль, вкачестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшейчастотой S - момент второго порядка.

S i Дисперсия есть средняявеличина квадратов отклонений, а варианты признака выражены в первой степени.

Среднее квадратическоеотклонение s Среднее квадратическоеотклонение, равно корню квадратному из дисперсии. Оно может быть простым иливзвешенным. S хi - х s n или S хi - x i s . S i Среднее квадратическоеотклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднемотклоняются конкретные варианты признака от среднего значения.Они выражаются втех же единицах измерения, что и признак в метрах, тоннах, рублях и т.д. .Среднее квадратическоеотклонение часто используется в качестве единицы измерения отклонений отсредней арифметической.

В зарубежной литературе этот показатель называется нормированным,или стандартизированным, отклонением.По свойству мажорантностисредних величин среднее квадратическое отклонение всегда больше среднеголинейного отклонения.Если распределение признака близко к нормальному илисимметричному распределению, то между s и d существует взаимосвязь d 0,8s или s 1,25 d .Среднее квадратическоеотклонение играет важную роль в анализе вариационных рядов распределения. Вусловиях нормального распределения существует следующая взаимосвязь междувеличиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений Впределах x 1s располагается 0,683, или 68,3 количества наблюдений Впределах х 2s - 0,954, или 95,4 Впределах х 3s - 0,997, или 99,7 количества наблюдений.В действительности напрактике почти не встречаются отклонения, которые превышают 3s. Отклонение 3s может считаться максимальновозможным. Это положение называют правилом трех сигм. Пример.

Рассмотрим расчет дисперсии исреднего квадратического отклонения по данным нижеприведенной таблицы о выпускепромышленной продукции фирмами отрасли.Таблица Вычисление s и s по несгруппированнымданным Номер фирмы Выпущено промышленной продукции за год, млн.руб. х xi - x хi - х А 1 2 3 1 2 3 4 5 6 60 52 40 60 50 38 10 2 -10 10 0 -12 100 4 100 100 0 144 Итого 300 448 Алгоритм расчетаследующий 1. Определим среднюю величину поисходным данным графа 1 по формуле средней арифметической простой S xi 300 Х 50 млн. руб. n 6 2. Найдем отклонения xi - х и запишем их в графе 2. Тариф, разряд хi Число сотруд- ников, чел. i хi - х xi-x xi-x i Тариф, разряд xi Число сотрудни- ков, чел. i xi-x xi-x xi-x i 12 13 14 15 16 17 18 1 5 30 60 30 5 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 9 20 30 0 30 20 9 12 13 14 15 16 17 18 30 20 10 50 10 20 30 -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 270 80 10 0 10 80 270 Итого 132 118 170 720.