Курс лекций Основные понятия и определения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Г.С. БОРОВСКИЙ

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Курс лекций

Москва 2009 г.

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Основные понятия и определения.

Место и роль методов оптимизации при моделировании и решении прикладных задач.

Цель исследования операций – количественное обоснование принимаемых решений по организации управлений. При решении задач управления применение методов исследования предполагает: - изучение взаимосвязей и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного…

Общая постановка прикладной задачи.

Все факторы, входящие в описание модели можно разделить на две группы: внешние факторы (условия проведения операции), на которые мы не можем влиять а₁,а₂,а₃,…;

Зависимые факторы (элементы решений), которые мы можем выбирать х₁,х₂,х₃,…

Величина критерия эффективности выражается некоторой функцией, называемой целевой функцией. Она зависит от факторов обеих групп и записывается в виде:

z = f ( x₁ x₂ … a₁ a₂ …)

Оптимизационная задача формулируется в общем виде.

Найти переменные х₁,х₂,…х_n, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений) φ_j (x₁ x₂…x_n) ≤ b_j, где j =1, 2, …m, и обращают в max или min целевую функцию:

z = f (x_1, x_2,…a_1, a_2,…) → max (min).

 

Классификация оптимизационных методов и моделей.

По характеру взаимосвязи между переменными: линейные и нелинейные.

По характеру изменения переменных: непрерывные и дискретные.

По учету факторов времени: статические и динамические.

По наличию информации о переменных: задачи полной определенности (детерминированные) и задачи в условиях неполной определенности.

По числу критериев: простые однокритериальные задачи и многокритериальные задачи.

 

Если критерий эффективности и система ограничений линейны, такая задача является задачей линейного программирования.

Если критерий эффективности и система ограничений являются целыми числами, то эта задача называется задачей целочисленного линейного программирования, а если система ограничений и целевая функция заданы нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования.

Если целевая функция и ограничения зависят от параметров, то задача называется параметрическим программированием.

Если целевая функции и система ограничений носят случайный характер, то получим задачу стохастического программирования.

Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно, то прибегают к методам эвристического программирования.

 

Основные этапы построения оптимизационных моделей.

Основные этапы построения оптимизационных моделей можно представить в виде схемы:

 

 

 

Последовательность моделирования представляет собой итерационную процедуру, которая предусматривает проведение коррекции после каждого этапа и возможность вернуться к любому из предшествующих, а затем продолжить анализ.

 

 

Линейное программирование.

Пример постановки задачи линейного программирования.

В качестве примера рассмотрим задачу об использовании ресурсов.

Пример.

Для изготовления 2-х видов продукции Р1 и Р2 используют 4 вида ресурсов S1, S₂, S3,S4. Запасы ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице:

 

X₁, X₂– число единиц продукции.

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р₂ соответственно равны С₁=2 и С₂=3.

Так как потребление ресурсов S1, S₂, S3,S4 не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

х₁ + 3х₂ ≤ 18

2х₁ + х₂ ≤ 16 (2.1) – система ограничений.

х₂ ≤ 5

3х₁ ≤ 21

 

По смыслу задачи переменные

x1≥0, x2≥0 (2.2)

Суммарная прибыль составит

F = 2x1 + 3x2→max (2.3)

Итак, экономико-математическая модель задачи найти план выпуска продукции, Х (х₁,х₂) удовлетворяющий системе ограничений (2.1) и условию (2.2), при которых функция (2.3) принимает максимальное значение.

Задачу легко обобщить на случай n видов продукции с использованием m видов ресурса.

 

Общая постановка задачи линейного программирования.

bi (i = 1,2,…, m) запас ресурса Si; aij – число единиц ресурса Si; сj – прибыль от единицы продукции Pj.

Методика составления экономико-математических моделей.

Примеры прикладных ЗЛП.

Пример 2.1

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует 3 вида сырья. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемые на изготовление единицы продукции, а также прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

 

Вид сырья	Нормы расхода сырья на ед. изделия.	Общее кол-во сырья
А	В
Прибыль с
одного изде-
лия

Решение.

Выполнить самостоятельно: Пример2.2 Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов: I и II. 1 кг I корма стоит 80 руб. и содержит 1…

Представим данные задачи в виде таблицы.

Геометрическая интерпретация решения ЗЛП.

  Пример 2.3 Решить графическим методом следующую задачу:

Выполнить самостоятельно.

ЗАДАНИЕ №1.

В соответствии с заданием (табл. 1) решить задачу оптимизации графически. В задаче построить многоугольник допустимых решений. На многоугольнике определить точку выхода, определить координаты этой точки и значение целевой функции в точке выхода.

 

ТАБЛИЦА №1

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
	f(x)=3x1-2x2; 2x1+x2≤2; x1+2x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=4x1+8x2; x1+x2≤3; x1+2x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=-4x1+8x2; 3x1+5x2≤15; x1-x3≤1; x1,x2≥0;
	f(x)=3x1-2x2; -x1+2x2≤2; 2x1-x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=-x1+6x2; 4x1+3x2≤12; -x1+x2≤1; x1,x2≥0;	f(x)=-x1+6x2; x1+x2≤3; -2x1+x2≤2; x1,x2≥0;
	f(x)=x1+6x2; 3x1+4x2≤12; -x1+x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=2x1+6x2; 3x1+4x2≤12; x1+2x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=8x1+12x2; 2x1+x2≤4; 2x1+5x2≤10; x1,x2≥0;
	f(x)=8x1+12x2; -3x1+2x2≤0; 4x1+3x2≤12; x1,x2≥0;	f(x)=3x1-2x2; 2x1+x2≤2; 2x1+3x2≤6; x1,x2≥0;	f(x)=6x1+4x2; x1+2x2≤2; -2x1+x2≤0; x1,x2≥0;
	f(x)=6x1+4x2; 3x1+2x2≤6; 3x1+x2≤3; x1,x2≥0;	f(x)=8x1+6x2; -x1+x2≤1; 3x1+2x2≤6; x1,x2≥0;	f(x)=8x1+6x2; -x1+x2≤2; 3x1+4x2≤12; x1,x2≥0;

 

2.5 Элементы линейной алгебры.

Любые m переменных системы уравнений с n переменными, где m < n называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n – m переменных называются неосновными (или свободными). Основными могут быть разные группы из n переменных. Максимальное число групп основных переменных равно числу сочетаний (где m-число уравнений, а n-число переменных). Решение системы Х(х₁, х₂…х_n) называется допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты, в противном случае решение называется недопустимым. Базисным решением системы m уравнений с n неизвестными называется решение в котором все (n – m) переменных равны 0. Допустимое базисное решение иначе называется опорным планом.

Пример 2.4.

Решить систему уравнений

х₁ – х₂ – 2х₃ + х₄ = 0

2 х₁ + х₂ + 2х₃ – х₄ = 2

 

Общее число групп основных переменных: - X₁X₂, X₁X₃, X₁X₄, X₂X₃, X₂X₄, X₃X₄.

Выясним, могут ли быть основными переменные X₁X₂ , т.к. определитель матрицы из коэффициентов

׀ 1 -1 ׀ = 1•1 – 2•(-1) ≠ 0 ,

׀ 2 1 ׀

то X₁X₂ – основные переменные

Аналогично основным можно отнести X₁X₃; X₁X₄ (у них определители ≠ 0)

Группы X₂X₃, X₂X₄, X₃X₄ не могут быть основными, т.к. их определители = 0

 

Таким образом система уравнений имеет 3 базисных решения:

1) Для основных переменных X₁X₂ и не основных X₃X₄

(X₃= X₄ = 0)

Х₁-Х₂=0 X₁ = ⅔

2Х₁+Х₂=2 X₂ = ⅔

 

Таким образом, базисное решение: X = (⅔, ⅔, 0, 0) – допустимое решение;

2) Для основных переменных X₁X₃ и неосновных X₂ = X₄ = 0

X₁ = ⅔ X₃ = ⅓

Базисное решение: X₂ = (⅔, 0, ⅓, 0). Оно тоже допустимое.

3) Для основных переменных X₁ X₄ и неосновных X₂ = X₃ = 0

Базисное решение X₃ (⅔, 0, 0, -⅔) – недопустимое.

 

2.6 Симплекс-метод (СМ) решения ЗЛП

 

 

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины к соседней, в которых целевая функция принимает лучшие значении до оптимального значения.

В настоящее время СМ используется для компьютерных расчетов, однако не сложные методы можно решать и вручную.

Для реализации СМ необходимо знать 3 основных элемента:

1. способ определения первоначального допустимого базисного решения;

2. правило перехода к лучшему решению;

3. проверка признака оптимальности решении, который состоит в следующем :

 

- если в выражении целевой функции отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение максимально;

- если отсутствуют отрицательные коэффициенты, то решение минимально.

 

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы – основные и не основные. При выборе основных переменных на первом шаге не обязательно составлять определитель из их коэффициентов и проверять, равен ли он 0.

Достаточно ввести дополнительные неотрицательные переменные с учетом правила определения знака дополнительных переменных:

Знак «+», если неравенство вида ≤;

Знак «-», если неравенство вида ≥.

 

Алгоритм вычислительной реализации этих трех элементов рассмотрим на следующем примере.

Пример 2.5.

Решить задачу симплексным методом:

z=18 y₁+16y₂+5y₃+21y₄ →min

при ограничениях:

y₁+2y₂+3y₄≥2

3y₁+y₂+y₃≥3

y₁, y₂, y₃, y₄≥0

Шаг 1:

Введем дополнительные переменные y₅, y₆ со знаком «-», т. к. «≥» получим систему уравнений в канонической форме:

 

y₁+2y₂+3y₄-y₅=2

3y₁+y₂+y₃-y₆=3

 

Если на первом шаге в качестве основных переменных взять дополнительные переменные y₅, y₆, тогда:

y₁=y₂=y₃=y₄=0, => y₅=-2; y₆=-3.

У₁=(0,0,0,0,-2,-3) – недопустимое базисное решение.

 

Шаг 2:

В данном случае в качестве основных удобно взять переменные y₃, y₄ в соответствии с правилом выбора основных переменных, сформулированным выше.

0 3 ≠0

1 0

 

y₃, y₄ - основные переменные.

y₁=y₂=y₆=y₅=0 неосновные переменные;

Выразим основные переменные через неосновные:

y₃=3-3y₁-y₂+y₆

y₄=2/3-y₁/3-2/3y₂+y₅/3

y₃=3, y₄=2/3;

 

Базисное решение У₂=(0,0,3,2/3,0,0) – допустимое решение.

Выражаем линейную функцию через неосновные переменные:

z=18y₁+16y₂+5(3-3y₁+y₆-y₂)+21(2/3-y₁/3-2/3y₂+y₅/3)= 29-4y₁-3y₂+7y₅+5y₆

Критерии оптимальности не выполняются, т.к. имеются отрицательные коэффициенты при y₁ и y₂, поэтому Z₁ =29 – не является минимальным.

Так как функцию Z можно уменьшить за счет перевода в основные любой из переменных у₁ и у₂, имеющих в выражении для Z отрицательные коэффициенты. Так как у имеет больший по абсолютному значению коэффициент, то начнем с этой переменной.

Шаг 3:

y₁, y₄ - основные переменные.

y₂, y₃, y₅, y₆=0 – неосновные переменные;

После преобразований:

y₁=1-1 y₂ - 1 у₃+1 у₆;

3 3 3

y₄=1 -5 у₂+1 у₃+1 у₅-1у₆;

3 9 9 3 9

z=25-5 y₂+1 у₃+1 у₅-1 у₆;

3 9 3 9

y₃=(1;0;0;1/3;0;0) – допустимое базисное решение.

Z(y₃)=25 – не является min, так как имеется отрицательный коэффициент при y₂, поэтому переменную y₂ переводим в основную .

 

Шаг 4:

y₁,y₃ – основные переменные.

y₃, y₄, y₅, y₆=0 – неосновные переменные.

у₁=4 -2 у₃+5 у₄-1 у₅+2 у₆

5 3 3 5 5

y₂=3+1 у₃-9 у₄+3 у₅-1 у₆

5 5 5 5 5

y₃= (4/5;3/5;0;0;0;0) – допустимое базисное решение

z=24+y₃+3y₄+6y₅+4y₆→min

Решение оптимальное, так как в выражении нет отрицательных коэффициентов при неосновных переменных.

Z(y₄)=24=min

 

Отыскание опорного и оптимального решения ЗЛП с использованием табличного алгоритма с заменой базисных переменных.

Пример 2.6 Линейная функция: F=2x1+3x2→max

Таблица №1.

 

←разрешающая строка

 

 

↑

разрешающий столбец

 

3.Проверяем выполнение критерия функции на max – первый опорный план не оптимальный, так как в F коэффициенты при x₁ и x₂ < 0

 

4.Выбираем наибольший по модулю отрицательный коэффициент F, который определяет разрешающий столбец.(второй столбец)

 

5.Делим свободные члены на коэффициенты разрешающего столбца, определяем оценочные отношения. И выбираем строку в качестве разрешающей, где это отношение минимальное min {6,16,5,∞}=5. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находиться разрешающий элемент a₂₃ = 1.

Для построения таблицы №2 в качестве основной переменной мы выбираем х₂, так как она образует разрешающей столбец таблице 1.

Переход к новому плану осуществляется пересчетом симплексной таблице (СТ) методом Жордана Гаусса.

 

Таблица №2.

 

 

← разрешающая строка

 

↑

разрешающий столбец

 

Построение 2^ой таблицы:

1)Заменим переменные в базисе с х₅ на х_2.

2)Делим элементы разрешающей строки х₅ (табл.1) на разрешающий элемент, результаты занесем в строку х_2, но в таблицу №2.

3)В остальных клетках разрешающегося столбца (табл.1) записываем 0.

4)Остальные клетки заполняем по правилу прямоугольника:

	НЭ=СТЭ-(А´В)/РЭ

 

НЭ- новый элемент.

СТЭ- старый элемент.

РЭ- разрешающий элемент.

А,В- эл-ты старого плана, образующие прямоугольник со старым эл-том и разрешающим элементом.

СТЭ А

 

 

В РЭ

 

b₁=18-(3х5)/1=3

а₁₁=1-(3х0)/1=1

b₂=16-(1х5)/1=11 и т.д.

Критерии оптимальности опять не выполнен, так как F имеет коэффициент -2<0

- наибольший отрицательный по модулю коэффициент |-2| определяет разрешающий столбец x₁

- min (3;11/2;∞;7)=3. Следовательно, 1^ая строка разрешающая а₁₁ - разрешающий элемент.

 

Таблица №3

 

← разрешающая строка

 

 

↑

разрешающий столбец

В таблице 3 критерий оптимальности вновь не выполнен. Разрешающий столбец x₅, разрешающая строка x₄, разрешающий элемент 5.

1)х₁ вместо х_3.

2)В строке х₁ делим все на 1.

 

Таблица №4

Базис	Свободный член	Переменные	Оценочные отношения
х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1				-1/5	3/5
Х5				-2/5	1/5
х2				2/5	-1/5
х6				3/5	-9/5
F				4/5	3/5

 

Новая СТ№4 – критерий оптимальности выполнен – оптимальное базисное решение X(6,4,0,0,1,3)

F=24 =max

Вспоминая экономический смысл всех переменных, логично сделать следующие выводы.

Прибыль принимает максимальное значение F_max=24 при реализации 6 единиц продукции P₁ (x₁=6) и 4 единиц продукции P₂(x₄=4). Дополнительные переменные x₃, x₄, x₅, x₆ показывают остатки ресурсов каждого вида. При оптимальном плане производства x₃=x₄=0, то есть остатки ресурсов S₃ и S₄ равны 0, а остатки ресурсов S₅ и S₆ равны соответственно 1 и 3 единицам.

Выполнить самостоятельно.

-предпоследняя цифра - № столбца -последняя цифра – № строки Пример: Симплексным методом решить задачу максимизации.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №1

Пример. Решить следующую задачу максимизации F(x)=5x1-x2→max 2x1-x2+x3≤3

Целочисленное программирование.

Постановка задачи целочисленного программирования (ЗЦП)

Найти такое решение (план) Х=(х1х2… хn), при котором линейная ф-ция: n Z=∑cjxj принимает max или min значение, при ограничениях:

Метод отсечения (метод Гомори).

- оно должно быть линейным; - должно отсекать найденный нецелочисленный план; - не должно отсекать ни одного целочисленного плана;

Алгоритм решения ЗЛЦП

  2.Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то выбрать…  

Нелинейное программирование.

Во многих экономических моделях исследования зависимости между постоянными и переменными факторами не всегда оказываются линейными. В этом случае возникает задача нелинейного программирования. В нелинейном программировании существует несколько методов определения экстремумов. Основным из них является:

- классические методы оптимизации

Классические методы оптимизации.

Различают локальные, глобальные и условные экстремумы.

а) Локальный экстремум.

Необходимые условия экстремума: если в точке х* функция z=f(x) имеет экстремум, то частные производные в этой точке равны 0.

fx_i(x*)=0, i = 1,2..n ( количество переменных).

Точка х* , в которой все частные производные функции z=f(x) равны 0, называется стационарной точкой.

 

Достаточные условия экстремума:

Для функции 2-х переменных z=f(x₁,x₂) cсуществуют 4 частные производные II порядка, из них две смешанные производные равны.

f′′х₁²(x₁,x₂);

f′′х₁х₂(x₁,x₂);

f′′х₂х₁(x₁,x₂);

f′′х₂²(x₁,x₂);

Найдем значения частных производных II порядка в стационарной точке х⁰(х₁⁰,х₂⁰)

а₁₁=f′′х₁²(х⁰)

а₁₂=f′′х₁х₂(х⁰)

а₂₁=f′′х₂х₁(х⁰)

а₂₂= f′′х²₂(х⁰)

Составим определитель, составленный из а_ij

 

∆= а₁₁ а₁₂ =а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂

а₂₁ а₂₂

 

Тогда достаточные условия экстремума функции 2х переменных имеют вид:

а)Если ∆>0 и а₁₁<0 (а₂₂<0), то функция в точке х⁰ имеет max.

Если ∆>0 и а₁₁>0 (а₂₂>0), то функция в точке х⁰ имеет min.

б)Если ∆<0, то экстремума нет.

в)Если ∆=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример: Исследовать на экстремум функцию

Z=x₁⁴+x₂⁴-x₁²-2x₁x₂-x₂²

Находим частные производные:

Z ^′(x₁)= 4x₁³- 2x₁-2x₂

( * )

Z ^′(x₂) = 4x₂³- 2x₁-2x₂

Приравниваем частные производные к 0

4x₁³- 2x₁-2x₂=0 (1)

4x₂³- 2x₁-2x₂=0 (2)

Вычитая из (1)-(2) получим 4x₁³-4x₂³ =0 х₁=х₂ из (1) x₁³-x₁=0, х₁=0 и х₁= ±1

Имеем 3 стационарные точки х¹=(0,0), х²=(1,1),х³=(-1,-1)

 

 

Найдем вторые частные производные, используя(*)

Z^″ x₁²=(4x₁³- 2x₁-2x₂)^′_х1 =12x₁²-2

 

Z^″ x₁x₂=(4x₁³- 2x₁-2x₂)^′ _x2 = -2

 

Z^″ x₂x₁=(4x₁³- 2x₁-2x₂)^′ _x3 = -2

 

Z^″x₂ ² =(4x₁³- 2x₁-2x₂)^′_x4 = 12x₂ -2

 

В т.x^′1=(0,0), a₁₁= -2, a₁₂= a₂₁= -2 , a₂₂= -2

∆= -2 -2 =0

-2 -2

Вопрос об экстремумах остается открытым (такая точка называется седловиной)

Вт. x^′2=(1,1) и В т x³=(-1,-1)

a₁₁= 10, a₁₂= a₂₁= -2 , a₂₂= 10

∆= 10 -2 =96

-2 10

функция в этих точках имеет min, так как ∆>0, a₁₁>0 z_min= 1⁴+1⁴-1²-2∙1∙1-1²= -2

б)Глобальный экстремум(наибольшее, наименьшее значение функции).

 

Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция z=f(x) достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения в стационарной точке или в граничной точке области (теорема Вейерштрасса) следовательно, чтобы найти глобальный экстремум функции z в области D необходимо:

1)Найти все стационарные точки внутри области D и вычислить функции в них.

2)Исследовать функции на экстремум на границе области D.

3)Сравнить значения функции, полученные в пункте 1 и 2. Наибольшее или наименьшее из этих чисел и будет глобальным экстремумом.

 

в)Условный экстремум.

 

Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(х₁,х₂,…,х_n) при условии, что эти переменные (х₁,х₂,…,х_n) удовлетворяют уравнению φ(х₁,х₂,…,х_n)=0, которое называется уравнением связи. Говорят, что в точке х⁰(х⁰₁,х⁰₂,…,х⁰_n), удовлетворяющему уравнению связи, функция z=f(x) имеет условный max (min), если f(х⁰)≥ f(x) (f(х⁰)≤ f(x)) имеет место для всех точек х, координаты которых удовлетворяют уравнению связи.

Пример.

Дана производственная функция z=x₁²x₂²(4-x₁-x₂) (1).

Цены С₁=1, С₂=2 и издержки b=4.

Необходимо найти х₁ и х₂, удовлетворяющие уравнению х₁+2х₂=4 (2) (уравнение связи) превращающее производственную функцию (1) в max.

	x2

 

 

 

Уравнение (2) и условие неотрицательности на плоскости х₁Ох₂ образуют замкнутую ограниченную област. (см. рис.)

Согласно теореме Вейерштрасса max функции может быть достигнут либо внутри этого отрезка , либо в граничных точках А(4;0) и В(0;2).Следовательно необходимо найти условный экстремум функции (1), если уравнение связи(2).

Из (2) находим:

х₁=4-2х₂ тогда z=(4-2х₂)²x₂(4-4+2x₂-x₂), z=4(2-х₂)²x₂²

Найдем глобальный экстремум z′=16(2-x₂)x₂(1-x₂)=0, стационарная точка x₂=0; x₂=1; x₂=2; значение функций в этих точках z(0)=0; z(1)=4; z(2)=0;

Максимальный объем производства z_max=4 единицы, достигается при условии, что затраты х₁=2 и х₂ = 1 ед.

Метод множителей Лагранжа.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции z=f(x) при ограничении φ(х)=0. Составим функцию, которая называется функция Лагранжа

Методы направленного поиска экстремумов.

Это пошаговые методы, на каждом шаге используется информация предыдущих шагов.

Методы определения экстремума унимодальной функции.

А) Методы определения экстремума функции одной переменной. Идея методов: На каждом шаге выбирается 2 точки X1 и X2 в них определяются значения целевой функции, они сравниваются.

Методы определения локального экстремума функции нескольких переменных

Метод поочередного изменения параметров (переменных), или метод покоординатного спуска (подъема). Суть метода: поочередная оптимизация последовательно по каждой переменной.

Алгоритм метода

Алгоритм останавливается либо при уменьшении модуля рабочего шага, либо по… Модуль рабочего шага