FAQ по нечеткой логике

FAQ Fuzzy Logic - FAQ по нечеткой логике

Перевод Анисимов С.Ю. 1998-07-30. Выдержки из FAQ.

 

Используйте newsgroup comp.ai.fuzzy для обсуждения вопросов связанных с фази-логикой.

Автоматически сгенерированная HTML версия Нечеткой Логики FAQ доступна WWW как часть AI-касающейся FAQs Мозаик страницы. URL для этого ресурса

http://www.cs.cmu.edu/Web/Groups/AI/html/faqs/top.html

Непосредственно на FAQ URL http://www.cs.cmu.edu/Web/Groups/AI/html/faqs/ai/fuzzy/part1/faq.html

 

Если Вы должны цитировать FAQ по некоторым причинам, используйте следующий формат:

Mark Kantrowitz, Erik Horstkotte, and Cliff Joslyn, "Answers to

Frequently Asked Questions about Fuzzy Logic and Fuzzy Expert Systems",

comp.ai.fuzzy, <month>, <year>,

ftp.cs.cmu.edu:/user/ai/pubs/faqs/fuzzy/fuzzy.faq,

mkant+fuzzy-faq@cs.cmu.edu.

 

*** Содержание:

 

[1] Какова цель этой newsgroup?

[2] Что является нечеткой логикой?

[3] Где нечеткая логика используется?

[4] Что такое - нечеткая экспертная система?

[5] Где нечеткие экспертные системы используются?

[6] Что является нечетким управлением?

[7] Каковы нечеткие числа и нечеткая арифметика?

[8] Не "нечеткая логика " свойственное противоречие?

Почему любой хотел бы нечеткости в логике?

[9] Как значения принадлежности определены?

[10] Какова связь между нечеткими значениями истинности и вероятностями?

[11] Имеются ли нечеткие конечные автоматы?

[12] Какова теория возможности?

[13] Как я могу получать копию трудов для <x>?

[14] Нечеткие BBS Системы, серверы почты и FTP Архивы

[15] Списки адресатов

[16] Библиография

[17] Журналы и Технические Информационные бюллетени

[18] Профессиональные Организации

[19] Компании, обеспечивающие Нечеткие Инструментальные средства

[20] Нечеткие Исследователи

[21] Статья Елкана " Парадоксальный Успех Нечеткой Логики "

[22] Глоссарий

[24] Где посылать запросы статьи (cfp) и запросы на участие

 

[2] What is fuzzy logic?

Что такое нечеткая логика

 

Date: 15-APR-93

 

Fuzzy logic is a superset of conventional (Boolean) logic that has been extended to handle the concept of partial truth -- truth values between "completely true" and "completely false". It was introduced by Dr. Lotfi Zadeh of UC/Berkeley in the 1960's as a means to model the uncertainty of natural language. (Note: Lotfi, not Lofti, is the correct spelling of his name.)

 

Нечеткая логика - надмножество стандартной (Булевой) логики, которая была расширена до понятия частичной правды - значения истинности между "полностью истинный" и "полностью ложный". Это было представлено доктором Лотфи Заде из UC/Berkeley в 1960-ых как способ моделирования неопределенность естественного языка. (Примечание: Lotfi, не Lofti, является правильным правописанием его имени.)

 

Zadeh says that rather than regarding fuzzy theory as a single theory, we should regard the process of ``fuzzification'' as a methodology to generalize ANY specific theory from a crisp (discrete) to a continuous (fuzzy) form (see "extension principle" in [2]). Thus recently researchers have also introduced "fuzzy calculus", "fuzzy differential equations", and so on (see [7]).

 

Заде говорит, что не надо оценивать нечеткую теорию как одиночную теория. Мы должны расценить процесс "нечеткости" как методологию. Чтобы обобщить ЛЮБУЮ специфическую теорию из четкого(дискретного) к непрерывной (нечеткой) форме (см. " принцип расширения " в [2]). Таким образом недавно исследователи также представили "нечеткое вычисление", "нечеткие дифференциально-разностные уравнения", и так далее (см. [7]).

 

Fuzzy Subsets:

 

Just as there is a strong relationship between Boolean logic and the concept of a subset, there is a similar strong relationship between fuzzy logic and fuzzy subset theory.

 

Нечеткие Подмножества:

 

Точно как имеется сильная связь между Булевой логикой и понятием подмножества, имеется подобная сильная связь между нечеткой логикой и нечеткой теорией подмножеств.

 

In classical set theory, a subset U of a set S can be defined as amapping from the elements of S to the elements of the set {0, 1},

 

В классической теории множеств, подмножество U множества S может быть определено как отображение элементов S в элементы множества {0, 1},

 

U: S --> {0, 1}

 

This mapping may be represented as a set of ordered pairs, with exactly one ordered pair present for each element of S. The first element of the ordered pair is an element of the set S, and the second element is an element of the set {0, 1}. The value zero is used to represent non-membership, and the value one is used to represent membership. The truth or falsity of the statement

 

Это отображение может представляться как множество упорядоченных пар, где каждая упорядоченная пара, представленна для каждого элемента S. Первый элемент упорядоченной пары - элемент множества S, и второй элемент - элемент множества {0, 1}. Нулевое значение используется, чтобы представить не-принадлежность, и значение один используется, чтобы представить принадлежность. Правду или ложность утверждения

 

x is in U

 

is determined by finding the ordered pair whose first element is x. The statement is true if the second element of the ordered pair is 1, and the statement is false if it is 0.

 

определяется, находя упорядоченную пару, чьей первый элемент является x. Утверждение истинно, если второй элемент упорядоченной пары 1, и утверждение ложно, если он 0.

 

Similarly, a fuzzy subset F of a set S can be defined as a set of ordered pairs, each with the first element from S, and the second element from the interval [0,1], with exactly one ordered pair present for each element of S. This defines a mapping between elements of the set S and values in the interval [0,1]. The value zero is used to represent complete non-membership, the value one is used to represent complete membership, and values in between are used to represent intermediate DEGREES OF MEMBERSHIP. The set S is referred to as the UNIVERSE OF DISCOURSE for the fuzzy subset F. Frequently, the mapping is described as a function, the MEMBERSHIP FUNCTION of F. The degree to which the statement

 

Точно так же, нечеткое подмножество F множества S может быть определено как набор упорядоченных пар, с первым элементом из S, и вторым элементом из интервала [0,1], и точно одна упорядоченная пара, представленна для каждого элемента S. Это определяет отображение между элементами множества S и оценивает в интервале [0,1]. Нуль значение используется, чтобы представить полную не-принадлежность, значение один используется, чтобы представить полную принадлежность, и значения между ними используются, чтобы представить промежуточные СТЕПЕНИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ. Множество S упоминается как ОБЛАСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ для нечеткого подмножества F. Часто, отображение описывается как функция, ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ F. Степень, с которой утверждение

 

x is in F

 

is true is determined by finding the ordered pair whose first element is x. The DEGREE OF TRUTH of the statement is the second element of the ordered pair.

 

является истинным, определяется, находя упорядоченную пару, чьим первым элементом является x. СТЕПЕНЬ ПРАВДЫ утверждения - второй элемент упорядоченной пары.

 

In practice, the terms "membership function" and fuzzy subset get used interchangeably.

Практически, термины "функция принадлежности" и нечеткое подмножество становят взаимозаменяемы.

 

That's a lot of mathematical baggage, so here's an example. Let's talk about people and "tallness". In this case the set S (the universe of discourse) is the set of people. Let's define a fuzzy subset TALL, which will answer the question "to what degree is person x tall?" Zadeh describes TALL as a LINGUISTIC VARIABLE, which represents our cognitive category of "tallness". To each person in the universe of discourse, we have to assign a degree of membership in the fuzzy subset TALL. The easiest way to do this is with a membership function based on the person's height.

 

Достаточно математики, рассмотрим пример. Поговорим относительно людей и из "роста". В этом случае множество S (область исследования) - множество людей. Давайте, определим нечеткое подмножество РОСТ (TALL), которое отвечает на вопрос "в какой степени персона x высока?" Заде описывает РОСТ как ЛИНГВИСТИЧЕСКУЮ ПЕРЕМЕННУЮ, которая представляет наш класс распознавания "роста". Каждому человеку в области исследования, мы должны назначить степень принадлежности в нечетком подмножестве РОСТА. Самый простой способ сделать это - функция принадлежности, основанная на росте человека.

 

 

рост(x) = { 0, если высота(x) < 150 см.,

(высота(x)-5ft.)/2ft., если 150 см <= высота (x) <= 210 см,

1, если высота(x) > 210 см. }

 

На диаграмме:

 

1.0 + +-------------------

| /

| /

0.5 + /

| /

| /

0.0 +-------------+-----+-------------------

| |

150 210

 

высота, см. ->

 

Для примера несколько значений:

 

Человек Высота степень роста

--------------------------------------

Billy 95 0.00 [Я думаю]

Yoke 163 0.21

Drew 173 0.38

Erik 175 0.42

Mark 182 0.54

Kareem 215 1.00 [зависит от того кого вы спрашивате]

 

Expressions like "A is X" can be interpreted as degrees of truth, e.g., "Drew is TALL" = 0.38.

 

Выражения подобно "А из X" может интерпретироваться как степень правды, например, "Drew, ВЫСОК" = 0.38.

 

Note: Membership functions used in most applications almost never have as simple a shape as tall(x). At minimum, they tend to be triangles pointing up, and they can be much more complex than that. Also, the discussion characterizes membership functions as if they always are based on a single criterion, but this isn't always the case, although it is quite common. One could, for example, want to have the membership function for TALL depend on both a person's height and their age (he's tall for his age). This is perfectly legitimate, and occasionally used in practice. It's referred to as a two-dimensional membership function, or a "fuzzy relation". It's also possible to have even more criteria, or to have the membership function depend on elements from two completely different universes of discourse.

 

Обратите внимание: функции принадлежности, используемые в большинстве приложений почти никогда не имеют такую простою форму, как рост(x). Минимум, они имеют тенденцию, чтобы быть треугольниками, и они могут быть намного более комплексными, чем в примере ( прим. перев. вообще-то и в примере не все верно, так понятие "высокости" человека зависит от множества факторов и точно не линейно, примером могут служить топ - модели). Также, обсуждение символических функций принадлежности, как будто они всегда основаны на одиночном критерии, но это не всегда имеет место, хотя это совершенно общее. Можно было, например, хотеть иметь функцию принадлежности для РОСТА, в зависимости, и от высоты человека, и от его возраста (он высок для его возраста). Это совершенно законно, и иногда использовано практически. Это упоминается как двумерная функция принадлежности, или "нечеткое соотношение". Также возможно иметь даже большее количество критериев, или иметь функцию принадлежности зависящую от элементов из двух полностью различных областей исследования.

 

Logic Operations:

 

Now that we know what a statement like "X is LOW" means in fuzzy logic, how do we interpret a statement like

 

Логические Операции:

 

Теперь, когда мы знаем то, что утверждение подобно "X - НИЗКИЙ" обозначает в нечеткой логике, как мы интерпретируем утверждение подобно

 

X is LOW and Y is HIGH or (not Z is MEDIUM)

X НИЗКИЙ, и Y ВЫСОКИЙ, или (не Z - СРЕДНИЙ)

 

The standard definitions in fuzzy logic are:

Стандартные определения в нечеткой логике:

 

truth (not x) = 1.0 - truth (x)

truth (x and y) = minimum (truth(x), truth(y))

truth (x or y) = maximum (truth(x), truth(y))

 

правда (не x) = 1.0 - правда(x)

правда (x и y) = minimum (правда(x), правда(y))

правда (x или y) = maximum (правда(x), правда(y))

 

Some researchers in fuzzy logic have explored the use of other interpretations of the AND and OR operations, but the definition for the NOT operation seems to be safe.

 

Некоторые исследователи по нечеткой логике ииследовали использование других интерпретаций операций AND и OR, но определение для операции NOT, кажется, безопасное.

 

Note that if you plug just the values zero and one into these definitions, you get the same truth tables as you would expect from conventional Boolean logic. This is known as the EXTENSION PRINCIPLE, which states that the classical results of Boolean logic are recovered from fuzzy logic operations when all fuzzy membership grades are restricted to the traditional set {0, 1}. This effectively establishes fuzzy subsets and logic as a true generalization of classical set theory and logic. In fact, by this reasoning all crisp (traditional) subsets ARE fuzzy subsets of this very special type; and there is no conflict between fuzzy and crisp methods.

 

Обратите внимание, что, если Вы используете только значения нуля и единицы в этих определениях, Вы получаете те же самые таблицы истинности, какие Вы ожидали бы от стандартной Булевой логики. Это известно как ПРИНЦИП РАСШИРЕНИЯ, который заявляет, что классические результаты Булевой логики повторяют нечеткие логические операции, когда все нечеткие степени принадлежности ограничены традиционным множеством {0, 1}. Это действительно устанавливает нечеткие подмножества и логику как истинное обобщение классической теории множеств и логики. Фактически, с этим рассуждением все четкие (традиционные) подмножества это нечеткие подмножества, но очень специального типа; и не имеется никакого конфликта между нечеткими и четкими методами.

 

Some examples -- assume the same definition of TALL as above, and in addition, assume that we have a fuzzy subset OLD defined by the membership function:

 

В некоторых примерах имеется то же самое определение РОСТА как выше, и кроме того, принимается, что имеется нечеткое подмножество СТАРОСТЬ определенное функцией принадлежности:

 

old (x) = { 0, if age(x) < 18 yr.

(age(x)-18 yr.)/42 yr., if 18 yr. <= age(x) <= 60 yr.

1, if age(x) > 60 yr. }

 

старость(x)={ 0, если возраст(x) < 18 лет

возраст(x)-18лет)/42 , если 18 <= возраст(x) <= 60

1, если возраст(x) > 60 }

 

And for compactness, let

И для компактности

 

a = X is TALL and X is OLD

b = X is TALL or X is OLD

c = not (X is TALL)

 

a = X - ВЫСОКИЙ и X - СТАРЫЙ

b = X - ВЫСОКИЙ или X - СТАРЫЙ

c = не (X - ВЫСОКИЙ)

 

Then we can compute the following values.

Затем мы можем вычислять следующие значения.

 

рост возраст X - ВЫСОКИЙ X - СТАРЫЙ a b c

------------------------------------------------------------------------

95 65 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00

163 30 0.21 0.29 0.21 0.29 0.79

173 27 0.38 0.21 0.21 0.38 0.62

175 32 0.42 0.33 0.33 0.42 0.58

182 31 0.54 0.31 0.31 0.54 0.46

215 45 1.00 0.64 0.64 1.00 0.00

100 4 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00

 

 

An excellent introductory article is:

Превосходная вводная статья:

 

Bezdek, James C, "Fuzzy Models --- What Are They, and Why?", IEEE

Transactions on Fuzzy Systems, 1:1, pp. 1-6, 1993.

 

For more information on fuzzy logic operators, see:

Для подробной информации относительно нечетких логических операторов, см.:

 

Bandler, W., and Kohout, L.J., "Fuzzy Power Sets and Fuzzy Implication

Operators", Fuzzy Sets and Systems 4:13-30, 1980.

 

Dubois, Didier, and Prade, H., "A Class of Fuzzy Measures Based on

Triangle Inequalities", Int. J. Gen. Sys. 8.

 

The original papers on fuzzy logic include:

Первоначальные статьи по нечеткой логике:

 

Zadeh, Lotfi, "Fuzzy Sets," Information and Control 8:338-353, 1965.

 

Zadeh, Lotfi, "Outline of a New Approach to the Analysis of Complex

Systems", IEEE Trans. on Sys., Man and Cyb. 3, 1973.

 

Zadeh, Lotfi, "The Calculus of Fuzzy Restrictions", in Fuzzy Sets and

Applications to Cognitive and Decision Making Processes, edited

by L. A. Zadeh et. al., Academic Press, New York, 1975, pages 1-39.

 

[4] What is a fuzzy expert system?

Что такое нечеткая экспертная система?

 

Date: 21-APR-93

 

A fuzzy expert system is an expert system that uses a collection of

fuzzy membership functions and rules, instead of Boolean logic, to

reason about data. The rules in a fuzzy expert system are usually of a

form similar to the following:

 

Нечеткая экспертная система - экспертная система, которая использует нечеткие функции принадлежности и правила, вместо Булевой логики, для рассуждения относительно данных. Правила в нечеткой экспертной системе имеют обычно форму, подобную следующему:

 

if x is low and y is high then z = medium

если x - низко и y - высоко тогда z = среднее

 

where x and y are input variables (names for know data values), z is an

output variable (a name for a data value to be computed), low is a

membership function (fuzzy subset) defined on x, high is a membership

function defined on y, and medium is a membership function defined on z.

The antecedent (the rule's premise) describes to what degree the rule

applies, while the conclusion (the rule's consequent) assigns a

membership function to each of one or more output variables. Most tools

for working with fuzzy expert systems allow more than one conclusion per

rule. The set of rules in a fuzzy expert system is known as the rulebase

or knowledge base.

 

Где x и y - входные переменные (имена для известных значений данных), z - переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено), низко - функция принадлежности (нечеткое подмножество) определенная на x, высоко - функция принадлежности, определенная на y, и среднее - функция принадлежности, определенная на z. Априорно (предпосылка правил) описывается, что степень правила применяется, в то время как заключение (следствие правила) назначает функцию принадлежности для каждой из переменных вывода. Большинство инструментальных средств для работы с нечеткими экспертными системами позволяет больше чем одно заключение на правило. Набор правил в нечеткой экспертной системе известен как база правил или база знаний.

 

The general inference process proceeds in three (or four) steps.

Общий логический вывод происходит в три (или четыре) шага.

 

1. Under FUZZIFICATION, the membership functions defined on the

input variables are applied to their actual values, to determine the

degree of truth for each rule premise.

 

1. НЕЧЕТКОСТЬ. Функции принадлежности, определенные на входных переменных применяются к их фактическим значениям, для определения степени правды для каждой предпосылки правила.

 

2. Under INFERENCE, the truth value for the premise of each rule is

computed, and applied to the conclusion part of each rule. This results

in one fuzzy subset to be assigned to each output variable for each

rule. Usually only MIN or PRODUCT are used as inference rules. In MIN

inferencing, the output membership function is clipped off at a height

corresponding to the rule premise's computed degree of truth (fuzzy

logic AND). In PRODUCT inferencing, the output membership function is

scaled by the rule premise's computed degree of truth.

 

2. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД. Значение истинности для предпосылки каждого правила вычислено, и применяется к части заключения каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено к каждой переменной вывода для каждого правила. Обычно только МИНИМУМ или УМНОЖЕНИЕ используется как правила логического вывода. В логическом выводе МИНИМУМА, функция принадлежности вывода отсекается по высоте, соответствующей предпосылки правила вычисленной степень правды (нечеткая логика И). В логическом выводе УМНОЖЕНИЕ, функция принадлежности вывода масштабируется при помощи предпосылки правила вычисленной степень правды.

 

3. Under COMPOSITION, all of the fuzzy subsets assigned to each output

variable are combined together to form a single fuzzy subset

for each output variable. Again, usually MAX or SUM are used. In MAX

composition, the combined output fuzzy subset is constructed by taking

the pointwise maximum over all of the fuzzy subsets assigned tovariable

by the inference rule (fuzzy logic OR). In SUM composition, the

combined output fuzzy subset is constructed by taking the pointwise sum

over all of the fuzzy subsets assigned to the output variable by the

inference rule.

 

3. КОМПОЗИЦИЯ. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода(во всех правилах), объединены вместе, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. Снова, обычно МАКСИМУМ или СУММА используются. При композиции МАКСИМУМ, комбинированый вывод нечеткого подмножества конструируется, принимая поточечный максимум по всеми нечеткими подмножествами, назначая переменной правила заключения (нечеткая логика ИЛИ). При композиции СУММЫ, комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется, принимая поточечно сумму по всеми нечеткими подмножествами, назначенными к переменной вывода правилом логического вывода.

 

4. Finally is the (optional) DEFUZZIFICATION, which is used when it is

useful to convert the fuzzy output set to a crisp number. There are

more defuzzification methods than you can shake a stick at (at least

30). Two of the more common techniques are the CENTROID and MAXIMUM

methods. In the CENTROID method, the crisp value of the output variable

is computed by finding the variable value of the center of gravity of

the membership function for the fuzzy value. In the MAXIMUM method, one

of the variable values at which the fuzzy subset has its maximum truth

value is chosen as the crisp value for the output variable.

 

4. В заключение - (дополнительно) ПРИВЕДЕНИЕ К ЧЕТКОСТИ, которое используется, когда полезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число. Имеется большее количество методы приведения к четкости (по крайней мере 30). Два наболее общих метода - ЦЕНТРАЛЬНЫЙ и МАКСИМАЛЬНЫЙ методы. В ЦЕНТРАЛЬНОМ методе, четкое значение переменной вывода вычисляется, нахождением значения переменной центра тяжести для функции принадлежности нечеткого значения. В МАКСИМАЛЬНОМ методе, одно из значений переменной, при которой нечеткое подмножество имеет максимальное значение истинности, выбрано как четкое значение для переменной вывода.

 

Extended Example:

Расширенный пример:

 

Assume that the variables x, y, and z all take on values in the interval

[0,10], and that the following membership functions and rules are defined:

 

Примем, что переменные x, y, и z, имеют значения в интервале [0,10], и что следующая функция принадлежности и правила определены:

 

низко(t) = 1 - ( t / 10 )

высоко(t) = t / 10

 

правило 1: если x - низко и y - низко тогда z = высоко

правило 2: если x - низко и y - высоко тогда z = низко

правило 3: если x - высоко и y - низко тогда z = низко

правило 4: если x - высоко и y - высоко тогда z = высоко

 

Notice that instead of assigning a single value to the output variable z, each

rule assigns an entire fuzzy subset (low or high).

 

Обратите внимание, что вместо того, чтобы назначать одно значение переменной вывода z, каждое правило назначает все нечеткое подмножество (низко или высоко).

 

Notes:

Примечание:

 

1. In this example, low(t)+high(t)=1.0 for all t. This is not required, but

it is fairly common.

 

1. В этом примере, низко(t) + высоко(t) = 1.0 для всех t. Это не требуется, но это довольно общее.

 

2. The value of t at which low(t) is maximum is the same as the value of t at

which high(t) is minimum, and vice-versa. This is also not required, but

fairly common.

 

2. Значение t, при котором низко(t) является максимальным - тоже значение t, при котором высоко(t) является минимальным, и напротив. Это также не требуется, но довольно общее.

 

3. The same membership functions are used for all variables. This isn't

required, and is also *not* common.

 

3. Те же самые функции принадлежности используются для всех переменных. Это не требуется, и также *не* общее.

 

 

In the fuzzification subprocess, the membership functions defined on the

input variables are applied to their actual values, to determine the

degree of truth for each rule premise. The degree of truth for a rule's

premise is sometimes referred to as its ALPHA. If a rule's premise has a

nonzero degree of truth (if the rule applies at all...) then the rule is

said to FIRE. For example,

 

В подпроцессе нечеткости, функции принадлежности, определенные на входных переменных применяются к их фактическим значениям, определяя степень правды для каждой предпосылки правила. Степень правды для предпосылки правила иногда упоминается как АЛЬФА. Если предпосылка правила имеет степень отличную от нуля правды (если правило применяется во всем ...) тогда правило говорят в ОГОНЕ(или ГОРИТ). Например,

 

x y low(x) high(x) low(y) high(y) alpha1 alpha2 alpha3 alpha4

------------------------------------------------------------------------------

0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0

0.0 3.2 1.0 0.0 0.68 0.32 0.68 0.32 0.0 0.0

0.0 6.1 1.0 0.0 0.39 0.61 0.39 0.61 0.0 0.0

0.0 10.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0

3.2 0.0 0.68 0.32 1.0 0.0 0.68 0.0 0.32 0.0

6.1 0.0 0.39 0.61 1.0 0.0 0.39 0.0 0.61 0.0

10.0 0.0 0.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0

3.2 3.1 0.68 0.32 0.69 0.31 0.68 0.31 0.32 0.31

3.2 3.3 0.68 0.32 0.67 0.33 0.67 0.33 0.32 0.32

10.0 10.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 1.0

 

 

In the inference subprocess, the truth value for the premise of each rule is

computed, and applied to the conclusion part of each rule. This results in

one fuzzy subset to be assigned to each output variable for each rule.

 

В подпроцессе логического вывода, значение истинности для предпосылки каждого правила вычислено, и применяется к части заключения каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено к каждой переменной вывода для каждого правила.

 

MIN and PRODUCT are two INFERENCE METHODS or INFERENCE RULES. In MIN

inferencing, the output membership function is clipped off at a height

corresponding to the rule premise's computed degree of truth. This

corresponds to the traditional interpretation of the fuzzy logic AND

operation. In PRODUCT inferencing, the output membership function is

scaled by the rule premise's computed degree of truth.

 

МИНИМУМ и УМНОЖЕНИЕ - два МЕТОДА ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА или ПРАВИЛ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА. В логическом выводе МИНИМУМА, функция принадлежности вывода отсекается по высоте, соответствующей предпосылке правила вычисленной степени правды. Это соответствует к традиционной интерпретации нечеткой логической операции AND. В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ, функция принадлежности вывода масштабируется предпосылкой правила вычисленной степень правды.

 

For example, let's look at rule 1 for x = 0.0 and y = 3.2. As shown in the

table above, the premise degree of truth works out to 0.68. For this rule,

MIN inferencing will assign z the fuzzy subset defined by the membership

function:

 

Например, давайте рассматривать правило 1 для x = 0.0 и y = 3.2. Как показано в таблице выше, степень предпосылки правды равна 0.68. Для этого правила, логический вывод МИНИМУМА назначит z нечеткое подмножество, определенное функцией принадлежности:

 

rule1(z) = { z / 10, if z <= 6.8

0.68, if z >= 6.8 }

правило 1(z) = { z / 10, если z <= 6.8

0.68, если z >= 6.8 }

 

фактически, получаем новую функцию принадлежности для определения степени низко от z. В обычной экспертной системе получили бы z низко со степенью 0.68. И судя по всему здесь ошибка. Так как эта функция получается low(x) AND low(y) вырезается часть под графиком 1-(t/10) все значения степени больше 0.68 отбрасываются.

 

правило 1(z) = { 0.68, если z <= 6.8

1-(z / 10), если z >= 6.8 }

 

For the same conditions, PRODUCT inferencing will assign z the fuzzy subset

defined by the membership function:

 

Для тех же самых условий, логический вывод УМНОЖЕНИЯ назначит z нечеткое подмножество, определенное функцией принадлежности:

 

rule1(z) = 0.68 * high(z)

= 0.068 * z

 

Note: The terminology used here is slightly nonstandard. In most texts,

the term "inference method" is used to mean the combination of the things

referred to separately here as "inference" and "composition." Thus

you'll see such terms as "MAX-MIN inference" and "SUM-PRODUCT inference"

in the literature. They are the combination of MAX composition and MIN

inference, or SUM composition and PRODUCT inference, respectively.

You'll also see the reverse terms "MIN-MAX" and "PRODUCT-SUM" -- these

mean the same things as the reverse order. It seems clearer to describe

the two processes separately.

 

Отметим: терминология, используемая здесь немного нестандартна. В большинстве текстов, термин "метод заключения" используется, чтобы обозначить комбинацию вещей, упоминаемых отдельно здесь как "заключение" и "композиция". Таким образом вы будете видеть такие термины как "заключение с максимумом-минимумом" и "заключение суммы-произведения" в литературе. Они - комбинация композиции МАКСИМУМА и заключения МИНИМУМА, или композиции СУММЫ и заключение ПРОИЗВЕДЕНИЯ, соответственно. Вы будете также видеть обратные условия "МИНИМУМ-МАКСИМУМ", и "произведения- сумма" - они означают те же самые вещи как обратный порядок. Кажется более ясно описывать два процесса отдельно.

 

In the composition subprocess, all of the fuzzy subsets assigned to each

output variable are combined together to form a single fuzzy subset for each

output variable.

 

В подпроцессе композии, все нечеткие подмножества назначеные каждой переменной вывода, объединяются вместе, чтобы формировать единственное нечеткое подмножество для каждой переменной вывода.

 

MAX composition and SUM composition are two COMPOSITION RULES. In MAX

composition, the combined output fuzzy subset is constructed by taking

the pointwise maximum over all of the fuzzy subsets assigned to the

output variable by the inference rule. In SUM composition, the combined

output fuzzy subset is constructed by taking the pointwise sum over all

of the fuzzy subsets assigned to the output variable by the inference

rule. Note that this can result in truth values greater than one! For

this reason, SUM composition is only used when it will be followed by a

defuzzification method, such as the CENTROID method, that doesn't have a

problem with this odd case. Otherwise SUM composition can be combined

with normalization and is therefore a general purpose method again.

 

Композиция МАКСИМУМА и композиция СУММЫ - два КОМПОЗИЦИОННЫХ ПРАВИЛА. В композиции МАКСИМУМА, комбинированый вывод нечеткое подмножество создано, принимая поточечно максимум по всем нечетким подмножествами, назначая переменной вывода правила заключения. В композиции СУММЫ, комбинированный вывод нечеткое подмножество создано, принимая поточечную сумму над всеми нечеткими подмножествами, назначая переменной вывода правила заключения. Заметьте, что это может приводить к значениям истинности большее, чем один! По этой причине, композиция СУММЫ только используется, когда это будет сопровождаться привидением к четкости, типа ЦЕНТРАЛЬНОГО метода, который не имеет проблем с этим нечетным случаем. Иначе композиция СУММЫ может быть комбинирована с нормализацией и - следовательно универсальный метод снова.

 

For example, assume x = 0.0 and y = 3.2. MIN inferencing would assign the

following four fuzzy subsets to z:

 

Например, примем x = 0.0 и y = 3.2. Логический вывод МИНИМУМА назначил бы следовательно четыре нечетких подмножества z:

 

rule1(z) = { z / 10, if z <= 6.8

0.68, if z >= 6.8 }

 

rule2(z) = { 0.32, if z <= 6.8

1 - z / 10, if z >= 6.8 }

 

rule3(z) = 0.0

 

rule4(z) = 0.0

 

MAX composition would result in the fuzzy subset:

Композиция МАКСИМУМА привела бы к нечеткому подмножеству:

 

fuzzy(z) = { 0.32, if z <= 3.2

z / 10, if 3.2 <= z <= 6.8

0.68, if z >= 6.8 }

 

 

PRODUCT inferencing would assign the following four fuzzy subsets to z:

Логический вывод ПРОИЗВЕДЕНИЯ назначил бы следовательно четыре нечетких подмножества z:

 

rule1(z) = 0.068 * z

rule2(z) = 0.32 - 0.032 * z

rule3(z) = 0.0

rule4(z) = 0.0

 

SUM composition would result in the fuzzy subset:

Композиция СУММЫ привела бы к нечеткому подмножеству:

 

fuzzy(z) = 0.32 + 0.036 * z

 

 

Sometimes it is useful to just examine the fuzzy subsets that are the

result of the composition process, but more often, this FUZZY VALUE needs

to be converted to a single number -- a CRISP VALUE. This is what the

defuzzification subprocess does.

 

Иногда полезно только исследовать нечеткие подмножества, которые являются результатом процесса композиции, но более часто, это НЕЧЕТКОЕ ЗНАЧЕНИЕ должно быть преобразовано к единственному числу - ЧЕТКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Это - то, что подпроцесс приведения к четкости делает.

 

There are more defuzzification methods than you can shake a stick at. A

couple of years ago, Mizumoto did a short paper that compared about ten

defuzzification methods. Two of the more common techniques are the

CENTROID and MAXIMUM methods. In the CENTROID method, the crisp value of

the output variable is computed by finding the variable value of the

center of gravity of the membership function for the fuzzy value. In the

MAXIMUM method, one of the variable values at which the fuzzy subset has

its maximum truth value is chosen as the crisp value for the output

variable. There are several variations of the MAXIMUM method that differ

only in what they do when there is more than one variable value at which

this maximum truth value occurs. One of these, the AVERAGE-OF-MAXIMA

method, returns the average of the variable values at which the maximum

truth value occurs.

 

Имеется большее количество методы приведения к четкости. Пару лет назад, Mizumoto сделала короткую статью, по сравнению десяти методов. Два наиболее общих метода - ЦЕНТРАЛЬНЫЙ и МАКСИМАЛЬНЫЙ методы. В ЦЕНТРАЛЬНОМ методе, четкое значение переменной вывода вычислено, находя значение переменной центра тяжести функции принадлежности для нечеткого значения. В МАКСИМАЛЬНОМ методе, одно из значений переменной, в которых нечеткое подмножество имеет максимальное значение истинности, выбрано как четкое значение для переменной вывода. Имеются отдельные разновидности МАКСИМАЛЬНОГО метода, которые отличаются только по тому, что они делают, когда имеются больше чем одно значение переменной, в которой это максимальное значение истинности имеет место. Один из них, метод СРЕДНЕЕ-ОТ-МАКСИМУМА, возвращает среднее число значений переменной, в которых максимальное значение истинности происходит.

 

For example, go back to our previous examples. Using MAX-MIN inferencing

and AVERAGE-OF-MAXIMA defuzzification results in a crisp value of 8.4 for

z. Using PRODUCT-SUM inferencing and CENTROID defuzzification results in

a crisp value of 5.6 for z, as follows.

 

Например, возвращаясь к нашим предыдущим примерам. Использование логического вывода с методами МАКСИМУМОМ-МИНИМУМОМ и СРЕДНЕЕ-ОТ-МАКСИМУМА приведения к четности приводит к четкому значению 8.4 для z. Использование логического вывода произведения-сумма и ЦЕНТРАЛЬНЫЙ метод приведения приводит к четкому значению 5.6 для z, следующим образом.

 

Earlier on in the FAQ, we state that all variables (including z) take on

values in the range [0, 10]. To compute the centroid of the function f(x),

you divide the moment of the function by the area of the function. To compute

the moment of f(x), you compute the integral of x*f(x) dx, and to compute the

area of f(x), you compute the integral of f(x) dx. In this case, we would

compute the area as integral from 0 to 10 of (0.32+0.036*z) dz, which is

 

Раньше в FAQ, мы формулируем, что все переменные (включая z) берут значения в диапазоне [0, 10]. Чтобы вычислять центр функции f(x), Вы делите момент функции на область функции. Чтобы вычислять момент f(x), Вы вычисляете интеграл x*f(x)dx, и вычисляете область f(x), Вы вычисляете интеграл f(x) dx. В этом случае, мы вычислили бы область как интеграл от 0 до 10 для (0.32 + 0.036*z)dz, который

 

 

(0.32 * 10 + 0.018*100) =

(3.2 + 1.8) =

5.0

 

and the moment as the integral from 0 to 10 of (0.32*z+0.036*z*z) dz, which is

 

И момент как интеграл от 0 до 10 для (0. 32*z + 0.036*z*z)dz, который

 

(0.16 * 10 * 10 + 0.012 * 10 * 10 * 10) =

(16 + 12) =

 

Finally, the centroid is 28/5 or 5.6.

 

В заключение, центр - 28/5 или 5.6.

 

Note: Sometimes the composition and defuzzification processes are

combined, taking advantage of mathematical relationships that simplify

the process of computing the final output variable values.

 

Отметим: Иногда композиция и процессы приведения объединены, пользуясь преимуществом математических связей, которые упрощают процесс вычисления значений переменной окончательного результата.

 

The Mizumoto reference is probably "Improvement Methods of Fuzzy

Controls", in Proceedings of the 3rd IFSA Congress, pages 60-62, 1989.

 

6] What is fuzzy control?

Что такое нечеткое управление ?

 

Date: 17-MAR-95

 

The purpose of control is to influence the behavior of a system by

changing an input or inputs to that system according to a rule or

set of rules that model how the system operates. The system being

controlled may be mechanical, electrical, chemical or any combination

of these.

 

Целью управления является влияние на поведение системы, изменяя вход или входы системы согласно правилу или множеству правил, согласно модели, по которой система функционирует. Управляемая система может быть механическая, электрическая, химическая или любая комбинация их.

 

Classic control theory uses a mathematical model to define a relationship

that transforms the desired state (requested) and observed state (measured)

of the system into an input or inputs that will alter the future state of

that system.

 

Классическая теория управления использует математическую модель, чтобы определить связь, которая преобразовывает желательное состояние (запрошенное) и наблюдаемое состояние (измеряемое) системы во вход или входы, которые изменят будущее состояние той системы.

 

reference----->0------->( SYSTEM ) -------+----------> output

^ |

| |

+--------( MODEL )<--------+feedback

 

ссылка ----->0------->( СИСТЕМА )-------+----------> выход

^ |

| |

+--------( МОДЕЛЬ)<--------+обратная связь

 

The most common example of a control model is the PID (proportional-integral-

derivative) controller. This takes the output of the system and compares

it with the desired state of the system. It adjusts the input value based

on the difference between the two values according to the following

equation.

 

Наиболее общий пример модели управления - PID контроллер. Он берет вывод системы и сравнивает его с желательным состоянием системы. ОН корректирует значение входа, основанное на разности между двумя значениями согласно следующему уравнению.

 

output = A.e + B.INT(e)dt + C.de/dt

 

Where, A, B and C are constants, e is the error term, INT(e)dt is the

integral of the error over time and de/dt is the change in the error term.

 

Где, A, B и C - константы, e - погрешность, INT(e)dt - интеграл погрешности за какое-то время и de/dt - изменение в погрешности.

 

The major drawback of this system is that it usually assumes that the system

being modelled in linear or at least behaves in some fashion that is a

monotonic function. As the complexity of the system increases it becomes

more difficult to formulate that mathematical model.

 

Большой недостаток этой системы состоит в том, что она обычно принимает, что система, моделируется как линейная или по крайней мере ведет себя в некотором режиме, который является монотонной функцией. При увеличений сложности системы становится более трудным сформулировать эту математическую модель.

 

Fuzzy control replaces, in the picture above, the role of the mathematical

model and replaces it with another that is build from a number of smaller

rules that in general only describe a small section of the whole system. The

process of inference binding them together to produce the desired outputs.

 

Нечеткое управление заменяет, в диаграмме выше, роль математической модели и замяет это на другую, которая строиться на ряде меленьких правил, которые вообще только описывают малый раздел всей системы. Процесс заключения, связывает их вместе, чтобы произвести желательные выводы.

 

That is, a fuzzy model has replaced the mathematical one. The inputs and

outputs of the system have remained unchanged.

 

То есть нечеткая модель заменила математическую. Входы и выводы системы остались неизменяемыми.

 

The Sendai subway is the prototypical example application of fuzzy control.

 

Sendai подземка - примера нечткого управления.

 

References:

 

Yager, R.R., and Zadeh, L. A., "An Introduction to Fuzzy Logic

Applications in Intelligent Systems", Kluwer Academic Publishers, 1991.

 

Dimiter Driankov, Hans Hellendoorn, and Michael Reinfrank,

"An Introduction to Fuzzy Control", Springer-Verlag, New York, 1993.

316 pages, ISBN 0-387-56362-8. [Discusses fuzzy control from a

theoretical point of view as a form of nonlinear control.]

 

C.J. Harris, C.G. Moore, M. Brown, "Intelligent Control, Aspects of

Fuzzy Logic and Neural Nets", World Scientific. ISBN 981-02-1042-6.

 

T. Terano, K. Asai, M. Sugeno, editors, "Applied Fuzzy Systems",

translated by C. Ascchmann, AP Professional. ISBN 0-12-685242-1.

 

[7] What are fuzzy numbers and fuzzy arithmetic?

Что такое нечеткие числа и нечеткая арифметика ?

 

Date: 15-APR-93

 

Fuzzy numbers are fuzzy subsets of the real line. They have a peak or

plateau with membership grade 1, over which the members of the

universe are completely in the set. The membership function is

increasing towards the peak and decreasing away from it.

 

Нечеткие числа - нечеткие подмножества реальной линии. Они имеют пик, или плато со степенью 1, под которым элементы всей совокупности являются полностью в множестве. Функция принадлежности увеличивается до пику и уменьшается далее.

 

Fuzzy numbers are used very widely in fuzzy control applications. A typical

case is the triangular fuzzy number

 

Нечеткие числа используются очень широко в приложениях нечеткого управления. Типичный случай - треугольное нечеткое число

 

1.0 + +

| /

| /

0.5 + /

| /

| /

0.0 +-------------+-----+-----+--------------

| | |

5.0 7.0 9.0

 

which is one form of the fuzzy number 7. Slope and trapezoidal functions

are also used, as are exponential curves similar to Gaussian probability

densities.

 

которое является одной формой нечеткого числа 7. Наклонные и трапецоидальные функции также используются, как - экспоненты, подобные Гауссовым плотностям вероятности.

 

For more information, see:

 

Dubois, Didier, and Prade, Henri, "Fuzzy Numbers: An Overview", in

Analysis of Fuzzy Information 1:3-39, CRC Press, Boca Raton, 1987.

 

Dubois, Didier, and Prade, Henri, "Mean Value of a Fuzzy Number",

Fuzzy Sets and Systems 24(3):279-300, 1987.

 

Kaufmann, A., and Gupta, M.M., "Introduction to Fuzzy Arithmetic",

Reinhold, New York, 1985.

 

[9] How are membership values determined?

Как определить значения принадлежность?

 

Date: 15-APR-93

 

Determination methods break down broadly into the following categories:

 

1. Subjective evaluation and elicitation

 

As fuzzy sets are usually intended to model people's cognitive states,

they can be determined from either simple or sophisticated elicitation

procedures. At they very least, subjects simply draw or otherwise specify

different membership curves appropriate to a given problem. These

subjects are typcially experts in the problem area. Or they are given a

more constrained set of possible curves from which they choose. Under

more complex methods, users can be tested using psychological methods.

 

Множество методов определения разбиваются на следующие категории:

 

1. Субъективная оценка и извлечение

 

Поскольку нечеткие множества обычно имеются в виду, чтобы моделировать распознование человека, они могут быть определены или простой или сложной процедурой извлечения. Условия просто рисуются или иначе точно определяют различные кривые принадлежности, соответствующие данной задаче. Эти условия задаются экспертами в прикладной области. Или они дают более вынужденное множество возможных кривых из которых они выбирают. Ниже более комплексные методы, пользователи могут проверить, используя психологические методы

 

2. Ad-hoc forms

 

While there is a vast (hugely infinite) array of possible membership

function forms, most actual fuzzy control operations draw from a very

small set of different curves, for example simple forms of fuzzy numbers

(see [7]). This simplifies the problem, for example to choosing just the

central value and the slope on either side.

 

2. Формы для данного случая

 

В то время как имеется крупная (чрезвычайно бесконечная) таблица возможных форм функции принадлежности, наиболее актуальные операции нечеткого управления рисуются из очень малого множества различных кривых, например простые формы нечетких чисел (см. [7]). Это упрощает задачу, например по выбору только центрального значения и наклона с обеих сторон.

 

3. Converted frequencies or probabilities

 

Sometimes information taken in the form of frequency histograms or other

probability curves are used as the basis to construct a membership

function. There are a variety of possible conversion methods, each with

its own mathematical and methodological strengths and weaknesses.

However, it should always be remembered that membership functions are NOT

(necessarily) probabilities. See [10] for more information.

 

3. Преобразованные частоты или вероятности

 

Иногда информация, берется в форме гистограмм частоты или других кривых вероятности используется как базис, чтобы создать функцию принадлежности. Имеется ряд возможных методов конверсии, каждый с собственными математическими и методологическими силами и слабостями. Однако, это нужно всегда помнить, что функции принадлежности - НЕ (обязательно) вероятности. См. [10] для подробной информации.

 

4. Physical measurement

 

Many applications of fuzzy logic use physical measurement, but almost

none measure the membership grade directly. Instead, a membership

function is provided by another method, and then the individual

membership grades of data are calculated from it (see FUZZIFICATION in [4]).

 

5. Learning and adaptation

 

 

For more information, see:

 

4. Физическое измерение

 

Много приложений нечеткой логики используют физическое измерение, но почти ни одно не измеряют степень принадлежности непосредственно. Вместо этого, функция принадлежности обеспечивается другим методом, и затем индивидуальные степени принадлежности данных вычислены из этого (см. НЕЧЕТКОСТЬ в [4]).

 

5. Изучение и адаптация

 

 

Для подробной информации, см.:

 

 

Roberts, D.W., "Analysis of Forest Succession with Fuzzy Graph Theory",

Ecological Modeling, 45:261-274, 1989.

 

Turksen, I.B., "Measurement of Fuzziness: Interpretiation of the Axioms

of Measure", in Proceeding of the Conference on Fuzzy Information and

Knowledge Representation for Decision Analysis, pages 97-102, IFAC,

Oxford, 1984.

 

What is the relationship between fuzzy truth values and probabilities?

Каково соотношение между нечеткими значениями истинности и вероятностью ?

Date: 21-NOV-94   This question has to be answered in two ways: first, how does fuzzy

Are there fuzzy state machines?

Существуют ли нечеткие автоматы ?

Date: 15-APR-93   Yes. FSMs are obtained by assigning membership grades as weights to the