Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

ХАКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Н.Ф. КАТАНОВА ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И МАТЕМАТИКИ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МПМ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010100 - МАТЕМАТИКА Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике Дипломная работа Студент-дипломник Научный руководитель Рецензент Допустить к защите Зав. кафедрой 2000 г. Абакан, 2000 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 04 Глава 1. Подгруппы симметрических групп 1. Основные понятия и определения 2. Теоремы о подгруппах 3. Знакопеременная группа 4. Теорема Лагранжа 5. Следствия из теоремы Лагранжа 6. Задачи 19 Глава 2. Использование элементов современной алгебры на факультативных занятиях 1. Элементы современной алгебры, как средство раз- вития абстрактного мышления учащихся старших классов 1. Мышление и его развитие 2. Особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте 3. Необходимость развития мышления старшеклас- сников в процессе обучения 4. Развитие абстрактного мышления учащихся старших классов средствами современной алгебры 34 2.2. Изучение элементов теории групп на факультатив- ных занятиях по математике 1. Роль факультативов в процессе обучения ма- тематике 2. Характерные особенности факультативных за- нятий по математике 3. Элементы теории групп на факультативных занятиях 1. Целесообразность введения элементов теории групп в программу факультативных курсов 42 2.2.3.2. Программа и содержание занятий факуль- тативного курса Элементы современной ал- гебры 3. Организация и результаты экспериментальной ра- боты по внедрению в школьное обучение факульта- тивного курса Элементы современной алгебры 53 Заключение 59 Литература 60 Приложения 63 ВВЕДЕНИЕ Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования.

Объясняется это уникальностью роли учебного предмета Математика в формировании личности.

Образовательный и развивающий потенциал математики огромен.

В современном обучении математика занимает весьма значительное место. Изучение основ математики в современных условиях становится все более существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого поколения.

В настоящее время внимание к школьному математическому образованию усиливается 9 , 14 . Содержание школьного курса математики и методика его преподавания - извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, поскольку непрерывно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас явлений.

Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с процессом науки, несколько отставая от него и давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы.

Периодическое обновление содержания школьного курса математики - необходимый элемент развития общего образования 1 , 4 , 19 , 20 . Совершенно ясно, что начальное и среднее математическое образование со своими неизменными программами и методами полностью оторвано от современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей, от ее приложений. Современная школьная программа по математики сложилась в прошлом веке. Она катастрофическим образом отстает от требований современной жизни.

Бурное развитие всех отраслей техники и связанный с этим новый этап в развитии математики как науки начинает настоятельно влиять на школу. Наступило время серьезного пересмотра содержания школьного обучения, причем начать следует с критического анализа материала программы сложившегося в настоящее время школьного курса математики. Нужно отметить, что с точки зрения новых требований в школе наша действующая программа по математике содержит много такого, что не имеет серьезного теоретического и практического значения.

В школе уделяется слишком много внимания факторам и методам, не имеющим значения для практической деятельности в любой области 20 . Математика, действительно полезная в настоящее время это современная математика. Она имеет наибольший шанс быть созвучной умственным запросам современных детей. Поэтому, особенно назрела необходимость внедрения в школьное обучение элементов современной математики. На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в нашем веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий. Естественно, что здесь на первый план выдвигается теория групп, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую группы играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения теории групп сочетаются с простотой ее основных положений - понятий группы, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств.

Поэтому теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики 3 , 7 . Кроме того, изучение элементов теории групп полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке. В связи с этим проблема нашего исследования заключается в разработке и апробации факультативного курса элементы современной алгебры для учащихся старших классов, обоснование возможности и целесообразности внедрения элементов современной алгебры в школьное математическое образование.

Цель исследования - выявление возможностей введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов для учащихся 9-10-х классов, обоснование целесообразности и доступности данного учебного материала и влияние его на развитие абстрактного мышления школьников.

Объект исследования - элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике. Предмет исследования - теория групп на факультативных занятиях и влияние этой теории на развитие абстрактного мышления школьников. Гипотеза исследования - введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.

В соответствии с целью и гипотезой в ходе исследования решались следующие задачи 1 на основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность использования элементов современной алгебры на факультативных занятиях 2 провести психолого-педагогический анализ развития абстрактного мышления учащихся старших классов 3 разработать в рамках факультативного курса Элементы современной алгебры занятия по теме Понятие подгруппы.

Подгруппы симметрических групп, а также разработать программу небольшого факультативного курса Элементы теории групп. Симметрические группы 4 экспериментально проверить эффективность внедрения в программу факультативных курсов по математике элементов теории групп. Методы исследования анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме отбор учебного материала для использования на факультативных занятиях осуществление педагогического эксперимента.

Экспериментальная база исследования - национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова г. Абакан, Республика Хакасия. Результаты исследования обсуждались на семинарах, доказывались на научно-практической конференции Катановские чтения в апреле 2000 года. Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ПОДГРУППЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной математики. Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра. В центре внимания современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы 27 . Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп.

Группы - это один из основных типов алгебраических структур. Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы вы кристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью. Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания.

Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться 3 . В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы.

Слово подгруппа означает группа внутри группы. Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построения группы по ее подгруппам.

Кроме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных специальных типов групп также связано преимущественно с понятием подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы 3 , 8 . 1.1.

Основные понятия и определения

Утверждение 1 следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определени... Но Н - подгруппа группы G. Перестановки и коммутируют, если. Доказательство. Группа Аn порождается произведениями пар транспозиций. Если они не имеют общих букв, то a b c d a b a c c a c d a b c c a d.

Мышление и его развитие

Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения,... Производительный труд и производственное обучение в системе трудового ... Старшеклассник проявляет углубленный интерес к самому себе, к своему м... В процессе овладения знаниями школьники усваивают определенные операци... Учитель любого предмета, формируя научное понятие, сравнивает между со...

Развитие абстрактного мышления учащихся старших классов средствами современной алгебры

Таким образом, ценность факультативных занятий не только в обучении, н... Факультативы по математике должны строиться так, чтобы быть для учащих... Их посещают школьники, которые выбрали данный факультатив по своему же... Это обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих б... Изучение таких позволяет существенно повысить уровень математического ...

Элементы теории групп на факультативных занятиях

Элементы теории групп на факультативных занятиях 2.2.3.1.

Целесообразность введения элементов теории групп в программу факультативных курсов

Свободная группа 6 часов. А подмножество нечетных чисел не является подгруппой группы целых чисе... Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп. Подгруппы симметрических групп являются частью большого факультативног... На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа...

Заключение

Заключение В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики. Изучение школьных программ и программ факультативных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены.

Даже программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов теории групп. В связи с этим нами был разработан факультативный курс Элементы современной алгебры для учащихся 9-10-х классов. В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы целесообразность и доступность данного учебного материала. В ходе исследования были изучены основные понятия теории групп, решены задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество подгрупп некоторой группы не равно порядку этой группы. Разработано содержание занятий факультативного курса по теме Понятие подгруппы.

Подгруппы симметрических групп. На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика процесса развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников. Результаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами факультативный курс понятен, доступен и успешно усваивается школьниками, а также позволяет поднять абстрактное мышление учащихся на новый, более высокий уровень развития.

Все это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась.

Литература

Литература 1. Аносов Д.В. Проблемы модернизации школьного курса математики Математика в школе 2000 1 с.2-4. 2. Беляков Е. Математика - царица наук? Кажется, этот предмет немного устарел Учительская газета 1999 20. 3. Гроссман И Магнус В. Группы и их графы М. Мир, 1971 246 с. 4. Гнеденко Б.В. Статическое мышление и школьное математическое образование Математика в школе 1999 6 с.5-8. 5. Историческое введение в теорию Галуа Сост. Марков С.Н Иркутск ИГУ, 1997 20 с. 6. Каргополов М.И. Основы теории групп М. Наука, 1982 288 с. 7. Калужнин Л.А Сущанский В.И. Преобразования и перестановки М. Наука, 1979 112 с. 8. Курош А.Г. Теория групп М. Наука, 1967 648 с. 9. Концепция математического образования в 12-летней школе Математика приложение к Учительской газете 2000 7 с.1-5. 10. Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел Учебное пособие для студентов физ мат. специальностей пед. институтов М. Просвещение, 1993 288 с. 11. Карп А.П. Даю уроки математики Книга для учителя М. Просвещение, 1992 191 с. 12. Ляпин Е.С Айзенштат А.Я. Упражнения по теории групп М. Наука, 1967 304 с. 13. Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике Математика в школе 1981 6 с.8-10. 14. Метельский Н.В. Дидактика математики Общая методика и ее проблемы Минск Издательство БГУ, 1982 256 с. 15. Методическая разработка по современной алгебре к разделу Элементы теории групп и ее приложения Сост. Карижская Е.В Толстова Г.С Л 1990 42 с. 16. Методика преподавания математики в средней школе Частные методики Сост. Калягин Ю.М. и др М. Просвещение, 1977 480 с. 17. Методика преподавания математики в средней школе Общая методика Сост. Черкасов Р.С Столяр Е.С М. Просвещение, 1985 336 с. 18. Методика преподавания математики в средней школе Общая методика Сост. Оганесян В.П Калягин Ю.М М. Просвещение, 1980 368 с. 19. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике Проблемы современной методики математики Минск Университетское, 1989 160 с. 20. На путях обновления школьного курса математики.

Сборник статей и материалов Сост. Маркушевич А.И М. Просвещение, 1980 368 с. 21. Новое в школьной математике Сост. Яглом И.М М. Знание, 1972 199 с. 22. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике М. Учпедгиз, 1963 1999 с. 23. Поспелов Н.Н Поспелов И.Н. Фомирование мыслительных операций у старшеклассников М. Педагогика, 1989 152 с. 24. Панамарчук В.Ф. Школа учит мыслить М. Просвещение, 1979 144 с. 25. Столяр А.А. Педагогика математики Минск Высшая школа, 1986 414 с. 26. Фирсов В.В Шварцбург С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике М. Просвещение, 1977 48 с. 27. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Пер. с венгерского Данилова Ю.А М. Ми, 1979 260 с. 28. Холл Ю.А. Теория групп М. Издательство иностранной литературы, 1962 468 с. 29. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе М. Просвещение, 1983 160 с. 30. Шварцбург С.И Фирсов В.В. О характерных особенностях факультативных занятий Математика в школе 1972 1 с.55-59. Приложение 1 Таблица умножения симметрической группы S3 Е Е Е Е Е Е Е Е Приложение 2 Итоговая проверочная работа по материалу факультативного курса Элементы теории групп.

Симметрические группы.

Задания первого уровня 1. Является ли операция сложения алгебраической операцией во множестве действительных чисел. 2. Какие из следующих преобразований являются перестановками а б в . 3. Пусть Z группа и 0 группа.

Проверить, является ли 0 , подгруппой группы Z Задания второго уровня 1. Выяснить, является ли действием в множествах R и N нахождение среднего арифметического. 2. Представьте перестановку в виде произведения независимых циклов . 3. Является ли подгруппой группы Z, множество . 4. Существует ли в конечной группе порядка 8 подгруппа порядка 4. Задние третьего уровня 1. Проверить, является ли множество рациональных чисел группой по сложению. 2. Пусть Н - множество перестановок Проверить, является ли Н подгруппой группы S5. 3. Дана перестановка. Найдите и покажите, что множество является группой перестановок.

Задания четвертого уровня 1. Приведите пример четырехэлементной группы.

Приложение 3 Итоговая проверочная работа по материалу факультативного курса Элементы современной алгебры.

Задания первого уровня 1. Заданы преобразования , Среди преобразований укажите а, б . 2. Является ли операция умножения алгебраической операцией на множестве действительных чисел. 3. Дана подгруппа Z в ней нашелся элемент -5 такой, что выполняется соотношение 5 -5 5 5. Является ли элемент 5 регулярным в подгруппе Z 4 Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются словами над алфавитом X. а б в г д е ж 5. В подгруппе M, выполнено равенство. Является ли элемент b правым делителем элемента . 6. Пусть Q группа, Z группа.

Является ли Z, подгруппой группы Q Обоснуйте ответ. 7. Какие из следующих преобразований являются перестановками а б в г. Задания второго уровня 1. Множество, где. Образует ли множество М относительно операции полугруппу. 2. Из операций , , укажите только те, которые являются алгебраическими в каждом из числовых множеств N, Z, Q, R . 3. Дана полугруппа Q 0 Проверить, будет ли данная полугруппа регулярной. 4. u, v, w - слова над алфавитом Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются словами, равными u w v, u w v а б в г . 5. На множестве заданы произведения u v E и w u E, u x2x1. Найдите слова v и w, удовлетворяющие произведениям. 6. Дано множество. Являются ли группами M где операция сложения и M где операция умножения. 7. Доказать, что подмножество, где является подгруппой группы S3. 8. Действия в полугруппе задано таблицей Кэли a b c a a b c b a b c c a b c Верно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делится на каждый элемент из этой же полугруппы слева. 9. Определите, является ли полугруппой множество R если . 10. Решите уравнение. Задания третьего уровня 1. Всякая ли регулярная полугруппа является инверсной.

Ответ обосновать. 2. Приведите пример полугруппы преобразований, состоящей из трех элементов. 3. Как вы думаете, будет ли свободная полугруппа свободной группой. Обоснуйте ответ. 4. Пусть Н -множество перестановок Проверьте, является ли Н подгруппой группы S4. 5. Действие в полугруппе задано таблицей Кэли 0 1 0 0 1 1 0 1 Что можно сказать о делимости элементов в полугруппе. 7. Дана перестановка u1 . Найдите Покажите, что множество является группой перестановок по таблице Кэли . 8. Задайте во множестве R операцию, по которой числа 2 и 3 можно поставить в соответствие число m и проверить, является ли R, полугруппой а m 2 б m 1 в m. Задание четвертого уровня 1. Придумайте фигуру для которой можно составить группу симметрий, имеющей 4 элемента.