Задачи Циолковского

ЗАДАЧИ ЦИОЛКОВСКОГОРассмотрим две задачи Циолковского прямолинейное дви жение точки переменной массы под действием только однойреактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном полесилы тяжести.Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.Перваязадача ЦиолковскогоПусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в такомназываемом, по терминологии Циолков ского, свободном пространстве под действиемтолько одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость , отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противо положнуюскорости движения точкипеременной массы рис. 1 . Тогда, проецируя на ось Ох, направленную поскорости движения точки, дифференциальное уравнение прямо линейного движенияточки переменной массы принимает вид.Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем Рис. 1,где начальная скорость, направленная по реактивной силе начальная масса точки.

Выполняяинтегрирование, получаем. 14 Если в формулу 14 подставить значения величин, характеризующих конецгорения, когда масса точки ракеты состоит только из массы несгоревшей части массы приборов и корпуса ракеты , то, обозначая через т массу топлива, для скоростидвижения v1в конце горения имеем.Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z m Mp,получаем сле дующую формулу Циолковского . 15 Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения независит от закона горения, т. е. закона изменения массы.

Скорость в концегорения можно увеличить двумя путями.

Одним из этих путей является увеличениеотноситель ной скорости отделения частиц или для ракетыувеличения скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя.Современные химические топлива позволяют получать ско рости истечениягаза из сопла реактивного двигателя порядка 2 2,3 км с. Создание ионного ифотонного двигателей позво лит значительно увеличить эту скорость.Другой путьувеличе ния скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемоймассовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональнойконструк цией ракеты.

Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М0 Мрпутем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й раке ты, у которой послеизрасходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели отоставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями ужеотработав ших ступеней ракеты.Это значительно повышает число Циолковского длякаждой последующей ступени, так как уменьшается Мр за счетотброшенных масс баков и двигателей.Для определения уравнениядвижения точки переменной массы из 14 имеем,или, выполняя интегрирование после разделения переменных и считая х 0при t 0,получаем . 16 В теоретических работах по ракетодинамике обычно рас сматривают двазакона изменения массы линейный и по казательный.

При линейном законе массаточки с течением времени изменяется так M M0 1-at , 17 где a const a удельныйрасход , а М0 масса точки в начальный момент времени.При показательном законе изменение массы. 18 Выполняя интегрирование в 16 при линейном законе изменения массы 17 ,получаем следующее уравнение движения . 19 При показательном законе изменения массы 18 соответ ственно. 20 Отметим, что при линейном законе изменения массы 17 , если const,секундный расход массы - dM dt aM0 constи реактивная сила const.При показательном законе секундный расход массы и ре активная силаявляются переменными, но ускорение точки переменной массы , вызванное действием на точку одной реактивной силы , является постоянным, т. е. const.