Виды тригонометрических уравнений

Реферат на тему Видытригонометрических уравнений Успенского Сергея Харцызск2001 год Виды тригонометрических уравнений.1.Простейшие тригонометрические уравнения Пример1. 2sin 3x - p 4 -0. Решение. Решим уравнение относительно sin 3x - p 4 . sin 3x - p 4 1 2, отсюда по формуле решения уравнения sinx а нахо дим 3х - p 4 -1 n arcsin 1 2 np,n Z.Зх - p 4 -1 n p 6 np, n Z 3x -1 n p 6 p 4 np, n Z x -1 n p 18 p 12 np 3, n ZЕслиk 2n четное , то х p 18 p 12 2pn 3, n Z.Если k 2n 1 нечетное число , то х - p 18 p 12 2pn 1 p 3 p 36 p 3 2pn 3 13p 36 2pn 3, n z.Ответ х1 5p 6 2pn 3,n Z, x2 13p 36 2pn 3, n Z,или вградусах х, 25 120 n, n Z x, 65 120 n, n Z.Пример 2. sinx з cosx 1.Решение. Подставим вместо з значение ctg p 6, тогда уравнение при мет видsinx ctg p 6 cosx 1 sinx cosp 6 sinp 6 cosx 1 sinx sin p 6 cos p 6 cosx sin p 6 cos x - p 6 1 2. По формуледля уравнения cosx а находим х - p 6 arccos 1 2 2pn, n Z x p 3 p 6 2pn, n Z x1 p 3 p 6 2pn, n Z x1 p 2 2pn, n Z x2 - p 3 p 6 2pn, n Z x2 -p 6 2pn, n Z Ответ x1 p 2 2pn, n Z x2 -p 6 2pn, n Z. 2. Двучленные уравнения Пример 1. sin3x sinx. Решение.

Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем впроизведение. sin3x - sinx 0 2sinx cos2x 0.Из условия равенства нулю произведения получим двапростейших уравнения. sinx 0 или cos2x 0. x1 pn, n Z, x2 p 4 pn 2, n Z. Ответ x1 pn, n Z, x2 p 4 pn 2, n Z. 3. Разложение на множители Пример 1. sinx tgx sin2x cosx Решение. cosx sup1 0 x sup1 p 2 pn, n Z.sinx sinx cosx sin2x cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.sinx cosx sinx - sin2x 0 sinx cosx 1 -sinx 0 sinx 0 или cosx - sinx 1 0 x1 pn, n Z cosx - cos p 2 - x -1 2sin p 4 sin p 4 - x -1 2 sin p 4 - x -1 sin p 4 -x -1 2 p 4 - x -1 n 1 arcsin 1 2 pn, n Z x2 p 4 - -1 n 1 p 4 - pn, n Z x2 p 4 -1 n p 4 pn, n Z.Если n 2n четное , то x p 2 pn, если n 2n l нечетное , тоx pn.Ответ x1 pn, n Z x2 p 4 -I n p 4 pn, n Z. 4. Способ подстановки Пример 1. 2 sin2x 3cosx.Решение. 2sin2x- 3cosx 0 2 l - cos2x - 3cosx 0 2cos2x 3cosx -0.Пусть z cosx, z 1. 2z2 32z - 2 0.Д 9 16 25 Д 5 z1 -3 5 4 1 2 z2 -3-5 4 -2 не удовлетво ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение cosx 1 2 х p 3 2pn, n Z. Ответ х p 3 2pn, n Z. 5. Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид a sin2x b sinxcosx c cos2x 0 однородное уравнение 2-й степени или a sin3x b sin2x cosx c sinx cos2x d sin3x 0 и т.д.В этих уравнениях sinx sup1 0, cosx sup0. Решаютсяони делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям отно сительноtgx или ctgx.Пример 1. 3sin2 2x - 2sin4x 3cos22x 0.Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойногоугла.Получим уравнение 3sin22x - 4sin2xcos2x 3cos22x 0.Разделим на cos22x. Уравнение примет вид 3 tg22x 4tg2x 0.Пусть z tg2x, тогда 3z2 - 4z 3 0 Д 4 Д 2.z1 4 2 2 3 6 2 3 3 z2 4 2 2 3 1 3tg2x 3 или tg2x 1 32x p 3 pn, n Z 2x p 6 pn, n Z x1 p 6 pn 2, n Z x2 p 12 pn 2, n z.Ответ x1 p 6 pn 2, n Z x2 p 12 pn 2, n z. 6. Уравнение вида a sinx b cosx сПример 1. 3sinx 4cosx 5.Решение. Разделим обе части уравненияна 5, тогда 3 5sinx 4 5cosx 1.sinj 4 5 cosj 3 5 sin x j 1, x j p 2 2pn, n Z.Ответ x p 2 - arcsin 4 5 2pn, n Z. 7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения Уравнения, содержащие тригонометрические дроби,называются дробно-рациональными уравнениями.

В этих уравнениях требуется сле дитьза областью допустимых значений.Пример 1. 1 3-tgx 1 3 tgx sin2xРешение.

Область допустимых значений решений этогоуравнения tgx sup1 3, х sup1 p 8 pn, n Z и х sup1 p 2 pn, n Z.Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, аправую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан генсполовинного угла. 3 tgx - 3 tgx 3 - tg2x 2tgx 1 tg2x 2tgx 3 - tg2x 2tgx 1 tg2x x1 pn, n ZВторое уравнение имеет вид2tg2x- 2 0 tg2x 1 tgx 1 x2 p 4 pn, n Z.Ответ x1 pn, n Z х2 p 4 pn, n Z. 8. Иррациональные тригонометрические уравнения Если в уравнении тригонометрическая функция находитсяпод зна ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио нальным.В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы ми пользуются прирешении обычных иррациональных уравнений учи тывается область допустимыхзначений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени . Пример 1. cos2x frac12 sin2x frac2.Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обечасти уравнения в квадрат.cos2x frac12 2 cos2x frac12 sin2x frac12 sin2x frac12 4 cos2x frac12 sin2x frac12 1 cos2x frac12 sin2x frac12 1 frac12 frac12 cos2x frac12 frac12 - frac12 cos2x frac12 1 1 frac12 cos2x 1 - frac12 cos2x 1 1 frac14 cos22x 1 cos2x 0 x p 4 pn 2, n zОтвет x p 4 pn 2, n z. 9. Тригонометрические уравнения, в которых под знакомтригонометрической функции находится функция Особого внимания заслуживаюттригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знакомтригонометрической функ ции находится какая-либо другая функция.

Эти уравнениятребуют до полнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg x2 5x ctg 1.Решение. Запишем уравнение в виде tg x2 5x tg6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп,имеем х2 5х 6 pn, n Z х2 5х - 6 pn 0, n z Д 25 4 6 pn 49 4pn, n Z х1,2 -5 49 4pn 2, n z Решение имеет смысл, если 49 4pn gt 0, т.е. n sup3 -49 4p n sup3 -3. Литераура Математика Р. Л . Вейцман, Л . Р.Вейцман, 2000 г. стр. 116 - 125 Алгебра начала анализа 10-11 А . Н .Колмогоров, А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын,Б . М . Ивлев, С . И . Шварцбурд, 1993 г. стр. 62 - 78.