Билеты по математическому анализу

Билеты по математическому анализу Осн. понятия Грани числовых мн-в Числовые последовательности Непр. ф-ции на пр-ке 1. Осн. понятия Мат.модель любой набор кр-ний неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект. Мн-во вещест. чисел разбивается на рационал. и иррац. Рац. число, которое можно представить в виде pq где p и q цел. числа. Иррац. всякое вещественное число, которое не явл. рационал. Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят.Дроби а, а1,а2аn где а люб. число, а а1, а2 аn числа, приним. целые знач. Некоторые числовые множества.

Мн-ва первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом Sx, то тогда мн-во А описывается Ах вып-ся усл Sx. Подмн-ва если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АВ. АВ- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А Вхх принадл. либо А, либо В обьединение мн-в А и В. А ВххА и хВ пересечение мн-в А и В. А ВххА, но хВдополн. к м-ву В во мн-ве А Числовые мн-ва R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. а,в ха х в интервал из R открытый промежуток, т.к. не содержит границ а,в замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки. а,в полуинтервал.Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную. 2. Грани числовых мн-в Пусть Х непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверхуснизу, если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сххс. Число с наз-ся верхн.нижн. гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во. Пример XR - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.Точные грани числовых мн-в Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается ХmaxX. Если мн-во содержит мин число Х , то оно min мн-ва Х Пример Х0,1 то max0,1 не . min 0,10 Число Х наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва. Верхн. грань supXx, а нижн. грань infXx Теорема.

Любое непустое ограниченное сверху снизу числ. мн- во имеет точную верхниж грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани , док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел. 3. Числовые последовательности Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, ,хn, наз-ся числовой последовательностью и обозначается xn, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти. Основные способы задан. посл-ти а явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xnfn, где f- некоторая ф-ция нат. эл-та. б неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти. Пример а xn5n x15, x210 б x1-2 xn4n-1 3, n2,3 х2-11, х3-47 Ограниченные последовательностиОП Посл-ть xn наз-ся огран. сверхуснизу, если найдется какое-нибудь число xn Mm xnM n xnm n посл-ть наз-ся огранич если она огранич. сверху и снизу.

Посл-ть xn наз-ся неогранич если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству xn А. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти Св-ва сходящихся посл-тей Теорема Об единственности пределов Теорема Сходящаяся посл-ть ограничена Теорема О сходимости монотон. посл-ти 4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти Большое внимание уд-ся выяснению вопроса обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом сходимости при неогранич.

Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет. Опр Если для любого 0 найдется такой номер N, для любого n Nxn-a Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Связь сходящихся посл-тей и бм. Дает сл. теорему Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xnan, где посл-ть n0, т.е. является бм. Док-во а Допустим, что xna и укажем посл-ть n удовл. равенству xnan. Для этого просто положим nxn-a, тогда при nxn-a равно растоянию от xn до а 0 n бм и из равенства преобразования определяю n получаем xnan. Свойство бм Если xn,yn- любые посл-ти, то их сумма xnyn, это есть пос-ть с общим членом xnyn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах бм а xnиyn-бм пос-ти, бм 1 их сумма, разность и произведение являются бм 2 Произведение любой огранич. посл-ти на бм являются бм О частном не говорят, т.е. частное бм может не быть бм. Посл-ть xn явл. бб, если для любого числа с 0 сущ-ет номер N для всех номеров n N xn c. Понятие бб не совпадает с неограниченной посл-ть может быть неогранич но не является бб. Пример 1,12,3,14,5,16,7 явл. неогранич т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.

Св-ва сходящихся посл-тей Теорема Об единственности пределов Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во от противного xn имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса b-a2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера.

Получим противоречие теор. док-на. Теорема Сходящаяся посл-ть ограничена Пусть посл-ть xnа о Nn Nxn-a эквивалентна а- xn a n N что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуxn c max a a,xn xn-1 Теорема Об арифметических дейсьвиях Пусть посл-ть xna,ynb тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем а предел limnxnynab б предел limnxnynab в предел limnxnynab, b0 Док-во аxnynаnbnabnn Правая часть полученная в разности представляет сумму числа ab бм посл-тью, поэтому стоящая в левой части xnyn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва. б xnynаnbnabnbannn nb это произведение const на бм аn0, nn0, как произведение бм. поэтому в правой части стоит сумма числа аb бм посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в бм посл-ти в правой части xnyn сводится к ab Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния Посл-ть xn наз-ся возр если x1 xn xn1 неубывающей, если x1x2xnxn1 убывающей, если x1 x2 xn xn1 невозр если x1x2xnxn1 Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

Теорема О сходимости монотон. посл-ти Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.

Док-во Пусть посл-ть xn монотонно возр. и ограничена сверху.

X все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич поэтому по соотв.Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xnsupX обозначим supX через х. Т.к. х точная верх. грань, то xnx n. 0 вып-ся нер-во xmпусть m- это n с крышкойxm x- при n m из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x-xnx при n m эквивалентно xn-x при n m. Это означает, что x явл. пределом посл-ти. Экспонента или число е Ф-ции одной переменной Обратные ф-ции 6. Экспонента или число е Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn11nn в степени n1 . Оказывается, что посл-ть 1 монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е2,7128 Док-ть сходимость посл-ти 1 Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y1x1x, x 0 Ясно что при знач. x1,12,13 1n, значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми 1. Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху монотонное возр. посл-ти 1 и ограниченность ее сверх.

Поскольку lg x явл-ся монотонно возр но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1хlg1x 2 имеет те же самые св-ва, т.е. 0 x1 x2, то тогда 1x1lg1x1 1x2 lg1x2 3. Огранич. сверху M1xlg1xlgM x 0 4. Возьмем любую лин. ф-цию вида ykx которая превосходит lg1x при всех x 0. tg1lg1x1x1 1 2 tg1 tg2 tg2lg1x2x2 Поскольку 1 2, то tg1 tg2, а это равносильно равенству 3. Поскольку y lg1x x 0 kx lg1x x 0 Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению.

Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию yex и ее модификации. Пр-р если ставка сл-ных равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем начисляются m раз в год r- годовая ставка тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. при m кратном их начислению.

SnP1rmmn 5 Предположим теперь нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение 5 надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция limnP1rmmnPern Lgex имеет спец. Обозначение lnx. Принцип вложенных отрезков Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков a1,b1,a2,b2 an,bn, Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл. 1 каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. an1,bn1an,bn, n1,2, 2 Длины отрезков 0 с ростом n, т.е. limnbn-an0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

Док-во an-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1. bn-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1limnan и с2limnbn c1c2 c - их общее значение.

Действительно имеет предел limnbn-an limnbn- limnan в силу условия 2 o limnbn-anс2-с1 с1с2с Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку n ancbn. Теперь докажем что она одна. Допустим что другая с к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с , то с одной стороны весь хвост посл-тей an,bn должен нах-ся в окрестностях т-ки с т.к. an и bn сходятся к с и с одновременно.Противоречие док-ет т-му. Принцип вложенных отрезков Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку свсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.

Док-во. an пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1 посл-ть правых концов bn монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ т.е. числа c1limnan и c2limnbn.Докажем что с1с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел limnbn-an limnbn limnanc2-c1c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для n ancbn.

Осталось доказать единство данной т-ки от противного. Допустим есть c c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с , то с одной стороны весь хвост an, bn, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с , т.к. an и bn c и c одновр. Противореч. док-ет т-му. 7.Ф-ции одной переменной Если задано правило по которому каждому значению перем.Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем.

У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.Yfx x аргумент независ. перемен y- зав. пер. XDfDf yyyfx,xX x1X1, y1fx1 1 аналит. способ 2Табличный способ 3 Графический способ 4Min и max ф-ции ф-ция fx ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. m,M mfxM xX mfx xX огр. сн. fxM, xX огр. св. Обратные ф-ции Если задано правило по которому каждому значению yY ставится в соответствие ед. знач. х, причем yfx, то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции fx и обозначают такую ф-цию xf-1y. Предел ф-ции в точке Свойства предела ф-ции в точке Односторонние пределы ф-ции в т-ке Предел ф-ции в т-ке Предел и непрерывность функции Предел.

Односторонний предел.Предел ф-ции в точке yfx X опр. xn X, xnx0 fxnA, fx в т. x0 при , xnx0 предел А Аlimxx0fx или fxA при xx0 Т-ка x0 может и мн-ву Х. Свойства предела ф-ции в точке 1 Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный 2 Если в тке х0 предел ф-ции fx limxx0fxA limxx0gxB то тогда в этой т-ке предел суммы, разности, произведения и частного.

Отделение этих 2-х ф-ций. а limxx0fxgxAB б limxx0fxgxAB в limxx0fxgxAB г limxx0CC д limxx0CfxCA Док-во xnx0, limxx0fxA по опр. fxnA fxn Односторонние пределы ф-ции в т-ке Опр. А - предел ф-ции fx справа от точки х0, если fxA при хх0, и x x0 Формально это означает, что для любой посл-ти xnx0, вып-ся условие xn x0, fxA. Обозначим fx00 и fx0 limxx00fx И также с минусами.Признак предела Т-ма Для того чтобы fx имела предел в т-ке х0 необх тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ.

Между собой одностор. предел fx0fx0- 1, которые равны пределу ф-ции. Док-во. fx имеет в т-ке х0 предел А, тогда fxA независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство 1 Предел ф-ции в т-ке Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если 0 найдется такое число В 0, для всех х отличных от х0 и х-х0 0 должно fx-A 0 из х-х0 должно быть Пусть fx-x0 , если , то х-х0 fx-x0 Свойства пределов.Непрерывность ф-ции. Ф-ция fx непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.

Предел и непрерывность функции Пусть ф-ция fx определена на некотором пр-ке Х и пусть точка х0Х или х0Х. Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции fx в точке хх0, если для 0 0 такое, что для всех хХ, хх0, удовлетвор. неравенству х-х0 , выполняется неравенство fx-A . Пример Используя определение, док-ть что ф-ция fxCC-некоторое число в точке хх0х0-любое число имеет предел, равный С, т.е. lim xx0CC Возьмем любое 0. Тогда для любого числа 0 выполняется треюуемое неравенство fx-CC-C0 , limxx0CC Свойства пределов.

Непрерывность ф-ции. Теорема.Пусть ф-ции fx и gx имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции fxgx,fxgx и fxgx при С0 имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно ВС, ВС, ВС, т.е. limfxgx BC, limfxgx BC, limfxgx BC Теорема также верна если х0 явл Опр. Ф-ция fx наз-ся непрерыной в точке хх0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. limxx0fxfx0 Теорема Пусть ф-ции fx и gx непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции fxgx, fxgx и fxgx также непрерывны в этой т-ке. 10. Предел.

Односторонний предел. Опр.Числом А наз-ся предел fx в т-ке х0, если для любой окрестности А окрестность х0xокрестности x0 выполняется условие fxокрестности.Теорема Все определения предела эквивалентны между собой. Опр. Число А называется пределом ф-ции fx справа от т.х0правым предело fx0 если fxA при хх0, х x0 Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn x0 выполняется условие fxnA Запись fx0o, fx0 . limxx0ofx где запись xx0o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений чем х0. Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись fx0-ofx0- Теорема.

Для того чтобы ф-ция fx имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф- ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы fx0fx0- значение которые равны пределу ф-ции, т.е. fx0 fx0-limxx0fxA Док-во а допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда fx А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению x0 или , а это означает равенство 1. б пусть односторонние пределы сущ-ют и равны fx0fx0- докажем, что просто предел.

Возьмем произвольную xnх0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности. 1. члены которые нах-ся слева от х0 x n 2. члены которые нах-ся справа от х0 х n x nx0-o x nx0o, т.к. односторонние пределы и равны, то fx nA и fx nA поэтому посл-ть значений ф-ций fxn которая также след. справа 1fx n и fx n имеет fxnA на основании связи между сходимостью последовательностей Пределы ф-ции на бесконечности Два замечательных предела Бм ф-ции и их сравнения Непрерывные ф-ции. Непрерывность. 11. Пределы ф-ции на бесконечности Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.

Опр. ф-ция fx имеет предел число А при x если xn которая к соответствующая ей последовательность fxnA в этом случае мы пишем limxfxA. Совершенно аналогично с Опр. Будем говорить что ф-ция fx имеет пределом число А при x fxn сходится к А Бесконечные пределы ф-ции Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не -ют. Р-рим на премере limxo1x Очевидно не сущ-ет, т.к. для xnо посл-ть fxn1xn, а числ. посл-ть сводятся к . Поэтому можно записать limxo1x что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0. Аналогично с Более того символы и - употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если xnx0 то fxn, 12. Два замечательных предела 1 limx0sinx1 2 Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение limn11nne 1 limn01x1xe 2 t1x при х0 t из предела 2 limx 11xxe 3 Док-во 1x n xnx nx n1 1n1 1x 1n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство 1n1n11nx 11nn1 4 Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева.

Покажем что их предел число е. Заметим х, n limn11n1limn11n1n1-1 limn11n1n1limn111n1e limn11nn1 limn11nn limn11ne1e 2 x Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y-x y, при x limx-11xxlimy1-1y-y limyy-1yylimy11y-1ye 3 Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к мы должны иметь в силу 3 соотношение limx11xnxne 5 Условие 53, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти x n, x n Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xnx nx n. По т-ме о связи 13. Бм ф-ции и их сравнения Опр. Ф-ция х наз-ся бм если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во бм ф-ций а Алгебраическая сумма и произведение бм ф-ций есть бм ф-ции. б Произведение бм ф-ции на ограниченную ф-цию есть бм ф-ция, т.е. если х0 при хх0, а fx определена и ограничена СхС хх0 при хх0 Для того чтобы различать бм по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие 1 Если отношение 2-х бм хх0 при хх0 то говорят что бм имеет более высокий порядок малости чем . 2 Если ххA0 при хх0 A-число, то х и х наз-ся бм одного порядка. 3 если хх1 , то х и х наз-ся эквивалентными бм хх, при хх0. 4 Если хnхА0, то х наз-ся бм n-ного порядка относительно х. Аналогичные определения для случаев хх0 хх0, х х и х. 14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

Опр. fx непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. limxx0fxfx0-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство limxx0xx0 1 . Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва.

Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. уfx0x-fx0 приращение ф-ции в т. х0 символ приращения.

Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом limx0y0 у0 1 . Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение аргумента. fx непрерывна в т-ке х0 y0 при х0. Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если fx имеет предел справа в т-ке х0fx0 и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. fx0limxx0,x x0fxfx0, то ф-ция fx наз-ся непр. справа в т-ке х0. Аналогично при вып-нии усл. fx0-limxx0, x x0fxfx0, то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0. Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция fx непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. fx0-fx0fx0 Опр. Ф-ция fx непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке. Пример Р-рим степенную производст. ф-цию Qfkk12 Q-объем выпуска продукции, к объем капитала.

DfR f00 и очевидно f0 и равно 0 что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции Q0 при k0. Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва Классификация т-ки разрыва Непр. ф-ции на пр-ке Теорема ВЕЙЕРШТРАССА 15. Классификация т-ки разрыва Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида т. устранимого р-рыва точки р-рыва 1-го , и 2-го рода. а если в т-ке х0 оба односторонних предела, которые совпадают между собой fx0 fx0 но fx0, то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. fx0 fx0-fx0 и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f. б если в т-ке х0 оба 1-стороних предела fx0, которые не равны между собой fx0fx0 то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. При исслед.

Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания 1 Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния. 2 Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр. 3 Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошнуюбез р-рывов кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.

I Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.св-во локал. огранич-ти Док-во использует опр-ние на языке и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое 0 можно найти 0 fx-fx0 при х-х0 fx0- fx fx0 в окрестности в т-ке х0. II Св-ва сохранения знака Если fx непр. в т-ке х0 и fx00 то окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0. IIIТеорема о промежуточных знач. ф-ции fx непр. на отрезке a,b и faA, fbB причем AB CA,B ca,bfcC fcfc fc . IVТеорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если fx непр. на отрезке a,b и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков fa fb, то т-ка сa,b. Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния fx00 методом деления отрезка пополам. fd0 cd Т-ма доказана.

Пусть fd0 a,d или d,b ф-ция f принимает значение разных знаков.

Пусть для определ-ти a,d обозначим через a1,b1. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку a2,d2 продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков a1,b1 a2,b2 длинна которых a-b2n0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой сfc0. Действительно если допустить, что fc0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение fc между тем отрезки an,bn с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков. Непр. ф-ции на пр-ке f непр. в т-ке х0 f непрер. в т-ке х0 и fx00 f непр. на a,b и fxfb0 fxfb 0 в окр-ти х0 сa,b. fc0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны.

Т-ма 1о огран. непр. ф-ции на отрезке.

Если fx непр. на a,b, тогда fx огран. на этом отрезке, т.е. с 0fxc xa,b. Т-ма 2 о экстр. непр. ф-ции на отр Если fx непр. на a,b, тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. т-ка max Xfxfx xa,b, т-ка min Xfxfx xa,b. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки Контрпример 1. fx12 на 01 f неогр. на 01 хотя и непрерывны.

Контрпример 2. fxx на 01 fx непр. infx01x0, но т-ки x01fx0, т-ки x, хотя supx01x1 Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам.

Начинаем от противного f неогр. на a,b, разделим его, т.е. тогда отрезки accb fx неогр. Обозн. a1,b1 и педелим отрез. a2,b2, где f-неогр.

Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки anbn котор. оттяг. к т-ке d dc с надстройкой из отрезка a,b, общее для всех отр. Тогда с одной стороны fx неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка an,bn, но с др. стороны f непр. на a,b и в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d получаем против.

Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки anbn с достаточно большим 0. Док-во т-мы 2. Обозначим Ef множиством значений ф-ии fx на отр. a,b по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supEfsupfxпри хa,bM . InfEf inffxmm Для опр. докажем a,b fx достигает макс. на a,b, т.е. хfxM. Допустим противное, такой т-ки не и сл-но fx M xa,b рассмотрим вспомогат. ф-цию gx1M-fx при хa,b. gx непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 gx- огран. т.е. c 0 0 gxc g0, на a, b 1M-fxc 1cM-fx fx M-1c xa,b Однако это нер-во противор т.к. М-точная верхн. грань f на a,b а в правой части стоит C Следствие если fx непр. a,bтогда она принимает все знач. заключ.

Между ее max и min, т.е. EfmM, где m и M max и min f на отрезке.

Дифференцирование ф-ций Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило Лопиталя 16. Дифференцирование ф-ций Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций без изломов и р-рывов кривые с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций ykxb обладает простейшими наглядн. ф-циями уk k 0 то у возр. при всех х, k 0-то у убыв. при всех х, k0 ф-ция постоянна Определение пр-ной 1 Пусть ф-ция yfx определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения х эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. yfx0fx0x-fx0 Образуем разностное отношение yxfx0x 1 это разностное отношение явл. ф-цией х, т.к. х0-фиксирована, причем при х0 мы имеем дело с неопр. 00. Опр. Пр-ной ф-ции yfx наз-ся предел разностного отношения 1 при условии если он , когда х0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл что посл-ть к 0. Эта производная обозначается через dfx0dx или f x0, у если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f x0limx0 fx0x-fx0x 2 Если ф-ция fx имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части 2 , то говорят что fx дифференц. в т-ке х0. 2 Непрерывность и дифференцируемость Т-ма. Если ф-ция fx дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения f в т-ке х0 fx0fx0x-fx0 f x0xxx 3, где x-бм ф-ия при х0 Док-во. Заметим, что разложение 3 верно, что из него сразу следует что при х0 fx00, в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во 3. Если пр-ная то из определения 2 и связи предела с бм , что бм ф-ция х такая что fx0xf x0x отсюда рав-во 3 пол-ся умножением на x. Примеры. 1Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. ycconst x, тогда y 0 для х. В этом случае yx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, значит эго отн-ние 0. 2Пр-ная степенной ф-ции, ухk, y kxk-1 kN. Док-м для к0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем т-ку х и дадим приращение х составим разностное отношение уххх2-x2x2х х limx0yx2xy . В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к. 3Пр-ная экспон-ной ф-ции, уеx y ex. В данном случае yxexx-exxexex-1 x. Одеако предел дробного сомножителя 1. 4yfxxx, x 0-x,x 0. Ясна что для х0 производная легко нах-ся, причем при y 1при x 0 y -1 при x 0. Однако в т-ке x0 пр-ная не . Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от -1,1, а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не при x00. При x 0 yxxx1 limx0,x 0yx1 А левый предел разн-го отн-ния будет 1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не . В данном случае одностор. пр-ная. Опр. Правойлевой пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения 2 при усл. что х0х0 Из связи вытекает утвержд если fx дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также и не совпадает f x0- и f x0 обратно для пр-ной f x0 необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой.

В этом случае они не совпад. 17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Пр-ная f x первого порядка f x второго f x-третьего fnxfn-1x . Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.

Дифференциал выс. порядков dy f xdx диф. первого порядка ф-ции fx и обозначается d2y, т.е. d2yf xdx2. Диф. ddn-1y от диф. dn-1y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции fx и обознач. dny. Теорема Ферма. Пусть ф-ция fx определена на интервале a,b и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 пр-ная, то она 0, f x00. 2Теорема Ролля. Пусть на отрезке a,b определена ф-ция fx причем fx непрерывна на a,b fx диф. на a,b fafb. Тогда т-ка сa,b, в которой f c0. 3Теорема Логранджа.

Пусть на отрезке a,b определена fx, причем fx непр. на a,b fx диф. на a,b. Тогда т-ка ca,b такая, что справедлива ф-ла fb-fab-a f c. 4Теорема Коши. Пусть ф-ции fx и gx непр. на a,b и диф. на a,b. Пусть кроме того, gx0. Тогда т-ка сa,b такая, что справедл. ф-ла fb-fagb-gaf cg c. Правило Лопиталя.

Раскрытие 00. 1-е правило Лопиталя.

Если limxafx limxagx, то limxafxgx limxaf xg x, когда предел конечный или бесконечный.

Раскрытие . Второе правило.

Если limxafx limxagx, то limxafxgx limxaf xg x. Правила верны тогда, когда x,x x,xa xa. Неопред-ти вида 0, 00, 1, 0. Неопр. 0 сводятся к 00 и путем алгебраических преобразований.

А неопр. 00, 1, 0 с помощью тождества fxgxegxlnfx сводятся к неопр вида 0 Выпуклые и вогнутые ф-ции Т-ки перегиба Выпуклость и вогнутость.Бб пол-ти Гладкая ф-ция Эластичность ф-ций Выпуклые и вогнутые ф-ции Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.

Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у fx возр. для x 0. На инт. От 0,a ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика.На ,a ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. Ах возр. f x 0 x0, но на интервале от 0 до а 0а f x возр. в то время как 0 f убыв а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на 0а f x0 f-выпукла, а на a f x0 f-вогнута. Опр. Пусть fx дважды диф. ф-ция на a,b, тогда 1назовем ф-цию fx выпуклойвогн на интервале a,b, если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f x0 f x0 на a,b 2Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклойвогнутой на интервале a,b Т-ки перегиба Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f x00 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0 в любой т-ке перегиба f x имеет локальный экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.

Выпуклость и вогнутость.

Опр. Ф-ция явл. выпуклой вогнутой на a,b если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже выше гр. ф-ции. yy0f x0x-x0fx0f x0x-x0 линейная ф-ция х, который не превосходит fx и не меньше fx в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость вогнутость через диф. fxfx0 f x0x-x0 x,x0ab f вогнута на а,b. Хорда выше ниже, чем график для вып. ф-ций вогн. линейная ф-ция kxb, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.Бб пол-ти Посл-ть xn наз-ся бб, если для пол-ного числа А номер N такой, что при n N вып-ся нер-во xn A Возьмем любое число А 0. Из неравенства xnn A получаем n A. Если взять NА, то n N вып-ся xn A, т.е. посл-ть xn бб. Замечание. Любая бб посл-ть явл. неограниченной.

Однако неогранич. Посл-ть может и не быть бб. Например 1,2,1,3,1 1,n не явл. бб поскольку при А 0 нер-во xn A не имеет места xn с нечет. номерами.Гладкая ф-ция Сл. ф-ция fx тоже явл. гладкой, т.е. f и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F xf x x 4. Используя ф-лу 4 получаем y lnfa f xfx 5 логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у ф-ция fx приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм.

Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или fx. Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем Pt гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при tR. Темп ростаприросту. Пр-р yex. Найдем темп прироста. f fтемп приростаexex. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.Эластичность ф-ций Опр. Пусть гладкая ф-ция yfx описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим fx 0 имеет смысл лог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции fx или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной. Efxxf xfxxlnfx 6. Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в 6 пр-ную ее разностным отношением fx0x и будем иметь Efxxfxxfxfxfxxx.

В числителе стоит относит.Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. эл-ность ф-ции показывает на сколько изменяется пок-ль yfx при изменении перем. х на 1. Эластичность пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой.

Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть Dfp-aPb линейная ф-ция спроса, где а 0. Найдем эластичность спроса по цене. EdPPD DP-a-aPbaPaP-b эл-ность линейной ф-ции не постоянна Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций Т-ма Ферма Т-ма Коши Интервалы монотонности ф-ции Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя.Производная обратной ф-ции Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме. Т-ма Ферма. Если диф. на интервале a,b fx имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f x00 8. Это необходимое усл. локал. экстр но недостаточное.

Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции fx обращается в 0 наз-ся крит. т-ми fx. Из т-мы Ферма экстремум надо искать только через крит. т-ки. Т-ма Коши. Пусть ф-ции fx и gx непрерывны на a,b и диф. на a,b. Пусть кроме того, g x0, тогда т-ка ca,b такая, что справедлива ф-ла fb-fagb-gaf cg c Интервалы монотонности ф-ции Т-ма. Пусть fx диффер.

На интервале a,b, тогда справедливы сл. утверждения fx монотонно возр. убывает на интервале a,b тогда, когда f x0 на интервале a,b и f x 0 f x 0, то строго возр. убыв на a,b. х интерв. монотонно убывает, касательная имеет тупой угол наклона f x1 0 для x2 противоположная ситуация. Т-ма Логранджа.Пусть ф-ция fx непрер. на отрезке a,b и диф. на интервале a,b, тогда т. х и xx a,b т-ка С лежащая между х и хх такая что спаведлива ф-ла fxx-fxfcx 7 при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что 7 явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С алгоритм выбора которой неизвестен.

Крайнее значение a,b не запрещены.Придадим ф-ле 7 классический вид xa xxb тогда ф-ла 7fb-fab-af c 7 ф-ла конечных приращений Логранджа. fb-fab-af c 1 Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию gxfx-fa-fb-fab-a x-a Пусть ф-ция gx удовл. всем усл. т-мы Ролля на a,b АНепрерывна на a,b Б Дифференц. на a,b В gagb0 Все усл. Ролля соблюдены, поэтому т-ка С на a,b g c0 g cf x-fb-fab-a. Ф-ла 1 наз-ся ф-лой конечных приращений.

Т-ма Ролля. Пусть ф-ция fx удовл. сл. усл. АНепрерывна на a,b Б Дифференц. на a,b В принимает на коцах отрезков равные значения fafb, тогда на a,b т-ка такая что f c0, т.е. с-крит. т-ка. Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, fx постоянная на a,b fafb, тогда f x0 x a,b, любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f const на a,b, т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сa,b в противном случае fconst, то по т-ме Ферма, тогда f c0, что и требовалось д-ть. Т-ма Тейлора.

О приближении гладкой ф-ци к полиномам Опр. Пусть ф-ция fx имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, ха. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка такая, что справедлива ф-ла Тейлора. fxfaf a1xa f a2xa2fnаnfn1n1x-an1. Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной gx. gxfx-fa-f xx-a 1nfnxx-an-1n1x-an1. По т-ме Роляя т-ка с из a,b, такая что gc0 fn1c Правило Лопиталя.

Пусть ф-ция fx и gx имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f и g исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть limхх limxxgx0 так что fxgx при xx0 дает 00. limxx0f xg x 4, когда он совпадает с пределом отношения ф-ции limxx0fxgx limxx0f xg x 5 Док-во. Возьмем т-ку х х0 и рассмотрим на x0x вспом ф-цию арг. t htft-Agt, если tx0x, т.к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на x0x, поскольку limtx0htlimtx0ft-Agtlimtx0-A limtx0gt0h0 непр. tx0 По т-ме Логранджа x0,x ch c0 Производная обратной ф-ции Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции. Док-во. Пусть ф-ция yfx диф. и y xf x0. Пусть у0 приращение независимой переменной у и х соответствующее приращение обратной ф-ции xy. Напишем тождество xy1yx 2 Переходя к пределу в рав-ве 2 при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим limy0xy1limx0yx x y1y x. Где х у пр-ная обратной ф-ции. Производная обратной ф-ции Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции. Док-во. Пусть ф-ция yfx диф. и y xf x0. Пусть у0 приращение независимой переменной у и х соответствующее приращение обратной ф-ции xy. Напишем тождество xy1yx 2 Переходя к пределу в рав-ве 2 при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим limy0xy1limx0yx x y1y x. Где х у пр-ная обратной ф-ции. Теорема Больцано-Вейерштрасса Теорема Больцано-Коши Теорема Вейерштрасса Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть. Док-во 1. Поскольку посл-ть ограничена, то m и M, такое что mxnM, n. 1m,M отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. 2 та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам.

По краней мере в одной из половинок отр. 2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - 3. Делим отрезок 3 и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам 1, какую-либо т-ку n1. В отрезке 2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2 n1. В отрезке 3 и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkk. Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке a,b и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда т-ка с a,b в которой ф-ция обращается в 0. Док-во Пусть Х мн-во таких т-к х из отрезка a,b, где fx 0. Мн-во Х не пустое.

Х a,b, значит х ограничено, поэтому оно имеет точную верхнюю грань. csupx. acb покажем a c b по т-ме об уст. знака, поэтому ca, cb. Предположим fc0, что это не так, тогда окрестность т-ки с в пределах которой ф-ция сохраняет знак, но это не можетбыть, т.к. по разные стороны т-ки с ф-ция имеет разный знак. fс0. Теорема Вейерштрасса Непрерывная ф-ция на отрезке ограничена. Док-во Предположим что ф-ция не ограничена.

Возьмем целое пол-ное n, т.к. ф-ция не ограничена, то найдется xna,b, такое что fxn n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnkx0. По т-ме о предельном переходе к неравенству. axnkb ax0b x0a,b Если посл-ть xnk сходится к x0, то fxnk будет сходится fx0 fxnk nk, a nkfxnk, т.е. fxnk бб посл-ть. С одной стороны fxnk стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к , пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не ограничена.

Значит наше предположение не верно.