Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Множество - совокупность некоторых объектов Элементы множества - объекты составляющие множество Числовые множества - множества элементами которых являются числа. Задать множество значит указать все его элементы 1 Способ Аа Ра эти записи Читать- множество тех а таких что Aа-Ра равноценны Ра - предикат высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу.Множество А состоит из тех а для которых предикат истина. 2 Способ Конструирование из других множеств AЪB c cОA Ъ cОB, AЩB c cОA Щ cОB, A B c cОA Щ сПB U - универсальное множество фиксированное UA U A A cA A - дополнение множества A Свойства 1. AЪBЪCAЪB ЪC - ассоциативность AЪBBЪA - коммутативность AЪЖA AЪUU 2. AЪ BЩCAЪB ЩAЪC AЩ BЪCAЩB ЪAЩC - дистрибутивность АЩЖА A A - закон исключающий третьего AЪB A ЩB AЩB A ЪB AЩA Ж Иллюстрация свойств Диаграммы Эйлера-Венна. cОAЪB cПAЪB cПA cПB cО A cОB cОA ЩB cОA ЩB cОA cОB cПA cПB cПAЪB cОAЪB Отображение множеств fAB на множестве А задано отображение f со значением множества B aОA bОB b - образ элемента а при отображении f a - прообраз элемента b при отображении f Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения Dom fА, а область значенийB Im f B Для отображения задают 1 способ 2 Dom 3 Im Отображение f инъективно если fxfx xx разные переходят в разные Отображение f сурьективно если Im f Bкаждый переходит в каждый Если же отображение инъективносурьективно, то множества равномощнысодержат одинаковое кол-во элементов, а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел N Теорема Множество Q счетно.

Докозательство Q Лемма 1 nОN Zn - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Zn 100n 5-2n 21n 63n 3-1n 7-3n 42n Лемма 2 Объединение счетного или конечногоне более чем счетного числа счетных множеств - счетно. А1а11, а12, а13 А2а21, а22, а23 А3а31, а32, а33 Применяем диагональную нумерацию а11 - 1 а21 - 2 а12 - 3 а31 - 4 а22 - 5 и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно. Часть может быть равномощна целому -1,1 равномощен R через полуокружность и лучи Из Леммы1 и Леммы 2 получаем Множество рациональных чисел счетно 2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R. Действительные числа - множество чисел вида a0,а1 a2 а3 где а0ОZ а1,а2,а3 О0,9 Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части ао,а1 а2 а3 ак 0 ао а110 а2100 ак10k ао,а1 а2 а3 а к 9, где а как-1 ххо,х1 х2 х3 хк ууо,у1 у2 у3 ук х к - катое приближение икса с недостатком хо,х1 х2 х3 хк ук - катое приближение игрека с избытком уо,у1 у2 у3 ук 110k х к1 х к х к - монотонно растет ук1 уk уk - не возрастает, т.к. укуо,у1 у2 у3 ук 110к ук1 уо,у1 у2 у3 ук ук1 110к1 ук - ук1 110к - ук1 110к1 0 10 - ук1 - 1 10к1 0 9 ук1 Определение 1 х у к х к ук 2 х у х к не ук ук не х к По определению получаем, что 1,00,9 Свойства 1 х, у либо х у, либо х у, либо ху 2 х у у z х z 3 х не х Док-во 2 х у у z х к ук у m zm nmaxkm х nх к укуn у n у m zmzn уn у n х n zn Определение Если АМR и х,уОR аОА х а у, то А плотно в R Теорема Q плотно в R. Доказательство х у х к ук х х к ук у х х к 2 х к 2 х к 2 ук 2 ук 2 ук 2 у Видим х х к 2 ук 2 у, где х к 2 ук 2ОQ 3.Несчетность множества действительных чисел. Теорема R несчетно.

Доказательство от противного 1х1х1, х11 х12 х13 2х2х2, х21 х22 х23 Пусть здесь нет девяток в периоде 3х3х3, х31 х32 х33 кхкхк , хк1 хк2 хк3 Найдем число которого нет в таблице сс, с1 с2 с3 сх1 сх1 с1 П 9х21 сх2 с2 П 9х32 сх3 ск П 9хк1к схк Таким образом С - число которое отсутствует в таблице 5.Теорема Дедекинда о полноте R Пусть 1 0АНR 2 aОA, bОB а b 3 АИBR, тогда сОR aОA, bОB асb Замечания 1 для Q и I не выполняется между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R 2 Доказательство aОA, bОB а b A ограничено сверху SupAm bОB bm B ограничено снизу InfBn, mn Докажем, что m n Пусть m n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что сОQ m c n cПА cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mn следует, что mn если обозначим mn через c, то получим асb Докажем, что с единственноеот противного Пусть с с,с с с с, так как cnInfBmSupA по опр-нию. с с с с найдется такое ba, что b c a c -противоречие с aОA, bОB асb 8.Лемма о зажатой последовательности Лемма о двух милиционерах Если n0 n n0 xNyNzN и Lim xNx, Lim zNz, причем xz, то Lim yNy xyz. Доказательство n n0 xNyNzN Возьмем произвольно Е 0, тогда n n n xNОх-Е,хЕ n n n zNОх-Е,хЕ n maxn0,n ,n yNОx-E,xE 4. Верхние и нижние грани числовых множеств. Определение АМR mОR, m - верхняя нижняя грань А, если аОА аm аm. Определение Множество A ограничено сверху снизу, если существует такое m, что аОА, выполняется аm аm. Определение SupAm, если 1 m - верхняя грань A 2 m m m m не верхняя грань A InfA n, если 1 n - нижняя грань A 2 n n n n не нижняя грань A Определение SupAm называется число, такое что 1 aОA am 2 e 0 aEОA, такое, что aEa-e InfA n называется число, такое что 1 1 aОA an 2 e 0 aEОA, такое, что aE0 n0 n n0 выполняется неравенство аN-a e. Обозначение Lim aNa. Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится к числу а. Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида а-e,аe, называемый эпсилон-окрестностью точки а, содержит все члены последовательности аN начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности аN. Определение Число а назывется пределом посл-ти аN если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательствоот противного Пусть последовательность аN имеет предел а и предел с, причем ас. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше а-с2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания 1 Обратное не верно аn-1N, ограничена но не сходится 2 Если существует предел последовательности аN, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов Теорема о предельном переходе Если Lim xNx, Lim yNy, n0 n n0 хNyN, тогда xy Доказательствоот противного Пусть х у по определению предела n0 n n0 хN-х Eберем Е х-у2 n0 n n0 yN-y E. n maxn0 , n0 хN-х х-у2 уN-у х-у2, т.е. получаем 2 интервала у-Е,уЕ х-Е,хЕ, причем у-Е,уЕЗх-Е,хЕЖ. n maxn0 , n0 хNОх- Е,хЕ уNОу-Е,уЕ учитывая, что х у получаем n maxn0 , n0 хN yN - противоречие с условием.

Теорема Если n0 n n0 aNbNcN и Lim aNa, Lim cNc, причем ac, то Lim bNb abc. Доказательство Возьмем произвольно Е 0, тогда n n n cN aE n n n a-E aN. При n maxn0,n ,n a-E aNbNcN aE, т.е. n maxn0,n ,n bNОa-E,aE 9. Предел монотонной последовательности Определение Последовательность называется монотонно возрастающей убывающей если n1 n2 n1 n2 xN1xN2 xN1xN2. Замечание Если xN1 строго больше меньше xN2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая убывающая в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей убывающей.

Теорема Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. ХxN nОN По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем SupXx, Е 0 xE х-Е хE n0 xNo х-E. Из монотон ности имеем n n0 xNxNo x-E, получили xNxSupX, значит n n0 xNОx-E,х x-E,xE 10.Лемма о вложенных промежутках Определение Пусть а,bОR и а b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками 1 Mножество хОR ахb а х b - называется отрезком интервалом 2 Mножество хОR ах b а хb - открытый справа слева промежуток 3 Mножество хОR а х x b - открытый числовой луч 4 Mножество хОR ах хb - числовой луч 5 Mножество хОR - числовая прямая Определение Число b и а если они существуют называются правым и левым концами отрезка далее промежутка, и его длина равна b-a Лемма Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, n aNbN и bN-aN-бм, тогда с n cОaN,bN с ЗaN,bN Доказательство aNbNb1 aN монтонно возрастает aNb1 Lim aNa a1aNbN bN монтонно убывает a1bN Lim bNb aNa bbN aNbN ab Lim bN-aNb-a0по условию ab Пусть cab, тогда aNcbN Пусть с не единственное aNc bN, с с aNcbN -bN-c-aN aN-bNc -cbN-aN По теореме о предельном переходе LimaN-bNLimc -cLimbN-aN a-bLimc-cb-a 0limc-c0 0c-c0 c c c - единственное.

Перефразировка Леммы Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2 a1,b1,a2,b2 an,bn так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n limbN-aN0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с с разных сторон. 42.Локальный экстремум.

Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение Пусть задан промежуток Iab, точка x0Оab. Точка x0, называется точкой локалниого minmax, если для всех xОab, выполняется fx0 fx fx0 fx. Лемма Пусть функция fx имеет конечную производную в точке x0. Если эта производная f x0 0f x0 0, то для значений х, достаточно близких к x0 справа, будет fx fx0 fx fx0, а для значений x, достаточно близких слева, будет fx fx0 fx fx0. Доказательство По определению производной Если f x0 0, то найдется такая окрестность x0-d,x0d точки x0, в которой при хx0 fx-fx0x-x0 0. Пусть x0 x xd, так что х-х0 0 из предыдущего неравенства следует, что fx-fx0 0, т.е. fx fx0. Если же x-d 0E - противоречие с условием. 37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции xfx возьмем еще одну точку х соединим x0 и х - получим секущую.

Касательной назовем предельное положение секущей при хx0, если это предельное положение существует.

Т.к. касательная должна пройти чз точку x0,fx0 уравнение этой касательной если она не вертикальна имеет вид ykx-x0fx0. Необходимо только опр-ть наклон k касательной.

Возьмем произвольное число Dх0 так, чтобы x0DхОХ. Рассмотрим секущую МОМ, МОx0,fx0, Мx0Dх,fx0Dх. Уравнение секущей имеет вид укDхх-x0fx0, где kfx0Dх-fx0Dх - наклон секущей.

Если существует Lim кDх при Dх0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел.

Если Lim кDх при Dх0, то перепишем уравнение секу щей в виде x1kDхy-fx0x0 перейдя к пределам при Dх0, получим xx0 Lim xLim x0 Dх0 x Lim x0 Определение Производным значением функции f в точке х0 называется число f х0Lim fx0Dх-fx0 Dх xx0, если этот предел существует.

Геометрически f х0 - это наклон невертикальной касательной в точке x0,fx0. Уравнение касательной yf x0x-x0fx0. Если Lim fx0Dх-fx0Dх Dх0, то пишут fx0 касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением хx0. fx0limfx0Dх-fx0Dх xx0 fx0Dх-fx0Dхf x0ax, ax0 при xx0. fx0Dх-fx0fx0DхaxDх учитывая, что x0Dхx и обозначая axDх через ox-x0 получим fxf x0x-x0fx0ox-x0. Необхо димо заметить, что ox-x0 уменьшается быстрее чем x-x0 при xx0 т.к. ox-x0x-x00 при xx0 Определение Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если сОR в некоторой окрестности точки x0 fxСx-x0fx0ox-x0 Теорема Функция диффференцируема в точке x0 f x0 Доказательство fxf x0x-x0fx0ox-x0 fx0C fxCx-x0fx0ox-x0 fx-fx0x-x0Cox-x0x-x0Cax, ax0 при xx0. Переходим к пределу при xx0 Lim fx-fx0x-x0C0C Слева записано производное значение ф-ции f по определению Cfx0 Определение Если функция хfx дифференцируема в точке x0, то линейная функция Dхf x0Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и обозначается dfx0. диф-ал ф-ции хх обозначают dx. Т.о. dfx0Dхfx0Dх и dхDхDх. Отсюда dfx0f x0dх dfx0dх Dхfx0DхDхf x0 при Dх0. В силу этого пишут также f x0dfx0dх - обозначение Лейбница.

График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0. Докозательство fxfx0f x0x-x0ox-x0fx0 при xx0 f непрерывна в точке x0. Определение Нормаль к ф-ции f в точке x0 это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg90угол наклона касательной - Ctgнаклона касательной, получаем уравнение нормали y-1f x0x-x0fx0 38. Арифметика диф-цирования.

Производные тригонометрических функций.Теорема Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции fg, fg и fg при gx00 дифференцируемы в точке x0 и 1 fg x0f x0g x0 2 fg x0f x0gx0fx0g x0 3 fg x0f x0gx0-fx0g x0gx02 Доказательство 1 Dfx0fx0Dx-fx0 Dgx0gx0Dx-gx0 Dfgx0Dfx0Dgx0fx0Dx-fx0gx0Dx-gx0 Dfgx0Dxfx0Dx-fx0gx0Dx-gx0Dxfx0Dx-fx0Dxgx 0Dx-gx0Dxf x0g x0 при Dx0 2 Dfgx0fx0Dxgx0Dx-fx0gx0fx0Dfx0gx0Dx0-fx0g x0gx0Dfx0fx0Dgx0Dfx0Dgx0 Dfgx0Dxgx0Dfx0Dxfx0Dgx0DxDfx0DxDgx0DxDxf x0gx0fx0g x0 при Dx0 3 Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 Ф-ция g - непрерывна в точке x0 Е 0 Еgx02 d 0 Dx d gx0Dx-gx0 gx02. gx0-gx02 gx0Dx gx0gx02. Рассматривая функцию g при таких x Dx d видим что gx0Dx0. Рассмотрим разность 1gx0Dx-1gx0 Dx -gx0Dx-gx0Dxgx0Dxgx0 -g x0gx02 при Dx0 fg x0f1g x0 2 f x01gx0fx01g x0fx01gx0fx0-g x0gx02f x0gx0-fx0g x0gx02 Теорема Пусть fSinx, gCosx 1 Sin x0 Cos x0 2 Cos x0 -Sin x0 Доказательство 1 DfDxSinx0Dx-Sinx0Dx SinDx2Dx2 Cosx0Dx2 Сos x0 при Dx0 2 DgDxCosx0Dx-cosx0DxSinDx2Dx2-Sinx0Dx2 -Sin x0 при Dx0 Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования. 39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в точке y0gx0, тогда ф-ция hхfgх диф-ма в точке x0 и h x0fy0g x0 Доказательство Dyy-y0, Dxx-x0, Dfy0f y0DyoDy, Dgxog xoDxoDx, ygx0Dx Dhx0fgx0Dx-fgx0fy-fy0f y0DyoDyf y0gx0Dx-gx0oDgf y0g x0DxoDxoDy f y0g x0Dxf y0oDxoDy Dhx0Dxf y0g x0r, rfy0oDxDxoDyDx rfy0oDxDxoDyDxfy0axDxDxa xDyDxf y0axa xDyDxf y00 0g y0 при Dx0 ax0 a x0 Производная 1 xaaxa-1 Lim DyDxlimxDxa-xaDx Lim xa-1 1Dxxa-1Dxx. Используя замечательный предел x0 Lim 1xa-1xa, получим Dx0 Lim xa-1Lim1Dxxa-1Dxx axa-1 2 aX aXLn a xaX xeXLn a xeXLn a - композиция функций xеX и xxLn a обе непрерывны на R xaX xе XLn a xеXLn a xxLn a aXLn a Д-во eX eX LimDyDxLimeXDX-eXDxLimeXeDX-1Dx, используя зам-ный предел при x0 LimeX-1x1, получим при Dx0 LimDyDxeX 3 LogAx 1xLn a LimDyDx Lim LogAxDx - LogAxDx Lim 1xLogA1DxxDxx, используя замечательный предел при x0 Lim LogA1xx1Ln a, получим Lim DyDx Lim 1xLim LogA1DxxDxx1xLn a 40. Производная обратной функции.

Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g y01f x0, где y0fx0 Доказательство gfxx g fx1 g fx0g fx0f x01, g fx0gy01f x0 Теорема Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает a,b в а,b тогда обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает а,b в a,b. Если f диф-ма в точке x0Оa,b и f x00, то g диф-ма в точке y0fx0 и g y01f x0 Доказательство Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0 yNy0, yNy0 посл-ть xN xNgyN, fxNyN gyN-gy0yN-yO xN-xOfyN-fyO 1fyN-fyOxN-xO 1f xo при n, получили при xNxO gyN-gyOyN-yO1f xO g уO1f xO Производные 1 xArcsin x по теореме имеем Arcsin x1Sin y, где Sin yx при условии, что Sin y 0, получаем используя производную синуса Arcsin x1Cos y, т.к. Arcsin -1,1-П2,П2 и Cos-П2,П20,1, то Cos y0 и, значит Arcsin x 1Cos y 11-Sin2y12 11-x212 2 xArccos x -11-x212 3 xArctg x 11x2 4 xArcctg x -11x2 41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция f xxf x в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности.

Производная ф-ции f x - называется второй производной или производной порядка 2 ф-ции f в точке xO и обознача ется fx. Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее.

Для единообразия обозначаем через fNxO - производную порядка n функции f в точке xO и при n0 считаем f0xOfxO. Замечание Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка n-1 уже в некоторой окрестности точки xO следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности, в таком случае функция xfN-1x непрерывна в точке xO, а при n2 все производные порядка не выше n-2 непрерывны в некоторой окрестности точки xO. Определение Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO называют функцию dхfNxdх и обозначают dNfx. Таким образом dNfxdхfNxdxN. Так как fNxdхNdхfNxdxN, то dNfxfNxdхN. В силу этого соотношения производную fNx обозначают также dNfxdхN Инвариантность Пусть функции уfх и хgt таковы, что из них можно составить сложную функцию уfgt. Если существуют производные у х и х t то cуществует производная у tу хх t. Если х считать независимой переменной, то диф-ал dyy хdx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у tу хх t dyy tdty xх tdt. x tdtdх dyy tdtу хх tdtу xdх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции уfх и хgt таковы, что из них можно составить сложную функцию уfgt Если существуют производные у х и х t то существует производная у tу хх t и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dyy хdх, где dхx tdt. Вычисляем второй диф-ал по t d2ydy xdxdy xdxy xddx. Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy xух2dx d2yух2dx2xy xd2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2yу х2dx2x неинвариантность формы второго диф-ла. Формула Лейбница fxuxvx Доказательство по индукции. 1 n0 верно 2 Предположим для n - верно докажем для n1 Если для u и v n1 производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда n1. Произведение u0vN1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N1. Произведение uN1v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СNN1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uKvN1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k i-1, а во второй ik. Сумма соотв. коэффициентов будет получаем fN1xu0vN1 uN1v0 44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема Пусть fx непрерывна в замкнутом промежутке ab и диф-ма в открытом промежутке ab, если f x0 в ab, то fx-const в ab. Докозательство Пусть xb, тогда в замкнутом промежутке в ax по теореме Лагранжа имеем fx-faf aqx-ax-a 0 q т.к. по условию f x0 в ab, то f aqx-a0 fxfaConst для все хОab. Теорема Пусть fx непрерывна в замкнутом промежутке ab и диф-ма в открытом промежутке ab, тогда 1 f монотонно возрастаетубывает в нестрогом смысле в ab f x0f x0 в ab. 2 Если f x 0f x 0 в ab и f непрерывна в ab, то f строго возрастаетубывает в ab. Доказательство 1 Пусть f непрерывна на x ,x x , xОab, тогда по теореме Лагранжа fx-fx x-x f c, сОx ,x. По условию имеем f x0f x 0 в ab f c0f c 0 fxfx fxfx fx возрастаетубывает в нестрогом смысле в ab. 2 Используя аналогичные 1 рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим 2. Следствие Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f x в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума xO- локальный min, -xO локальный max 46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена.

Выпуклые функции.

Неравенство Йенсена.

Определение Множество М выпукло если А,ВОМ А,ВММ А,ВММ А,ВАtВ-АtО0,1 А1-ttВОМ А,ВММ А,ВОМ l11-t, l2t l1l21 l1,l20 l1Аl2ВОМ Рассмотрим точки А1,А2 АNОМ l1,l20 Si1,n lI 1 Докажем что Si1,n lIАI ОМ Д-во По индукции 1 n1, n2 - верно 2 Пусть для n-1 - верно докажем для n а lN1 приравниваем l1 l N-10 верно б lN 1 l1А1 lN-1А N-1 l NА N 1-l Nl11-l NА1 lN-11-l NА N-1 l NА N 1-l NB l NА N BОМ - по индуктивному предположению А NОМ - по условию 1-l NB l NА N ОМ Ч.т.д График Гf x,fxхОDf, Надграфик UPfx,yy fx Определение Функция f выпукла UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена АIОМ lI0 Si1,n lI 1 Si1,n lIАI ОМ, xI0, fxIyI Si1,n lIАI SlIxISlIyI fSlIxISlIyI Неравенство Йенсена АIОМ lI0 SlI 1fSlIxISlIfxI 47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема Пусть f определена в интервале ab, тогда следующие условия эквивалентны 1 f - выпукла в ab 2 x ,xO,xОab x xO x fxO-fx xO-x fx-fxOx-xO. Геометрический смысл при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство AB ky-fx xO-x fxO-fx xO-x yfxO AB kfx-yx-xOfx-fxOx-xO yfxO fxO-fx xO-x fx-fxOx-xO.