Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.
Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Пусть F(Z)î C¥(...
Пусть f(z)Î C¥(). Тогда значения f(z) во всех внутренних точках области (zÎg) можно выразить через значения f(z) на ¶g при помощи интеграла Коши .
Производная порядка n нашей подынтегральной функции по параметру z равна => она непрерывна везде внутри g => можно дифференцировать интеграл Коши произвольное число раз. Т.о. справедлива
Теорема 8.1. Пусть f(z)Î C¥(), тогда внутри g существуют производные произвольного порядка и верна формула
.
Замечание. Существенное отличие комплексных функций от функций действительной переменной, для которых из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших
производных. Например, функция y(x)=x|x| непрерывна на всей числовой прямой; ее производная y'(x)=2|x| также непрерывна на всей числовой прямой, однако, y"(0) не существует!
Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.
Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел.
Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 .
Доказательство. У сходящегося
Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S
Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0Îg называется правильной точкой функци
Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ
Новости и инфо для студентов