Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.
Неопределенный интеграл функции комплексной переменной. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Если G- Односвязная И F(Z)îc¥(G), То Для &qu...
Если g- односвязная и f(z)ÎC¥(g), то для "z1, z2Îg не зависит от пути интегрирования Т.о. при фиксированном z0 интеграл - функция только z!
Определение. Пусть g-односвязная область, f(z)ÎC(g) (не обязательно аналитическая!) и для " замкнутого контура gÌg =0. Функция - называется неопределенным интегралом от f(z).
Теорема 6.1.
Пусть g-односвязная, f(z)ÎC(g) и для " замкнутого контура gÌg , тогда $ , F(z)ÎC¥(g) и .
Доказательство.
В силу для " замкнутого контура не зависит от пути интегрирования => можем взять отрезок прямой, соединяющий точки z и Dz
В силу непрерывности f(z) правая часть неравенства может быть сделана меньше "e<0 для =>
$.
Т.о. F(z) – неопределенный интеграл от функции комплексного переменного f(z).
И F(z) – аналитическая, т.к. ее производная по условию теоремы непрерывна.§ 7. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши.
Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.
Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел.
Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 .
Доказательство. У сходящегося
Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S
Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0Îg называется правильной точкой функци
Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ
Новости и инфо для студентов