рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Теорема (Теорема Лорана) Если F(Z)...

Теорема (теорема Лорана) Если f(z)ÎC^¥(R₂<|z-z₀|<R₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= .

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца: (R₂<|z-z₀|<R₁) и построим окружности C₁:|x-z₀|=R'₁ и C₂ : |x-z₀|=R'₂ , с центром По формуле Коши для многосвязной области в силу аналитичности f(z), справедливо f(z)==f₁(z)+f₂(z)

Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на C₁

где введено обозначение

, n>0.

На окружности C₂:|x-z₀|=R'₂ выполняется неравенство. Поэтому, дробь
1/(x-z) можно представить в виде

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

где введено обозначение

Изменив направление интегрирования, получим:

, n>0

Подынтегральные функции в выражениях для c_n и c_-n являются аналитическими в круговом кольце R₂<|z-z₀|<R_1.. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение

, n=0,±1,±2,…

где C - произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R₂<|z-z₀|<R₁и содержащий точку z₀ внутри. Для f(z) окончательно можно записать:

f(z)=.

Т.к. z - произвольная точка внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ Þ ряд сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце R₂<R'₂£|z-z₀|£R'₁<R₁ ряд сходится к f(z) равномерно.

Докажем единственность разложения в ряд Лорана. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= , где хотя бы один коэффициент c'_n¹c_n. Тогда всюду внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ имеет место равенство: =

Проведем окружность C_R , радиуса R: R ₂<R<R₁ , с центром в точке z₀ . Тогда ряды и сходятся на C_Rравномерно.

Умножим оба ряда на (z-z₀)^-^m-1 , где m- произвольное целое число и проинтегрируем почленно по окружности C_R.

Рассмотрим .

Т.о. для " m c'_m=c_m.

Примеры. Разложить в ряд Лорана с центром в

1) ,

2) ,

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной

На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.
Если g- односвязная и f(z)ÎC¥(g), то для "z1, z2Îg не

Интегральная формула Коши.
Пусть f(z)Î C¥(). Выразим f(z0) (z0Îg) через значения f(z)

Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr

Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.

Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.
Пусть f(z)Î C¥(). Тогда значения f(z) во всех внутренних точках области (zÎg) можно в

Теоремы Мореры и Лиувилля.
Теорема Мореры. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то

Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел. Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется

Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 . Доказательство. У сходящегося

Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами an>0 и $

Формула Стирлинга.
Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом при

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Примеры. - сходится абсолютно. - сходится условно. Ра

Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.
Докажем некоторые достаточные признаки сходимости рядов. Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм

Ряды аналитических функций.
1. Понятие функционального ряда.Пусть дана последовательность {u k(z)} функций, z Î g. Выражение

Теорема Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд Scn(z-z0)n сходится в точке z1 ¹ z0 , то он абсолютно сходитс

Теорема Тейлора.
Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC¥(|z-z0|<R), то $! степенной ряд Scn(z-z0)

Ряды Тейлора элементарных функций.
1. (Воспользоваться Þ " k Ck=1/

Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек. Точка z0Îg называется правильной точкой функци

Нули аналитической функции.
Определение. Пусть f(z)ÎC¥(g); f(z0)=0, z0Îg, тогда z0 - нуль аналитической ф

Если бы все точки границы были бы правильными, то
"x: |x-z0|=R- граница круга сходимости $r(x)>0: "z |x-z|<r(x), т.е. з

Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ

Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Определение. Степенной ряд вида , сходящийся во круговом кольце