рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Кольцо сходимости ряда Лорана.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Кольцо сходимости ряда Лорана.

Кольцо сходимости ряда Лорана. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Определение. Рядом Лорана Называется Степенной Ряд Вида ...

Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степеням), здесь z₀ – фиксированная точка комплексной плоскости.

Второе слагаемое называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое - главной частью ряда Лорана.

Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.

Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией. Î C^¥(|z-z₀|<R₁).

Сделаем замену 1/(z-z₀)=x; главная часть ряда Лорана принимает вид . По теореме Абеля такой ряд сходится при , что соответствует внешности круга .

При R₂<R₁существует общая область сходимости - круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.
Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля :

1. ÎC^¥(R₂<|z-z₀|<R₁).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.

3. R₁ определяется через {c_n}, n=0,1,2...,: R₁=1/L₁, L₁= или L₁=, а R₂ - через {c_-n}, n=1,2...,: R₂=, или R₂=.

4. Коэффициенты ряда Лорана c_n через значения суммы ряда в точке z₀ не определяются! В точке z₀сумма ряда Лорана не определена!

Пимеры:

1) ,

2) ,

3) ,

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной

На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Кольцо сходимости ряда Лорана.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.
Если g- односвязная и f(z)ÎC¥(g), то для "z1, z2Îg не

Интегральная формула Коши.
Пусть f(z)Î C¥(). Выразим f(z0) (z0Îg) через значения f(z)

Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr

Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.

Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.
Пусть f(z)Î C¥(). Тогда значения f(z) во всех внутренних точках области (zÎg) можно в

Теоремы Мореры и Лиувилля.
Теорема Мореры. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то

Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел. Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется

Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 . Доказательство. У сходящегося

Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами an>0 и $

Формула Стирлинга.
Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом при

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Примеры. - сходится абсолютно. - сходится условно. Ра

Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.
Докажем некоторые достаточные признаки сходимости рядов. Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм

Ряды аналитических функций.
1. Понятие функционального ряда.Пусть дана последовательность {u k(z)} функций, z Î g. Выражение

Теорема Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд Scn(z-z0)n сходится в точке z1 ¹ z0 , то он абсолютно сходитс

Теорема Тейлора.
Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC¥(|z-z0|<R), то $! степенной ряд Scn(z-z0)

Ряды Тейлора элементарных функций.
1. (Воспользоваться Þ " k Ck=1/

Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек. Точка z0Îg называется правильной точкой функци

Нули аналитической функции.
Определение. Пусть f(z)ÎC¥(g); f(z0)=0, z0Îg, тогда z0 - нуль аналитической ф

Если бы все точки границы были бы правильными, то
"x: |x-z0|=R- граница круга сходимости $r(x)>0: "z |x-z|<r(x), т.е. з

Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.
Теорема (теорема Лорана) Если f(z)ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозн

Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Определение. Степенной ряд вида , сходящийся во круговом кольце