Теорема Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд Sc_n(z-z₀)ⁿ сходится в точке z₁ ¹ z₀ , то он абсолютно сходится и при " z: |z-z₀|<|z₁-z₀ |, причем в замкнутом круге

|z-z₀|£r<|z₁-z₀| сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z: |z-z₀|<|z₁-z₀|. В силу необходимого условия сходимости ряда $ A>0 : для " n |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A

Þ |c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ Þ |c_n(z-z₀)ⁿ|<A|(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ .

Но |(z-z₀)/(z₁-z₀)|=q<1 Þ |Sc_n(z-z₀)ⁿ|<ASqⁿ Þ ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Þ сходится абсолютно.

При |z-z₀| £ r <|z₁-z₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |Sc_n(z-z₀)ⁿ| £ AS|r/(z₁-z₀)|ⁿ < ASqⁿ , q<1 n

Следствия теоремы Абеля.
1. Если степенной ряд расходится в точке z₂ ¹ z₀ , то он расходится и при " z: |z-z₀|>|z₂-z₀ |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <|z-z₀ |, в частности и в точке z₂, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z₁-z₀ |=R для " z₁, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки z₀ до точек z₁, в которых сходится ряд Sc_n(z-z₀)ⁿ .

Если R¹¥, то для " z₂: |z₂-z₀|>R ряд расходится. Þ R=inf|z₂-z₀ |=R для
" z₂ , где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z₀|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 - радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы |z-z₀|=R может как сходиться, так и расходиться.

3.Формула Коши-Адамара.

R=1/L, L=

Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0<L<¥,

Тогда ряд сходится при

Если L=0, то

т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L=¥, то

т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

4. В " круге |z-z₀|£r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса Sc_n(z-z₀)ⁿ=f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!

6. Sc_n(z-z₀)ⁿ=f(z) Þ c₀=f(z₀), Sc_n+1(n+1)(z-z₀)ⁿ=f '(z) Þ c₁=f '(z₀)…
Sc_n+k(n+k)!(z-z₀)ⁿ=f^(k)(z) Þ c_k=f^(k)(z₀)/k!

7. Пример. : " c_n=1 Þ R=1.

S_n=[1-(z-z₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z-z₀)]; |z-z₀ |<1

=1/[1-(z-z₀)]. Þ =1/[1-(z-z₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

1) по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для каких z.

2) по формуле Коши-Адамара R=1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z=-1 ), а в других расходится (z=1 ),.

3) по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся .

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)

Итак Sc_n(z-z₀)ⁿ=f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает