рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Покажем, Что Общее Решение Лнду Можно Найти В Квадратурах, Если Известно Обще...

Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.

Рассмотрим ур-ие у''(х) + р₁(х) у'(х) + р₀(х) у(х) = f(x) (1). Будем искать общее решение неоднородного ДУ в том же виде, что и решение ЛОДУ, заменяя произв. постоянные С₁ и С₂ некот. непрер. диффер. ф-циями от х, т.е. общее решение неоднор. будем искать в виде y(х) = C₁(x)y₁(x) + C₂(x)y₂(x) (2), где y₁(x) и y₂(x) образ. ФСР однородного ДУ. Выберем C₁(x) и C₂(x) так, что у(х), определ. формулой (2) было общим решением (1).

у'(х) = C'₁(x)y₁(x) + C₁(x)y'₁(x) + C'₂(x)y₂(x) + C₂(x)y'₂(x), где C'₁(x)y₁(x) + C'₂(x)y₂(x) = 0.

у''(х) = C'₁(x)y'₁(x) + C₁(x)y''₁(x) + C'₂(x)y'₂(x) + C₂(x)y''₂(x).

(2) вместе с её производными у'(х) и у''(х) подставим в (1) и получаем: C'₁(x)y'₁(x) + C'₂(x)y'₂(x) = f(x).

Для определения C'₁ и C'₂ получаем систему: (3), которая имеет единств. решение на [a,b]. Определив С₁(х) и С₂(х) и подставив в (2) получим общее решение (1).

, где . . Аналогично, .

Тогда .

Зам.В случаи ЛНДУ с непрер. коэф. n-ого порядка у⁽ⁿ⁾ + р_n_-1(х) уⁿ^-1 +…+ р₁(х)у' + р₀(х)у = f(x) общее решение будет иметь вид: y_o_н = С₁(х)у₁(х) + С₂(х)у₂(х) + ... +С_n(х)у_n(х), где у₁(х), у₂(х), ..., у_n(х) – ФСР соответств. однородного ур-ия L_n[y] = 0. Для определения С_k(x), k = {1, …, n} можно получить систему: . Определитель Вронского этой системы не равен 0 => л.н. с-ма ур-ий относит. С'_k имеет единств. решение. , где W_nk – алгебр. дополнение n-ой строки. , k = {1, …, n}.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1). Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.
Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. Л

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассм лин с-му: (1), или (1')

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(