ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.

Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', …, y^(n-1) ) (2). Всякая ф-ция y = ϕ(x) (4)определ. и непрер. диф-ма n раз на интервале (a,b) наз. решением ДУ (1) в (a,b), если она обращает (1) в тождество: F(x, ϕ(х), ϕ'(х), ϕ''(х), …, ϕ⁽ⁿ⁾(х)) = 0 (3).

Геом. смысл. Всякому реш-ю (4) ДУ (1) соотв-ет на пл-ти ХУ соотв-я некоторая кривая, кот наз интегральной кривой. Подобно тому, как ур-е 1-го порядказадает некоторое общее свойство семейства касательных всех интегральных кривых. Каждое ур-е -го порядка выражает собой некоторое общее геом св-во всех интегральных кривых.

Всякое ур-е 2-го порядка (5)можно переписать в виде: (6)

харак-ет кривизну.

Это ур-е представляет собой в общем случае связь между координатами наклоном кас-ой к кривой и кривизной в каждой точке интегральной кривой.

Геом св-во , выражаемое ур-ем (7), состоит в том, что все интегр кривые имеют одну и ту же кривизну К. таким свойством обладают окр-ти радиуса . Все окр-ти (8) явл-ся интегр кривыми ДУ (7).

Механическое толкование.

M(x)

Рассм прямолин движение матер. точки М по оси ОХ. выражают соотв положение точки, скорость, и ускорение в момент времени . Считая, что в общем случае сила, действующая на точку, есть ф-я , зависящая от времени, положения и скорости, и считая , что масса равна 1 , согласно 2-му зак Ньютона, имеем ур-е: (9) - закон движения точки по оси ОХ.

Всякая ф-я явл-ся реш-ем ур-я (9), соотв некоторому движению (выражается закон движения) , т.е зависимость положения точки от времени.

Осн задачей интегрирования ур-я (9) явл-ся изучение всех движений и св-в этих движений.

Задача Коши.

Для ДУ (2) задача Коши сост. след. образом: среди всех решений ур-ия (2) найти решение у = у(х) (10), в кот. ф-ция у(х) вместе с её производными до (n-1) порядка включительно принимает заданные значения при х = х₀. Т.е. (11), где заданные числа и условие (11) наз. начальными условиями, или условиями Коши.

В случаи ур-ия 2-го порядка: (12) задача Коши состоит в нахождении р-ия (10), удовл. начальным условиям: при .

С геометр. (.) зрения это нахождение такой интегральной кривой, которая бы проходила через (.) (х₀, у₀) и имела в этой (.) заданное направление касат.

С механической (.) зрения: для ДУ (9) задача Коши сост. в том, что при всех движениях, определ. этим ур-ем найти движение x = x(t), кот. удовл. бы начальным условиям: при t = t₀.

Теорема Пикара. Пусть дано ур-ие (2) y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', …, y^(n-1)) разрешённое относительно старшей производной и даны нач. усл. (11) . Пусть ф-ция f(x, y, y', y'', …, y^(n-1) ) определена в некотор. замкнут. огранич. обл. D: |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b, |y'-y'₀| ≤ b, …, |y^(n-1)-y₀^(n-1)| ≤ b c точкой (x₀, y₀, y₀', y₀'', …, y₀^(n-1)) внутри, a и b – заданные положит. числа. И эта ф-ция удовл. в D след. 2 усл.:

1) ф-ция f(x, y, y', y'', …, y^(n-1) ) непрер. по всем своим аргументам, а => огран., т.е. |f(x, y, y', y'', …, y^(n-1) )| ≤ M, где M > 0, а точка (x, y, y', y'', …, y^(n-1)) – любая точка обл. D.

2) ф-ция f(x, y, y', y'', …, y^(n-1)) имеет огранич. частные произв. по перемен. y, y', y'', …, y^(n-1) т.е . Точка - любая точка из D.

Тогда ур-е (2) имеет единствен реш-е у=у(х), удовлетв нач. усл (11). Это реш-е опр-но и непр-но вместе со своими производными до порядка n включительно в промежутке , где .

Опр.Соотношение Ф(х, С₁, С₂,..., С_n)=0 наз. общим интегралом ур-ия (2), если это соотношение определяет общее решение у = ϕ(х, С₁, С₂,..., С_n).

Опр. Если решение ур-ия (2) состоит только из (.) единств. решений задачи Коши, то оно наз. частным решением. Решения, получ. из формулы общего решения при частных числ. знач. С₁, С₂,..., С_n включая и будет очевидно частным решением.

Опр. Решение, в каждой (.) кот. нарушена единств. решения задачи Коши наз. особым решением.