рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Ур-Е Вида (1...

Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэф.

В силу т-мы о стр-ре общего реш-я ЛОДУ задача построения общего реш-я (1) будет решена , если будет построена хотя бы одна ФСР. Далее будет показано, что эта ФСР будет построена из элементарных ф-ий.

Итак, следуя Эйлеру, будем для ЛОДУ n-го порядка искать частн реш-я в виде: (2), где -некоторое постоян число(действит или комплексное).

Подставим (2) в (1):

, (3).

, где (4)

Т.к , то ур-е (1) м.б. записано : (5) -ХУ ур-я (1).

Его корни наз. характ. числа ЛОДУ (1). Ур-е (5) имеет n корней с учетом кратности.

1) Пусть все корни ур-я различны, но среди них имеются комплексные.

Пусть - компл корень ур-я (5)

Т.к, все коэфф ХУ действительные, то оно должно иметь и сопряженный корень

Корню в силу ф-лы (2) будет соответствовать реш-е: (7)

Это реш-е компл, поэтому, поэтому действительная и мнимая часть , т.е , , явл реш-ем ур-я (1). Эти реш-я л.н на всем .

Реш-ю соотв реш-е .

Сопряженный корень не порождает новых л.н решений.

Т.о, если все корни ХУ различны, но среди них есть компл корни, то каждому вещественному корню соотв реш-е вида , а каждой паре комлексно сопряженных корней соотв два веществ л.н корня вида (8). Всего n корней вида (9). Эти корни образуют ФСР, т.к они л.н. в силу т-мы о стр-ре реш-ий ЛОДУ общее реш-е ур-я (1) –это линейная комбинация всех реш-ий вида (9).

Лемма: Если - корень ХУ кратности k, то ф-и - л.н реш-я ур-я (10) на любом промежутке .

► Линейная незав-cть этих ф-ций можно установить след образом: то

-л.н. выполняется т и т.т, когда .

(1)

=> - явл. решением линейного оператора, при m={0,k-1}.◄

Если ХУ имеет комплексный корень кратности k, то оно имеет и сопряж. корень той же кратности. Согласно доказаному соответствует решение эти решения комплексны, но действит. и мнимые части также явл. решениями ДУ эти решения л.н. Т. обр. любой паре сопряж. комплексных корней соотв. 2kвеществ. л.н. решения вида последней с-мы.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1). Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия. Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассм лин с-му: (1), или (1')

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(