Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах M(X,y)Dx + N(X,y)Dy = 0 (1)Является Линейным Ду, Если...
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x) (2).Рассм. ур-ие (2) у' = -р(х)у+g(x). Предположим, что известно некоторое решение этого уравнения у1: у1' = -р(х)у1+g(x) (6)хϵ(a,b).
Введём новую переменную: у = z+y1(7) и подставим её в (2): z'+y1'+p(x)z+p(x)y1=g(x). z1+p(x)z=0 (8) –линейное однородное ур-ие, левая часть кот. имеет вид как левая часть (2). Это ур-ие наз. однородным лин. ур-ием соотв. ур-ию (2). Решение (8) в силу (4) имеет вид , где С – произв. константа, и тогда у в силу (7) имеет вид (9). (9) содержит все решения (2) в полосе I=(a,b), . Т.обр. доказана следующая теорема.
Теор. Если у1 есть частное решение неоднор. линейного ур-ия (2), то общее решение этого ур-ия задаётся формулой (7): у = z+y1, где . z – общее решение соотв. однородного ур-ия (8).
Метод Лагранжа. Будем искать решение ур-ия (2) в том же виде, что и общее решение (4) соотв. однородного ур-ия, но будем считать С – некоторой непрер. диф-мой ф-цией от х, т.е. положим (10).Выберем С(х) так, чтобы (10) удовл. ур-ию (2): . . (11) – общее решение линейного неоднор. ДУ (2).
В (11) можно заменить неопред. интеграл на определённый, т.е. (12).Если в (12) положить, что х = х0 и у(х0) = у0, то получим решение неоднор. лин. ур-ия в форме Коши.
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов