Физические модели в механике

Физические модели в механике

 

Материальная точка

Тело, обладающее массой, размерами которого можно пренебречь.

Система материальных точек

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка.

 

Абсолютно твердое тело

Тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Абсолютно упругое тело

Тело, деформация которого подчиняется закону Гука, а после прекращения действия внешних сил принимает свои первоначальные размеры и форму.

Абсолютно неупругое тело

Тело, полностью сохраняющее деформированное состояние после прекращения действия внешних сил.

Механическое движение

Система координат

В простейшем случае это прямоугольная декартова система координат ХУZ.

- радиус-вектор это вектор перемещения, проведенный из начального положения движущейся точки в ее положение в данный момент времени (рис. 1).

 

Кинематические уравнения движения материальной точки

или

Траектория

Геометрическое место точек, описываемое движущейся материальной точкой относительно выбранной системы координат. Различают прямолинейное движение, криволинейное движение, движение по окружности и т.д.

 

Поступательное движение

Движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом и проведенная через две произвольные точки данного тела, остается параллельной самой себе.

 

Вращательное движение

Движение, при котором все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой ОО, называемой осью вращения (рис.2).

 

Кинематика поступательного движения

Скорость – векторная величина, которая определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени (измерение в м\с).

Средняя скорость

Мгновенная скорость

Модуль мгновенной скорости

Проекции вектора скорости на оси координат .

Движение в одной плоскости .

Ускорение и его составляющие

Ускорение – характеристика неравномерного движения, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению (измерение в м\с2).

Среднее ускорение ;

Мгновенное ускорение ;

Тангенциальное ускорение ;

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлено к центру кривизны траектории).

;

Полное ускорение при криволинейном движении .

Это геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих ускорения.

 

Классификация движения в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения

 

Тангенциальное ускорение	Нормальной ускорение	Движение
		Прямолинейное равномерное
==		Прямолинейное равнопеременное
=		Прямолинейное с переменным ускорением
		Равномерное по окружности
		Равномерное криволинейное
		Криволинейное равнопеременное
=		Криволинейное с переменным ускорением

 

Равномерное движение(; ).

Пройденный путь: при ; ; при ; .

Равноускоренное движение(). Скорость: при ; ; ; При ;; ;

Вычисление пройденного пути

 

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до ;

Путь, пройденный материальной точкой за время при равномерном движении ;

Путь, пройденный материальной точкой за время при равноускоренном движении .

Свободное падение тел

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Движение тела, брошенного горизонтально

  Исходные данные Тело брошено с начальной скоростью под углом к горизонту Без учета сопротивления воздуха ускорение тела…  

Кинематика вращательного движения твердого тела

Элементарный угол поворота

Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта.

Угловая скорость

; ;

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же как и вектор (см. рисунок).

Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени.

 

Связь модулей линейной и угловой скоростей

; .

Связь векторов линейной и угловой скоростей

Положение рассматриваемой точки задается радиусом-вектором (проводится из лежащего на оси вращения начала координат О). Векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный , т.е. . Единица угловой скорости - 1 рад\ с или с-1.

Равномерное движение материальной точки по окружности

Равномерное движение материальной точки по окружности – движение, при котором материальная точка (тело) за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности ().

 

Период вращения Т

Время, за которое материальная точка совершает полный оборот по окружности, т.е. поворачивается на угол .

Так как промежутку времени соответствует , то .

 

Частота вращения

Число полных оборотов, совершаемых материальной точкой при равномерном ее движении по окружности, в единицу времени.

 

Характерная особенность равномерного движения по окружности

Равномерное движение по окружности – частный случай криволинейного движения. Движение по окружности со скоростью, постоянной по модулю () является ускоренным. Это обусловлено тем, что при постоянном модуле направление скорости все время меняется.

Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности

Тангенциальная составляющая ускорения равна нулю . Нормальная составляющая ускорения (центростремительное ускорение) направлена по радиусу к центру окружности. В любой точке окружности вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости.

Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин

Угловое ускорение – векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени.

Направление вектора углового ускорения

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.

При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему.

 

 

Единица углового ускорения – 1 рад\с² или с^-2

Связь линейных и угловых величин

(R- радиус окружности; v - линейная скорость; - тангенциальное ускорение; - нормальное ускорение; - угловая скорость).

 

Основы динамики поступательного движения

Первый закон Ньютона

Всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

 

Инерциальная система отсчета

Система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

 

Масса и импульс тела. Сила

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу. Масса величина постоянная (не изменяется при движении тела).

 

Импульс материальной точки (тела)

Векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки (тела) на ее скорость и имеющая направление скорости.

 

Сила

Векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свой форму и размеры. Сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Второй и третий законы Ньютона

Второй (основной) закон динамики

Скорость изменения импульса материальной точки (тела) равна действующей на нее силе.

– это уравнение движения материальной точки.

Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

; ;

. Единица силы 1 Н=1 кг∙м/с²

Примечание: второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета

Принцип независимости действия сил

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, согласно второму закону Ньютона, как будто других сил нет.

Ускорение, приобретаемое точкой под действием нескольких сил .

Сила может быть разложена на две составляющие – тангенциальную () и нормальную () (см. рисунок).

 

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона

Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль одной прямой, соединяющей эти точки.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек.

Энергия. Работа силы

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Виды энергии – механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и т.д.

Работа силы– количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами.

Работа постоянной силы равна произведению проекции силы на направление перемещения , умноженной на перемещение точки приложения силы.

Элементарная работа силы на перемещении равна

Где α - угол между векторами и ; = - элементарный путь; - проекции вектора на вектор .

Работа – величина скалярная.

Работа силы на участке траектории 1-2

Для вычисленияэтого интеграла надо знать зависимость от вдоль траектории 1-2 (см рис.).

 

Геометрический смысл выражения для А: искомая работа определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

Единица работы – работа, совершаемая силой, равной 1 Н на пути 1 м.

Дж; 1Дж=1 Н ∙ м

Мощность - физическая величина, характеризующая скорость совершения работы .

Мощность, развиваемая силой равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы. За время сила совершает работу , и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени равна . Мощность – величина скалярная.

Единица мощности: 1 Вт; 1 Вт = 1 Дж/с.

1 ватт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж.

 

Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы.

Свойства кинетической энергии - всегда положительна; неодинакова в разных инерциальных системах отсчета; является функцией состояния системы.

Связь работы и кинетической энергии осуществляется по следующей зависимости: . .

Приращение кинетической энергии материальной точки (тела) на элементарном перемещении равно элементарной работе на том же перемещении.

Сила , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Работа силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии тела.

Можно записать:

Кинетическая энергия тела массой , движущегося со скоростью определяется работой, которую надо совершить, чтобы сообщить телу данную скорость: .

Работа сил при перемещении тела из точки 1 в точку 2 :

 

 

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки:

Приращение кинетической энергии материальной точки не некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на материальную точку на том же перемещении.

 

Потенциальное поле – поле, в котором работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений.

Консервативная сила – сила, работа которой при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения тела.

Пример. Сила тяжести.

Диссипативная сила – сила, работа которой зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую. Пример. Сила трения и сопротивления.

Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.

 

Потенциальная энергия и консервативные силы

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Работа консервативных сил не зависит от траектории и по любому замкнутому пути равна нулю. Изменение потенциальной энергии, равное по величине работе, тоже не будет зависеть от траектории и по любому замкнутому пути будет равно нулю. Следовательно, запас потенциальной энергии, как возможной работы консервативных сил, определяется только начальной и конечной конфигурациями системы.

 

Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «минус» (работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).

Потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Связь между консервативной силой и потенциальной энергией осуществляется по следующей зависимости

Для консервативных сил

или в векторном виде .

- градиент скаляра П (, , - единичные векторы координатных осей).

Потенциальная энергия тела массой на высоте вычисляется по формуле .

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины):

Работа силы при деформации пружины идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Элементарная работа, совершаемая силой при бесконечно малой деформации ,

Полная работа , где – коэффициент упругости (для пружины – жесткость); - проекция силы упругости на ось Х направлена в сторону, противоположную деформации . По третьему закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена. Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля.

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения механической энергии

Пусть дана система материальных точек массами , движущихся со скоростями .

Запишем второй закон Ньютона для каждой из материальных точек:

 

Где - равнодействующие внутренних консервативных сил, приложенных к каждой из этих точек;

- равнодействующие внешних сил, которые считаются консервативными;

- равнодействующие внешних неконсервативных сил, приложенных к каждой из материальных точек.

 

Изменение полной механической энергии системыравно работе внешних неконсервативных сил, действующих на систему.

Закон сохранения механической энергии имеет вид.

В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Закон сохранения энергии – следствие однородности времени.

Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависит от того, когда тело начало падать.

Закон сохранения и превращения энергии

Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Этот закон – фундаментальный закон природы, он справедлив для систем как макроскопических, так и микроскопических тел.

Механика твердого тела

Момент инерции. Кинетическая энергия вращения

Момент инерции тела относительно неподвижной оси

Равен сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс

Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины и являются функциями точки (например, декартовых координат ).

- плотность тела в данной точке; - масса малого элемента тела объемом , отстоящего от оси вращения на расстоянии .

 

Моменты инерции однородных тел

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния между осями.

 

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

· Тело вращается вокруг неподвижной оси z. · Мысленно разбиваем тело на элементарные массы , находящиеся от оси на… · При вращении твердого тела элементарные объемы массами опишут окружности различных радиусов . …

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Плоским или плоскопараллельным движением называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Кинетическая энергия тела при плоском движении определяется по формуле:

Складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела. (m - масса тела; v - скорость центра масс тела; J - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела).

Центром масс или центром инерции системы называется такая геометрическая точка С, положение которой определяется в каждый момент времени следующими координатами: радиус – вектор центра масс определяется по формуле .

Для тела не слишком больших размеров центр тяжести геометрически совпадает с его центром масс.

 

Момент силы относительно неподвижной точки О и неподвижной оси Z. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент силы относительно неподвижной точки О-это физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу .

Момент силы – это векторная величина, его направление определяется следующим образом: если сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, то вектор перпендикулярен плоскости действия силы и направлен вверх. Модуль вектора момента силы: из центра точки О надо восстановить перпендикуляр на линию действия силы, тогда (- угол между и ; = - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы).

 

Момент силы относительно неподвижной оси Z

Это скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси Z. Значение момента импульса не зависит от выбора положения точки О на оси Z.

Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью.

 

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Сила приложена к точке В, находящейся от оси на расстоянии r , - угол между направлением силы и радиусом – вектором . Так как тело абсолютно твердое (по определению – это такое тело расстояние между двумя точками которого с течением времени не изменяется), то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

Работа при вращении тела определяется по формуле .

При повороте тела на бесконечно малый угол точка В силы проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения . Учитывая, что , получаем .

 

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии: ,

Тогда или Так как то .

 

(J_z - момент инерции тела относительно оси Z ; - угловое ускорение).

 

Момент импульса и закон его сохранения

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О

 

Модуль вектора момента импульса (см. рисунок)

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси Z

по модулю

 

Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения

твердого тела .

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанных с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. В основе исследования лежат два метода: статистический и термодинамический.

Статистический и термодинамический методы

Термодинамические системы, параметры и процессы

Термодинамическая система – совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с внешней средой.

Замкнутая термодинамическая система – система, не обменивающаяся с внешней средой ни энергией, ни веществом.

Термодинамические параметры (параметры состояния) – температура, давление, объем.

Термодинамический процесс – любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров.

Система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (внешние условия при этом не изменяются).

Температура – физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы и определяющая направление теплообмена.

Шкала температур

Международная практическая шкала (шкала Цельсия)

Градуируется в градусах Цельсия (0С). Определяется двумя реперными точками: 00С и 1000С – соответственно температуры замерзания и кипения воды при давлении 1,013∙105 Па.

Термодинамическая температурная шкала (шкала Кельвина)

Градуируется в кельвинах (К). Определяется по одной реперной точке, в качестве которой взята тройная точка воды ( температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давлении 609 Па находятся в термодинамическом равновесии). Температура этой точки по данной шкале равна 273,16 К (точно). Температура Т=0 К называется нулем Кельвина.

В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давлении, что и в Международной практической шкале).

Термодинамическая температура (Т) и температура t по Международной практической шкале связаны соотношением Т =273,15 + t.

Законы, описывающие поведение идеальных газов

Идеальные газы

Свойства:

Собственный объем молекул газа пренебрежительно мал по сравнению с объемом сосуда.

Между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия.

Столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Эта модель может быть использована при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нормальным, а также при низких давлениях и высоких температурах близки по свойствам к идеальному газу.

 

Основные понятия молекулярно-кинетической теории

Атом– наименьшая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств.

Молекула– наименьшая устойчивая частица вещества, обладающая его основными химическими свойствами и состоящая из атомов, соединенных между собой химическими связями.

Количество вещества– физическая величина, определяемая числом специфических структурных элементов – молекул, атомов и ионов, из которых состоит вещество (единица количества вещества – моль).

Постоянная Авогадро- моль^-1.

Молярная масса - (- масса одной молекулы; - постоянная Авогадро). Единица молярной массы – 1 кг/моль.

Молярный объем –V_м = ᴠ/единица молярного объема – 1м³/моль.

 

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

· Рассматривается одноатомный идеальный газ. · Молекулы газа совершают хаотическое движение, причем все направления… · Число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда. …

Импульс, передаваемый молекулами при столкновении с площадкой

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс (m₀ – масса молекулы).

 

Давление газа, оказываемое им на стенку сосуда

(ᴠ - скорости молекул, вначале принятые одинаковыми).

 

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов (МКТ)

Если газ в некотором объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂, …, v_n, то вводят среднюю квадратичную скорость

(р – давление газа; n – концентрация молекул; m₀ – масса одной молекулы; - средняя квадратичная скорость молекул).

Другие формы записи основного уравнения МКТ

Основное уравнение МКТ

p, V – соответственно давление и объем; N - число молекул в объеме V; m0 – масса одной молекулы; - средняя квадратичная скорость молекул; Е –… Средняя квадратичная скорость молекул Уравнение, определяющее

Термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры. При температурах, близких к 0К, это выражение несправедливо, т.е. не пропорционально Т. Поэтому некорректно говорить о том, что при 0К движение молекул прекращается. В настоящее время доказано, что при 0К частицы вещества совершают нулевые колебания. Здесь «» - постоянная Больцмана, равная 1,38∙10-23 Дж/К.

Основы термодинамики

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы

Число степеней свободы молекул – число независимых переменных, полностью определяющих положение системы в пространстве.

Число степеней свободы для различных моделей молекул

Энергия, приходящаяся на поступательную степень свободы

Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения .

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы

Для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная , а на каждую колебательную степень свободы – в среднем энергия, равная . Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движения), но и потенциальная энергия, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы.

Средняя кинетическая энергия молекулы

,

Где i = iпост + iвращ + 2iколеб (i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы).

Внутренняя энергия термодинамической системы

Внутренняя энергия U – энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц.

· К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

· Внутренняя энергия – однозначная функция термодинамического состояния системы.

· При переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода.

Внутренняя энергия 1 моль идеального газа

В идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю (молекулы не взаимодействуют), поэтому U_m равна сумме кинетических энергий N_A молекул.

Внутренняя энергия произвольной массы газа

,

 

m – масса газа; М – молярная масса; - количество вещества; k - постоянная Больцмана; R – молярная газовая постоянная; N_A - постоянная Авогадро; i – число степеней свободы молекулы; Т – термодинамическая температура.

 

Первое начало термодинамики

Первое начало термодинамики – закон сохранения и превращения энергии применительно к термодинамическим процессам.

Теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил.

В дифференциальной форме:

Работа, совершаемая идеальным газом при его расширении

Элементарная работа:

Полная работа при изменении объема от V₁ до V₂

Теплоемкости. Уравнение Майера

· Теплоемкость:- Величина, определяемая количеством теплоты, которое необходимо сообщить телу (системе), чтобы повысить его температуру на 1К (Дж/К)

· Удельная теплоемкость(Дж/кг∙К)

· Молярная теплоемкость(Дж/моль∙К)

· Связь удельной и молярной теплоемкостей(M - молярная масса; m – масса вещества; - количество вещества.

Молярные теплоемкости при постоянных объеме и давлении

· Молярная теплоемкость при постоянном объемеравна изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1К.

Или, где i – число степеней свободы.

· Молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Уравнение Майера

Толкование уравнения Майера: Ср всегда больше СV на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа.

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

Изопроцессы - равновесные процессы, в которых один из основных параметров поддерживается постоянным.

Изохорный процесс V=const

Работа - - газ не совершает работы над внешними телами.

Первое начало термодинамики

Теплота, сообщенная газу в изохорном процессе, идет на увеличение его внутренней энергии.

Теплота. Внутренняя энергия.

Изобарный процесс (р=const)

Изобара – в координатах р, V – прямая, параллельная оси V.

Работа изобарного расширения

Из уравнения Клапейрона - Менделеева получаем .

Физический смысл молярной газовой постоянной

Если в выражении работы изобарного расширения , Т2 – Т1= 1К, то для 1 моль газа R=A, т.е. молярная газовая постоянная R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1К.

Теплота

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину dU и при этом газ совершает работу . Внутренняя энергия -

Изотермический процесс (Т=const)

В координатах р, V – гипербола (pV = const). Это изотермическое расширение.

Первое начало термодинамики

Все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил.

Внутренняя энергия

При Т=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется.

 

Теплота

 

Адиабатный и политропный процессы

Адиабатный процесс

Адиабатный процесс – процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой.

Это условие на практике неосуществимо. Оно выполняется только для быстро протекающих процессов.

Первое начало термодинамики

В случае адиабатного процесса система совершает работу за счет убыли внутренней энергии системы.

Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона)

Уравнения адиабатного процесса в переменных Т, V и р, Т

 

Показатель адиабаты (показатель Пуассона)

Для одноатомных газов i =3, ɣ = 1,67; для двухатомных – i = 5; ɣ = 1,4.

i – число степеней свободы; - соответственно молярные и удельные теплоемкости при постоянных давлении и объеме.

Адиабата – в координатах p,V – это гипербола.

 

Сравнение адиабатного и изотермического процессов

В адиабатном () и изотермическом (pV = const) процессах наблюдаются существенные различия в характере изменения давления при расширении (рис. а) и сжатии (рис. б). Поскольку ɣ>1, адиабата идет круче, чем изотерма. Это можно объяснить тем, что при адиабатном сжатии газ нагревается (увеличение р обусловлено не только уменьшением V (как при изотермическом процессе), но и повышением температуры). При адиабатном расширении газ охлаждается (уменьшение р обусловлено не только увеличением V (как при изотермическом процессе), но и уменьшением температуры).

 

Работа газа в адиабатном процессе

 

Политропный процесс

Политропный процесс – процесс, в котором теплоемкость остается постоянной.

C = const

Уравнение и график политропного процесса

Политропа – график (гипербола) зависимости между параметрами

состояния C = const. (n – показатель политропы, )

Частные случаи политропного процесса

С=0	n=γ	pVγ=const	Уравнение адиабаты
C=	n=1	pV=const	Уравнение изотермы
C=Cp	n=0	р=const	Уравнение изобары
C=CV	n=±	V=const	Уравнение изохоры

Сравнение различных газовых процессов

Круговой процесс (цикл) Круговой процесс (цикл) – процесс, при котором система, пройдя через ряд…

Прямой цикл и его применение – цикл, за который совершается положительная работа> 0 (цикл протекает по часовой стрелке). Прямой цикл используется в тепловых двигателях – периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты.

Обратный цикл и его применение – цикл, за который совершается отрицательная работа < 0 (цикл протекает против хода часовой стрелки). Обратный цикл используется в холодильных машинах – периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телам с более высокой температурой.

Коэффициент полезного действия для кругового процесса

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние, т.е. изменение внутренней энергии газа равно нулю.

 

Обратимые и необратимые процессы

Обратимый процесс – термодинамический процесс, который может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений.

Необратимый процесс – всякий процесс, не удовлетворяющий условию обратимости процесса.

· Все реальные процессы необратимы, поскольку сопровождаются диссипацией энергии (из-за трения, теплопроводности и т.д.).

 

Важность изучения обратимых процессов

Обратимые процессы – это идеализация реальных процессов. Их рассмотрение существенно по двум причинам:

· Многие процессы в природе и технике практически обратимы;

· Обратимые процессы являются наиболее экономичными; имеют максимальный термический коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения КПД реальных тепловых машин.

Энтропия

Качественное отличие теплового движения молекул от других форм движения – его беспорядочность, хаотичность. Поэтому для описания теплового движения вводят количественную меру степени молекулярного беспорядка.

Энтропия – функция состояния, дифференциалом которой является . Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю: . Этот интеграл не зависит от пути интегрирования (последовательности промежуточных состояний), т.е. подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, которым система пришла в это состояние, или от предыстории системы. Единица энтропии S – 1 Дж/К.

Неравенство Клаузиуса

≥ 0

Энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

· Это выражение относится только к замкнутым системам. Если система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом.

Изменение энтропии системы при ее равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2

Или

Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий (важны только изменения состояний)

 

 

Изменение энтропии идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 12.

 

 

 

 

Развернуть

Открыть в широком формате