Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ. Выполнил Проверил г.Пермь 2000. Построение математической модели прогнозирования поведения является трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка.В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим выводом о поведении доходности и ценовых показателей.

В набор критериев входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с торговых площадок, экспертные оценки специалистов.Процедура прогнозирования состоит из этапов 1. Подготовка и предварительная фильтрация данных 2. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией 3. Моделирование погрешности с помощью линейной сети. Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с нейросетями. 1-й этап. Подготовка выходных данных. Выходными данными являются zi yi-pi, где yi - реальное значение прогнозируемой величины на некоторую дату, pi - рассчитанное на эту дату с помощью линейного анализа. 2-й этап. Нормирование входных сигналов. 1 где xij - j-я координата некоторого критерия Xi, MXi - выборочная оценка среднего квадратичного отклонения. 3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети. Используются функции активации стандартного вида сигмоидная, ступенчатая, а также следующего вида 5 Архитектура нейронной сети представлена на рисунке вектор входных сигналов вектор выходн. Вектор сигналов входных сигналов Введены следующие обозначения j - линейные сумматоры fj - нелинейные функции используемые для аппроксимации - итоговый сумматор. 4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на одном из следующих методов обратного распространения ошибки, градиентного спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском.

Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности. 5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения PPлинРнелинЕнелин где Р итоговое прогнозируемое значение, Рлин и Рнелин значение линейного и нелинейного анализов. Енелин погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.

Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем.

В основе разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по переводу портфеля в класс оптимальных.

Используемый поход основан на предположениях, что эффективность инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной случайной величины, математическое ожидание которой характеризует доходность mmii1 n, где miMRi, i1 n, матрица ковариаций риск VVij, i,j1 n, где VijMRi-miRj-mj,i,j1 n. Описанные параметры m,V представляют собой оценку рынка и являются либо прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно.

Каждому вектору Х, описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно поставить в соответствие пару оценок mxm,x, VxVx,x. Величина mx представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в котором описывается вектором Х величина Vх вариация портфеля 3,5 является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rn в пространство R2 критериальная плоскость 3, который ставит в соответствие вектору х пару чисел mx, Vx Q Rn-R2 xRn, xm,x,Vx,x. 7 В задаче управления допустимыми считаются только стандартные портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это накладывает на вектор х два ограничения нормирующее условие е,х1, где е единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в портфеле, х 0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв пространствеRn так называемый стандартный n-1-мерный симплекс.

Обозначим его . xRne,x1, x0 Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует Парето эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора эффективная граница 3, 5. Прообразом эффективной границы в пространстве Rn будет эффективное множество портфелей 5. Обозначим его как . Данное множество является выпуклым линейная комбинация эффективных портфелей также представляет собой эффективный портфель 3. Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель, распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу управления можно сформулировать в следующем виде найти такой элемент y, принадлежащий , что y,x. Иными словами, для заданной точки х требуется найти ближайший элемент y, принадлежащий множеству . В пространстве Rn справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента наилучшего приближения х элементами множества 6. Метрика понятие расстояния может быть введена следующим образом x,yi1,nsupyi-xi,0i1 nsupxi-yi,0, 9 где 0 относительная величина издержек при покупке, 0 относительная величина издержек при продаже актива.

Литература 1. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ. 2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция Актуальные проблемы экономики России Сб.тез.докл. Воронеж, 2000. 3. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг.

Там же.