Понятие комплексного числа

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число. И курить бессмысленно. … Так, кто тут улыбается? Видимо, действительно не помогло.

 

Поле комплексных чисел можно понимать как такое расширение поля вещественных чисел, в котором уравнение, где квадрат неизвестной отрицателен (например, ), имеет решение. Иначе говоря, поле вещественных чисел дополняется корнями отрицательных величин, которые были названы мнимыми числами.

Любое такое мнимое число может быть представлено как комплекс из двух вещественных чисел и простейшего мнимого множителя: формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица[4]. Исходя из этого, мнимые числа теперь чаще называют комплексными. Это представление комплексного числа называется алгебраическим.

v

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ()комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел.Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось

 

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

 

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

 

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Найти разности комплексных чисел и , если , Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что…

Умножение комплексных чисел

Пример 3 Найти произведение комплексных чисел ,

Деление комплексных чисел

Даны комплексные числа , . Найти частное . Составим частное: Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме: , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного… Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты… Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.…

Возведение комплексных чисел в степень

Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа…

Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два… Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле: , где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр … Пример 16 Найти корни уравнения