Введение В предмет и метод статистики

Введение

В предмет и метод статистики

Считается, что основы статистической науки заложены английским экономистом У. Петти (1623-1687)г. Он рассматривал статистику как науку об… В развитии статистики видное место принадлежит представителям отечественной… История развития статистики показывает, что статистическая наука сложилась в результате теоретического обобщения…

Рассмотрим способы определения относительных величин.

1. Относительные величины структуры характеризуют состав изучаемой совокупности. Исчисляются они как отношение абсолютной величины каждого из элементов совокупности к абсолютной величине всей совокупности, т.е. как отношение части к целому, и представляют собой удельный вес части в целом.

Как правило, относительные величины структуры выражаются в процентах (база сравнения принимается за 100) или в долях (база сравнения принимается за 1).

Пример 1.

Из общей численности населения России, равной на конец 1985г. 143,8 млн. человек, 104,1 млн. составляли городские жители, 39,7 млн. — сельские. Рассчитав относительные величины структуры, можно определить удельные веса (или доли городских и сельских жителей) в общей численности населения страны, т.е. структуру населения по месту жительства:

городское — (104,1 / 143,8) *100 = 72,4:

сельское — (39,7 / 143,8) *100 = 27,6.

Спустя 6 лет, численность населения страны составила 148,7 млн., в том числе: городских жителей — 109,7 млн., сельских — 39,0 млн. Исходя из этих данных исчисляются показатели структуры населения:

городское — (109,7 / 148,7) *100 = 73,8:

сельское — (39,0 / 148,7) *100 = 26,2.

Сравнив состав населения страны в 1985г. и 1991г., можно сделать вывод о том, что происходит увеличение удельного веса городских жителей.

2. Относительные величины динамики характеризуют изменение изучаемого явления во времени, выявляют направление развития, измеряют интенсивность развития. Расчет относительных величин выполняется в виде темпов роста и других показателей динамики.

Пример 2.

Реализация хлопчатобумажных тканей секцией универмага составила в январе 3956 тыс. руб., в феврале — 4200 тыс. руб., в марте — 4700 тыс. руб.

Темпы роста:

базисные (база — уровень реализации в январе)

= 4200:3950*100 = 106,3%

= 4700:3950*100 = 118,9%

цепные

= 4200:3950*100 = 106,3%

= 4700:4200*100 = 111,9%

3. Относительные величины сравнения характеризуют количественное соотношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам статистического наблюдения.

Пример 3.

По данным Всесоюзной переписи населения 1989г. численность населения Москвы составила 8967 тыс., а численность населения Санкт-Петербурга — 5020 тыс. человек.

Рассчитаем относительную величину сравнения, приняв за базу сравнения численность жителей Санкт-Петербурга: 8967 / 5020 = 1,79. Следовательно, численность населения Москвы в 1,79 раза больше, чем в Санкт-Петербурге.

4. Относительные величины координации применяются для характеристики соотношения между отдельными частями статистической совокупности и показывают, во сколько раз сравниваемая часть совокупности больше или меньше части, которая принимается за основание или базу сравнения.

Пример 4.

На начало года численность специалистов с высшим образованием, занятых в ассоциации “Торговый дом”, составила 53 человека, а численность специалистов со средним специальным образованием — 106 человек. Приняв за базу сравнения численность специалистов с высшим образованием, рассчитаем относительную величину координации: 106/53=2,0/1,0, т.е. на двух специалистов со средним специальным образованием приходится один специалист с высшим образованием.

5. Относительные величины интенсивности показывают, насколько широко распространено изучаемое явление в той или иной среде, т.е. сколько единиц одной совокупности приходится на единицу другой совокупности.

Пример 5.

Число предприятий розничной торговли региона на конец года составило 6324. Численность населения данного региона на ту же дату составила 234,2 тыс. человек. Следовательно, ка каждые 10000 человек в данном регионе приходится 27,3 предприятия розничной торговли: [(6324*10000):234200]=27,3 предприятия.

Одним из условий правильного использования статистических показателей является изучение абсолютных и относительных показателей в их единстве. Если это условие не соблюдено, можно прийти к неправильному выводу. Только комплексное применение абсолютных и относительных величин дает всестороннюю характеристику изучаемого явления.

Группировка статистических данных

Различают простую сводку (подсчет только общих итогов) и статистическую группировку, которая сводится к распределению совокупности на группы по… К типологическим группировкам относят все группировки, которые характеризуют… Типологические группировки широко применяются в экономических, социальных и других исследованиях. Приведем пример…

Распределение промышленной продукции, произведенной в различных формах хозяйствования за отчетный период.

Происходят изменения в социальной занятости работников в народном хозяйстве: увеличилось число работников в кооперативном и индивидуальном секторах… Структурная группировка - это группировка, выявляющая состав (строение,… средних, отстающих; выявлены неиспользованные резервы производства, например, в области улучшения использования…

Комбинированные группировки

Применение комбинированных группировок обусловлено многообразием экономических явлений, а также необходимостью их всестороннего изучения. Но…   Результаты сводки по одному изучаемому признаку представляются в виде статистических рядов распределения.

Статистические таблицы.

Значение статистических таблиц состоит в том, что они позволяют охватить материалы статистической сводки в целом. Статистическая таблица, по… В экономической и управленческой работе, связанной с коммерческой… По внешнему виду статистическая таблица представляет собой ряд пересекающихся горизонтальных и вертикальных линий,…

Продажа некоторых продуктов питания

Продовольственными магазинами города.

Сведения о простой таблице применяют для оценки измерения какого - либо явления во времени. Для этого в подлежащем таблицы приводятся периоды… Хронологическую таблицу можно составлять за любые по величине отрезки времени… Таблицы, в подлежащем которых приводится перечень территорий (районов, областей и т.п.), называются перечневыми…

Процент женщин в общей численности

Рабочих и служащих.

Таблица 3.3 Группы предприятий по среднегодовой численности работающих, чел Число предприятий Валовая продукция … Подлежащим этой таблицы являются группы заводов по размеру численности… Комбинационными таблицами называются такие, в которых подлежащее содержит группировку единиц совокупности по двум или…

Статистические графики.

Важное значение при изучении коммерческой деятельности имеет графическое изображение статистической информации. Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающейся и удобно воспринимаемой.

Применение графиков в статистике насчитывает более чем двухсотлетнюю историю. Основоположником графического метода в статистике коммерческой деятельности считают английского экономиста У. Плейфейра (1731 — 1798). В своих работах он впервые применил способы графического изображения статистических данных (линейные, столбиковые, секторные и другие диаграммы).

Статистические графики - это одно из самых наглядных средств представления статистических данных с помощью условных геометрических фигур (линии, точки, прямоугольники, квадраты, круги и т.д.). В качестве графического образа выступают и объемные фигуры. Иногда в графиках используются негеометрические фигуры в виде силуэтов или рисунков предметов.

Классификация статистических графиков.

При всем своем многообразии статистические графики в курсе “Общая теория статистики” классифицируются по ряду признаков: способу построения, форме применяемых графических образов, характеру решаемых задач.

По способу построения статистические графики подразделяются на диаграммы, картограммы и картодиаграммы.

 

Диаграмма представляет чертеж, на котором статистическая информация изображается посредством геометрических фигур или символических знаков.

Диаграмма сравнения — показывает соотношение признака статистической совокупности.

Рис. 1. Столбиковая диаграмма сравнения.

 

Каждое значение изучаемого показателя изображается в виде вертикального столбика. Количество столбиков определяется числом изучаемых показаний (данных). Расстояние между столбиками должно быть одинаковым. У основания столбиков делается название изучаемого показателя.

 

Рис. 2. Полосовая диаграмма сравнения.

 

В этих диаграммах основания столбиков располагаются вертикально. Должна быть одинаковая ширина полос.

Эту же диаграмму можем построить иначе (рис. 3).

Рис. 3. Столбиковая диаграмма сравнения.

Структурная диаграмма - позволяет сопоставить статистические совокупности по составу.

Рис. 5. Структурно-столбиковая диаграмма.

 

Рис. 6. Структурно-секторная диаграмма (состав населения России в 1987г.).

Секторная диаграмма строится таким образом, чтобы каждый сектор занимал площадь круга пропорционально удельному весу отображаемых частей целого. Затем необходимо найти значения центральных углов (1%=3,6 градуса).

Пример.

Вид культуры	Посевная площадь
зерновые	570,6
технические	105,6
картофель	27,9
кормовые	299,0
ИТОГО	1003,1

Определяем относительные величины структуры использования посевных площадей колхозами.

Зерновые - 570,6/1003,1*100%=56,9%

Картофель - 27,9/1003,1*100%=2,8% и т.д.

 

Получаем следующие данные (табл. 2).

Вид культуры	Посевная площадь в колхозах, %
Зерновые	56,9
Технические	10,5
Картофель	2,8
Кормовые	29,8
ИТОГО	100,0

Определяем по данным об удельных весах посевных площадей, занятых под отдельными культурами, соответствующие значения центральных углов.

 

Зерновые 56,9*3,6 = 204,85°

Технические 10,5*3,6 = 37,85°

Картофель 2,8*3,6 = 10,15°

Кормовые 29,8*3,6 = 107,35°

 

Теперь строим секторную диаграмму, разделив круг на сектора, в соответствии с полученными значениями центральных углов, культуры:

Рис. 7. Структура посевных площадей в колхозах области (1989г.).

 

Знак Варзара. - (Варзар В.Е. - 1851-1940).

Известный русский статистик В. Е. Варзар предложил использовать прямоугольные фигуры для графического изображения трех показателей, один из которых является произведением двух других. В каждом таком прямоугольнике основание пропорционально одному из показателей — сомножителей, а высота его соответствует второму показателю — сомножителю. Площадь прямоугольника равна величине третьего показателя, являющегося произведением двух первых. Располагая рядом несколько прямоугольников, относящихся к разным показателям, можно сравнивать не только размеры показателя — произведения, но и значения показателей — сомножителей.

Диаграмма динамики - показывает изменение явления во времени. Диаграмма изменений может быть изображена с помощью уже рассмотренных типов диаграмм.

Диаграмма связи - показывает функциональную зависимость одного признака от другого (обычный график на координатной сетке - y = f(x)).

Статистическая карта - вид графика, который иллюстрирует содержание статистических таблиц, где подлежащим является административное или географическое деление совокупности. На лист изображения наносится контурная географическая карта, отражающая деление совокупности на группы. Статистическая карта называется картограммой, вся информация на ней отображается в виде штриховки, линий, точек, окраски, отражающих изменение какого-либо показателя.

На картодиаграмме, на фоне карты, присутствуют элементы диаграммных фигур. Преимущество картодиаграммы перед диаграммой состоит в том, что она не только дает представление о величине изучаемого показателя на различных территориях, но и изображает пространственное размещение изучаемого показателя.

Пример.

Потребление кожаной обуви в стране характеризуются следующими данными (на душу населения; пар в год):

 

0,4	1,1	1,9	2,4	3,0	3,2

 

Для анализа потребления обуви требуется определить относительные величины динамики.

Для выявления направления и характера изменений потребления обуви за годы Советской власти по сравнению с дореволюционным 1913 г. определим базисные темпы роста :

,

где — уровень изучаемого периода; — базисный уровень.

Последовательно сравним уровни 1950, 1960, 1965 и 1969 гг. () c уровнем 1913 г. :

1950 1,1 / 0,4 = 2,75

1960 1,9 / 0,4 = 4,75

1965 2,4 / 0,4 = 6,0

1970 3,0 / 0,4 = 7,5

1975 3,2 / 0,4 = 8,0

Из полученных базисных относительных величин динамики (темпов роста) видно, что за указанные годы потребление обуви в стране неуклонно возрастало:

2,75<4,75<6,0<7,5<8,0.

В 1975 г. потребление обуви на душу населения было в 8 раз больше, чем в дореволюционном 1913 г. Для выявления характера изменений потребления обуви по отдельным периодам экономического развития произведем расчет темпов роста :

,

где — уровень изучаемого периода; — уровень предшествующего периода.

Определим цепные темпы роста:

1950 1,1 / 0,4 = 2,75

1960 1,9 / 1,1 = 1,727

1965 2,4 / 1,9 = 1,263

1970 3,0 / 2,4 = 1,25

1975 3,2 / 3,0 = 1,07

 

Из полученных цепных относительных величин динамики (темпов роста) видно, что по отдельным этапам экономического развития также происходило увеличение потребления обуви населением.

Представим исходные уровни ряда динамики в виде столбиковой диаграммы (рис. 9.).

Рис. 9. Потребление кожаной обуви на душу населения в СССР в 1913 — 1975 гг. (в год пар).

Данная форма графического изображения уровней ряда динамики удобна тем, что расстояние столбиков друг от друга не зависит от величины интервалов времени.

Представим графически полученные в расчетах базисные относительные величины динамики. Для этой цели чаще всего используется линейная диаграмма (рис. 10.). В системе координат нанесем на ось ординат базисные темпы роста (в процентах), а на ось абсцисс — показания времени.

Рис. 10. Темпы роста потребления кожаной обуви в 1913 — 1975 гг. в год на душу населения (в процентах к 1913 г.)

 

Из данного графика видно, что положение кривой определяется не только значениями базисных темпов роста, но и интервалами времени между датами.

Гистограммы.

· гистограммы; · полигон частот; · полигон накопленных частот (кумулята).

Средние величины.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и… При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака,… Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что…

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х (); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

Пример 1.

Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

№ раб.
Выпущено изделий

В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Пример 2.

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих - сдельщиков:

Месячная з/п (варианта - х), руб.	Число рабочих, n	xn
х = 110	n = 2
х = 130	n = 6
х = 160	n = 16
х = 190	n = 12
х = 220	n = 14
ИТОГО

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:

 

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Пример 3.

Имеются следующие данные:

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
3 — 5
5 — 7
7 — 9
9 — 11
11 — 13
ИТОГО

Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения каждого интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна:

(3 + 5) / 2 = 4

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

 

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами.

Пример 4.

Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
до 5
5 — 7
7 — 9
9 — 11
свыше 11
ИТОГО

 

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Пример 5.

Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:

Номер завода	Выпуск продукции по плану, млн.руб.	Выполнение плана, %
ИТОГО		—

 

В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются не индивидуальными, а средними по заводу. Весами являются выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной: ,

где — фактически выпущенная продукция, получаемая путём умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану).

Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах.

или 102,4%

Основные свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

 

 

Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Пример 6.

Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

все затраченное время

Среднее время, затраченное = --------------------------------------

на одну деталь число деталей

 

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

 

Это же решение можно представить иначе:

 

 

Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

 

Пример 7.

Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:

Номер завода	Издержки производства, тыс.руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.

 

Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.

 

Издержки производства

Средняя себестоимость = ----------------------------------------

единицы продукции () Количество продукции

 

руб.

 

Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

 

Мода.

 

Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Пример 8.

Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:

 

размер обуви											и выше
число пар, в % к итогу	—										—

 

В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.

 

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Пример 9.

Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

 

Группы предприятий по числу работающих, чел	Число предприятий
100 — 200
200 — 300
300 — 400
400 — 500
500 — 600
600 — 700
700 — 800
ИТОГО

 

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400, =100, =30, =7, =19

 

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

 

Медиана

Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой… Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном… Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант,…

Пример 10.

Определим медиану заработной платы рабочих.

 

 

Месячная з/п , руб.	Число рабочих	накопительная частота
		8=(2+6)
		24=(8+16)
		36=(24+12)
		40=(36+4)

 

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере середина совокупности (ее порядковый номер) - 20. В качестве медианы выбрано значение признака, для которого накопленная частота превышает порядковый номер медианы. Т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.

 

Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

 

Пример 12.

Группы предприятий по числу рабочих	Число предприятий	Сумма накопительных частот
100 — 200
200 — 300		4 (1+3)
300 — 400		11 (4+7)
400 — 500		41 (11+30)
500 — 600
600 — 700
700 — 800
ИТОГО

 

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

 

Следовательно,

.

Показатели вариации.

Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному… Средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака… В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю…

Абсолютные и средние показатели вариации

И способы их расчета.

Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним.

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации.

Размах вариации - это разность между наибольшим () и наименьшим () значениями вариантов.

Пример 1.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб.	Число предприятий
90 — 100
100 — 110
110 — 120
120 — 130
ИТОГО

Определяем показатель размаха вариации:

 

R = 130 - 90 = 40 млн. руб.

 

Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

.

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая:

2) определяются отклонения каждой варианты от средней ;

3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ;

4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:

.

Пример 2.

Табельный номер рабочего			//
		- 8
		- 7
Итого		0 (свойство средней арифметической

 

d==

Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

 

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным

И в рядах распределения.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним… — дисперсия невзвешенная (простая); — дисперсия взвешенная.

Пример 3.

Произведено продукции одним рабочим, шт. ( варианта)	Число рабочих,
			-2
			-1
ИТОГО

Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

шт.

Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице 6.3. Определим дисперсию:

=1,48

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

шт.

Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала надо определить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше.

Пример 4.

Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:

 

Таблица 6.4

Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га
14 – 16				-3,4	11,56
16 – 18				-1,4	1,96
18 – 20				0,6	0,36
20 – 22				2,6	6,76
ИТОГО

 

Средняя арифметическая равна:

ц с 1га.

Исчислим дисперсию:

Расчет дисперсии по формулепо индивидуальным данным и в рядах распределения.

Свойства дисперсии. 1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в… 2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет. …

Показатели относительного рассеивания.

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. (1) 2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней…

Ряды Динамики.

Установление вида ряда динамики.

Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных… Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во… В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам…

Ряды динамики могут быть полными и неполными.

Полный ряд - ряд динамики, в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят друг от друга.

Неполный ряд динамики - ряд, в котором уровни зафиксированы в неравноотстоящие моменты или периоды времени.

Пример.

Численность населения СССР характеризуется данными переписей, млн. чел.:

 

1939 1959 1970 1979

170,6 208,8 241,7 262, 4 неполный моментный ряд абсолютных величин

 

Пример.

Производство электроэнергии характеризуется следующими данными, млрд. кВт-ч.:

1930 1940 1950 1960

48,6 91,2 292,3 740,9 полный интервальный ряд абсолютных величин

Определение среднего уровня ряда динамики.

 

В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики . В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.

Интервальный ряд абсолютных величин с равными периодами (интервалами времени):

 

Моментный ряд с равными интервалами между датами:

Моментный ряд с неравными интервалами между датами:

где - уровни ряда, сохраняющиеся без изменения на протяжении интервала времени .

Показатели изменения уровней ряда динамики.

С этой целью для динамических рядов рассчитывают ряд показателей: К - темпы роста; - абсолютные приросты;

Пример.

Выпуск продукции предприятия за 1985 — 1990 гг. характеризуются следующими данными (в сопоставимых ценах), млн. руб.:

 

23,3	24,9	26,6	27,6	29,0	32,2

Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции предприятием за пять лет.

Определяем цепные и базисные темпы роста (К).

Цепные: Базисные:

 

 

Определяем цепной и базисный абсолютный прирост ().

Цепные: Базисные:

 

Определяем цепные и базисные темпы прироста ().

Средних темпов роста и прироста.

Средний абсолютный прирост может быть получен по одной из формул: или , где n - число уровней ряда динамики;

Определение в рядах динамики

Общей тенденции развития.

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и… Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно…  

Пример.

Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах)

 

месяц
январь	5,3	5,3	5,4
февраль	5,3	5,1	5,2
март	7,9	8,3	8,2
апрель	8,2	9,0	9,3
май	9,8	9,5	10,1
июнь	12,5	13,0	13,1
июль	11,8	12,2	12,5
август	10,3	10,4	10,8
сентябрь	8,2	8,0	8,3
октябрь	6,5	6,6	6,8
ноябрь	5,4	5,5	5,7
декабрь	5,5	5,5	5,6
итого за год	96,7	98,4

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:

1987г. - 96,7 тонн

1988г. - 98,4 тонн

1989г. - 101 тонна

 

Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики —метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:

— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:

 

 

...

...

...

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:

— — — — ,

сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.

Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;

 

.

 

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление

Пример.

Годы	Валовый сбор хлопка-сырца, млн. т.	Скользящая средняя по 5 уровням
	4,3	—
	4,5	—
	4,3	4,72=(4,3+4,5+4,3+5,2+5,3)/5
	5,2	5,00=(4,5+4,3+5,2+5,3+5,7)/5
	5,3	5,30=(4,3+5,2+5,3+5,7+6,0)/5
	5,7	5,64
	6,0	5,78
	6,0	5,86
	5,9	6,10
	5,7	6,32
	6,9	6,58
	7,1	6,94
	7,3	7,48
	7,7	7,68
	8,4	7,92
	7,9	8,22
	8,3	8,38
	8,8	8,54
	8,5	8,94
	9,2	9,18
	9,9	9,30
	9,6	—
	9,3	—

 

На рис. 1 показан график, построенный по данным о валовом сборе хлопка-сырца в стране за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 1.

Рис. 1. Валовый сбор хлопка - сырца.

 

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

 

Например, ,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:

 

Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

 

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .

Для прямой:

 

 

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

Пример.

Нечетное число уровня ряда.

							абсолютное время
-3	-2	-1					условное время

 

 

Чётное число уровней ряда.

								абсолютное время
-7	-5	-3	-1					условное время

 

В обоих случаях .

Пример.

Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).

141,3	144,8	146,7	151,5	149,0

 

В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая , определение производится для условного времени, в результате , .

 

Год	Производство стали	Условное время	Теоретические уровни
	141,3	-2	142,2
	144,8	-1	144,4
	146,7		146,7
	151,5		148,9
	149,0		151,1

Определение в рядах внутригодовой динамики.

Многие процессы хозяйственной деятельности, торговли, сельского хозяйства и других сфер человеческой деятельности подвержены сезонным изменениям,… Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются… 1. Ряд динамики не имеет общей тенденции развития, либо она не велика.

Пример.

Имеются данные заключения брака в городе за ряд лет наблюдения:

 

Месяц
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
итого за год

 

При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что тенденция роста очень незначительна.

 

Общий средний уровень ряда:

— среднее число браков, заключаемых за один день.

 

Средний уровень января:

— среднее число браков за один день января.

Аналогично рассчитывается средние уровни февраля, марта и т.д. Результаты расчётов сведены в таблицу:

 

Месяц
январь	5,74	104,2
февраль	6,45	117,1
март	5,27	95,6
апрель	5,4	88,0
май	4,63	84,0
июнь	5,01	91,0
июль	5,34	96,9
август	5,64	102,4
сентябрь	5,0	90,7
октябрь	5,39	97,8
ноябрь	6,13	111,3
декабрь	6,14	111,4

 

Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Построенный по полученным индексам сезонности линейный график наглядно покажет сезонность рассматриваемого процесса.

2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.

Индекс сезонности ,

где — исходные уровни ряда:

— уровни ряда, полученные в результате определения скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни:

I — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс сезонности:

n — число лет наблюдения за процессом.

В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо — уровней, полученных методом скользящих средних, используются — полученные методом аналитического выравнивания.

Пример.

На основе исходных данных о реализации сахара в продовольственных магазинах города в 1990 — 1992 гг. (т), определены скользящие средние по трем уровням ряда:

 

Месяц	Исходные уровни	Сглажен. уровни	Исходные уровни	Сглажен. уровни	Исходные уровни	Сглажен. уровни
январь	78,9	-------	108,6	106,2	129,1	131,3
февраль	78,1	81,0	107,9	107,8	128,6	129,5
март	86,0	87,2	106,8	115,4	130,7	137,4
апрель	97,5	88,9	132,1	117,3	152,8	141,1
май	83,3	88,9	113,0	119,0	139,8	146,7
июнь	86,0	86,6	111,8	116,4	147,4	150,3
июль	90,6	87,6	124,4	116,8	163,8	152,5
август	86,1	86,0	114,1	115,6	146,3	149,3
сентябрь	81,3	90,8	108,4	115,6	137,8	145,4
октябрь	105,1	94,5	124,0	117,0	152,2	144,4
ноябрь	97,2	101,5	118,0	126,2	143,2	150,6
декабрь	102,1	102,6	136,3	128,0	156,5	-------

 

На основе исходных и сглаженных уровней ряда строятся индексы сезонности:

Так для января:

Для февраля:

и т.д.

 

Индексы сезонности по месяцам сведены в таблицу:

Месяц

Построив линейный график, можно увидеть закономерности изменения объёма продаж сахара по месяцам года.