Информатика: Задания и метод. указания по выполнению, оформлению и защите курсовых работ для студентов дневной и заочной форм обучения специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03, 1-53 01 01

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информационных систем и технологий

Информатика

Задания и методические указания

По выполнению, оформлению и защите курсовых работ

Для студентов дневной и заочной форм обучения

Специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03, 1-53 01 01

Часть 4

Барановичи 2007

УДК 681.3

 

Составители: О.И.Наранович, С.Г.Скобля, Т.В.Шляхтич

 

 

Рецензенты: Д.А.Ционенко, Т.Р. Якубович

 

Рассмотрены кафедрой информационных систем и технологий (протокол № от )

 

Рассмотрены и рекомендованы к утверждению методической комиссией инженерного факультета (протокол № от )

 

 

Информатика: Задания и метод. указания по выполнению, оформлению и защите курсовых работ для студентов дневной и заочной форм обучения специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03, 1-53 01 01/ Барановичский гос. Ун-т; [Сост. О.И. Наранович, С.Г. Скобля, Т.В. Шляхтич]. – Барановичи: БарГУ, 2007. – 43 с.

Задания и методические указания по выполнению, оформлению и защите курсовых работ посвящены выполнению, оформлению и защите курсовых работы по дисциплине «Информатика» и содержит индивидуальные задания, рекомендации по выполнению и подготовке к защите, требования к содержанию и оформлению курсовых работ.

Разработка предназначена для студентов 2-го курса инженерного факультета дневной и заочной форм обучения, а так же рекомендуются для слушателей факультета повышения квалификации и переподготовки кадров.

© Составление. О.И.Наранович, С.Г.Скобля, Т.В. Шляхтич, 2007

© УО БарГУ, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.. 4

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 5

ЗАДАНИЕ 1 Методы решения нелинейных уравнений. 5

Рекомендации по решению нелинейных уравнений. 6

ЗАДАНИЕ 2 Аппроксимация табулированных функций методом наименьших квадратов. 15

Рекомендации по вычислению коэффициентов аппроксимирующего полинома 17

ЗАДАНИЕ 3 Методы численного интегрирования и дифференцирования функций 22

Рекомендации по решению задачи численного интегрирования и дифференцирования 22

ЗАДАНИЕ 4 Решение дифференциальных уравнений. 26

Рекомендации по решению обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. 26

ТРЕБОВАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ. 30

Содержание курсовой работы.. 30

Правила оформления курсовой работы.. 32

ПОДГОТОВКА К ЗАЩИТЕ И ЗАЩИТА КУРСОВОЙ РАБОТЫ.. 38

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 39

ПРИЛОЖЕНИЕ А.. 41

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. 42

ПРИЛОЖЕНИЕ В.. 43

 

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Выполнение курсовой работы – важный этап в подготовке специалиста, который позволяет закрепить уже приобретенные навыки организации и проведения… Тематика курсовых работ охватывает основные темы изученного раздела «Численные… Задание по курсовой работе представляет собой один из вариантов одного из 4 заданий, приведенных в данной разработке.…

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ЗАДАНИЕ 1 Методы решения нелинейных уравнений

 

1. Графически отделить корни уравнения в соответствии со своим вариантом. Параметр а задать самостоятельно путём подбора, так, чтобы уравнение имело не менее 3-х корней. Определить при каких значениях параметра а уравнение имеет 1, 2 и 3 корня. Если уравнение не имеет указанного количества корней (1,2,3), объяснить почему.

2. Разработать алгоритмы уточнения корней уравнения методами половинного деления, хорд, касательных и построить блок-схемы алгоритмов.

3. На языке программирования Pascal (или Delphi) создать программу для уточнения корней уравнения указанными методами, реализующую разработанные алгоритмы. С помощью программы уточнить 3 любых корня уравнения с точностью .

4. Решить задачу средствами MathCad или Excel.

5. Построить график функции F(x,a) от x для параметра а, использовавшегося при отделении и уточнении корней.

Примечание: Результаты решения должны быть представлены в виде таблицы, включающей решения уравнения F(x,a)=0.

Примерная форма таблицы:

 

Метод решения	Параметр а	Корни уравнения
Деления пополам	а
Хорд
Касательных
MathCad

 

 

Варианты индивидуальных заданий представлены в таблице 1.

 

Таблица 1 - Варианты индивидуальных заданий

Номер варианта	Уравнение

Продолжение табл. 1

 

 

Рекомендации по решению нелинейных уравнений

Рассмотрим решение задачи нахождения корней уравнения

(1)

на отрезке [0; 5] методом касательных с точностью .

 

Этап 1. Отделение корней и предварительный анализ.

Отделим корни уравнения, построив график функции на заданном отрезке. Воспользуемся для построения графика табличным процессором Excel. Введем в ячейки А1:С3 следующие формулы и значения, представленные на рисунке 1.

 

 

Рисунок 1

 

С помощью автозаполнения скопируем формулы, расположенные в ячейках А3 и В3 в ячейки А4:В4, А5:В5 и т.д. до тех пор, пока в столбце А не появится значение 10 (значение правого конца отрезка). В результате этих действий в столбцах А и В будет таблица значений функции на заданном отрезке с шагом 0,25.

Выделив ячейки, содержащие значения аргумента и функции, построим с помощью мастера диаграмм, график функции (тип диаграммы – точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров). Примерный вид графика функции представлен на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – График функции уравнения

 

По графику видно, что уравнение имеет два корня. В качестве отрезка локализации первого корня можно выбрать отрезок [0.1; 1], а отрезком локализации второго корня – отрезок [6.5; 7.5].

Определим, для какого из концов каждого отрезка выполняется условие сходимости метода

. (2)

 

Для этого вычислим вторую производную функции. Первая производная функции:

. (3)

 

Вторая производная функции:

 

. (4)

 

Итак, проверим выполнение условия (1) для обоих концов каждого отрезка:

 

,

,

,

.

 

Таким образом, условие выбора начального приближения корня выполняется для левого конца первого отрезка и для правого конца второго отрезка. Следовательно, начальными приближениями корней для данного метода можно выбрать 0.1 и 7.5.

Погрешность данного метода на k-ом шаге оценивается по формуле:

, (5)

где M – минимальное значение модуля первой производной функции на отрезке [a; b].

Найдём значение М. Для этого построим таблицу значений второй производной функции на отрезках [0.1; 1] и [6.5; 7.5] с помощью Excel, аналогично тому, как мы делали это для построения графика функции и выберем из таблицы минимальное значение модуля первой производной функции на каждом из отрезков.

Таблицы имеют вид, представленный на рисунке 3.

Минимальное значение модуля производной на первом отрезке оказалось равным 0,87712, а на втором 0,421533.

Этап 2. Уточнение корней.

Рассмотрим блок-схему алгоритма уточнения корней методом касательных (рисунок 4).

В блоке 2 осуществляется ввод исходных данных: значения левого и правого концов отрезка локализации корня а и b, начальное приближение корня х (выбранное в соответствии с условием (2)), допустимая погрешность уточнения корня е и предварительно найденное минимальное значение модуля производной функции f(x) на отрезке локализации корня М.

Рисунок 4 – Блок-схема алгоритма метода касательных

В теле цикла с постусловием (блок 3) осуществляется присвоение текущего приближения корня переменной, в которой будет храниться предыдущее приближение корня и вычисляется следующее приближение корня в соответствии с рекуррентной формулой для вычисления k-го приближения корня:

. (6)

В блоке 3 буквами f и p обозначены функция f(x) и её производная соответственно.

В блоке 4 осуществляется проверка условия достижения заданной точности, которое и является условием выхода из цикла (прекращения вычислений). После завершения выполнения цикла выводится уточнённое значение корня.

При реализации этого алгоритма на языке программирования Паскаль, текст программы будет иметь примерно следующий вид:

 

Program MetKas;

var x,e,M:real;

{Описание функции}

function f(x:real):real;

Begin

f:=3*sin(sqrt(x))+x/15-1.8

end;

{Описание производной функции}

function p(x:real):real;

Begin

p:=(3*cos(sqrt(x)))/(2*sqrt(x))+1/15

end;

{Описание функции, реализующей алгоритм метода уточнения корней}

function MK(x,e,M:real):real;

var x0:real;

Begin

Repeat

x0:=x;

x:=x0-f(x0)/p(x0);

until abs(f(x))/M<=e;

MK:=x;

end;

{Раздел операторов}

Begin

writeln('Введите исходные данные x, e, M');

readln(x,e,M);

{Находим с помощью функции МК уточненное значение корня и присваиваем его переменной х}

x:=MK(x,e,M);

writeln('Уточненное значение корня x=',x:7:4);

readln;

end.

Результаты работы этой программы:

Введите исходные данные x, e, M

0.1

0.001

0.87712

Уточненное значение корня x= 0.3998

Введите исходные данные x, e, M

7.5

0.001

0.421533

Уточненное значение корня x= 7.2175

 

Описанные в приведенной (и в приведенных ниже) программе функции можно использовать и для создания приложения в среде Delphi.

Решение поставленной задачи с использованием для уточнения корней метода хорд производится практически аналогично. Рекуррентное соотношение для вычисления приближений корня по методу хорд имеет вид:

 

. (7)

 

Здесь с – значение конца отрезка, для которого выполняется условие

 

. (8)

 

В качестве начального приближения выбирается конец отрезка оставшийся после выбора с. Т.е., если с=a, то начальным приближением корня выбирают b и наоборот.

Блок-схема алгоритма уточнения корней этим методом отличается от блок-схемы алгоритма уточнения корней методом касательных лишь списком вводимых исходных значений (блок 2) и рекуррентной формулой (блок 3).

Текст программы для уточнения корней заданного в условии задачи уравнения методом хорд, написанной на языке Паскаль, может иметь вид:

 

Program MetChord;

var c,x,e,M:real;

{Описание функции}

function f(x:real):real;

Begin

f:=3*sin(sqrt(x))+x/15-1.8

end;

{Описание функции, реализующей алгоритм метода уточнения корней}

function MCh(c,x,e,M:real):real;

var x0:real;

Begin

Repeat

x0:=x;

x:=(c*f(x0)-x0*f(c))/(f(x0)-f(c));

until abs(f(x))/M<=e;

MCh:=x;

end;

{Раздел операторов}

Begin

writeln('Введите исходные данные c, x, e, M');

readln(c,x,e,M);

{Находим с помощжью функции МCh уточненное значение корня и присваиваем его переменной х}

x:=MCh(c,x,e,M);

writeln('Уточненное значение корня x=',x:7:4);

readln;

end.

При уточнении корней методом деления отрезка пополам необходимо только отделить корни уравнения. Никаких других исследований проводить не требуется. Именно поэтому метод деления отрезка пополам, несмотря на более низкую скорость сходимости в сравнении с методами хорд и касательных, имеет не меньшую ценность при использовании персонального компьютера, т.к. часто позволяет получить результат гораздо быстрее, чем методы, требующие предварительного, порой изощренного анализа.

Блок-схема алгоритма уточнения корней методом деления отрезка пополам приведена на рисунке 5.

После ввода значений концов отрезка и допустимой погрешности (блок 2) в теле цикла с постусловием вычисляется приближение корня (блок 3). Затем в блоках 4 и 6 выполняется поиск отрезка, содержащего корень. Если выполняется условие f(a)f(x)<0 (блок 4), то корень лежит на отрезке [a; х] и значение правого конца этого отрезка х заносится в переменную b (блок 5); если это условие не выполняется, то проверяется условие f(b)f(x)<0. Если оно выполняется, корень лежит на отрезке [х; b] и значение левого конца этого отрезка х заносится в переменную a (блок 7). Если же ни одно из этих условий не выполняется, то, очевидно, f(x)=0, т.е. х – точный корень уравнения, который и выводится.

В блоке 8 осуществляется проверка условия достижения заданной точности вычислений корня, которое и является условием выхода из цикла. После окончания вычислений найденное значение корня выводится.

Рисунок 5 – Блок-схема алгоритма метода половинного деления

Пример программы для уточнения корней заданного в условии уравнения методом деления отрезка пополам, написанной на языке Паскаль:

 

Program MetDOP;

var a,b,x,e:real;

{Описываем функцию}

function f(x:real):real;

Begin

f:=3*sin(sqrt(x))+x/15-1.8

end;

{Описываем функцию, реализующую основной алгоритм}

function DOP(a,b,e:real):real;

label 1;

var x:real;

Begin

Repeat

x:=(a+b)/2;

if f(a)*f(x)<0 then b:=x

Else

if f(b)*f(x)<0 then a:=x

else goto 1;

until (b-a)<=e;

1:

DOP:=x;

end;

{Раздел операторов}

Begin

writeln('Введите исходные данные a, b, e');

readln(a,b,e);

{Уточним значение корня с помощью функции DOP и присвоим его переменной х}

x:=DOP(a,b,e);

writeln('Уточненное значение корня x=',x:7:4);

readln;

end.

 

Рекомендации по решению нелинейных уравнений в среде MathCad можно найти в [20] или [14].

 

ЗАДАНИЕ 2 Аппроксимация табулированных функций методом наименьших квадратов

 

1. Разработать алгоритм нахождения коэффициентов трёх аппроксимирующих полиномов (многочленов) вида для табулированной функции y=f(x) в соответствии со своим вариантом. Степени полиномов указаны в таблице 2. Построить блок-схему алгоритма. Создать программу на языке Pascal (Delphi), реализующую разработанный алгоритм.

2. Рассчитать среднеквадратичные отклонения для каждого из трех случаев по формуле:

3. Построить графики 3-х полученных приближающих функций в одной системе координат. На графике должны содержаться и исходные точки (х_i,y_i).

4. Решить задачу средствами MathCad (Excel).

Примечания: При построении многочлена для функции необходимо данные линеализировать, прологарифмировав данные столбца.

Результаты решения задачи с помощью созданной программы и в среде MathCad (Excel) нужно представить в виде построенных с помощью найденных коэффициентов трёх полиномов; таблицы, содержащей полученные с помощью найденных полиномов значения функции в точках х_i и среднеквадратичных отклонений.

 

Таблица 1 - Значения переменных х_i для построения многочлена y=f(x) (исходные данные)

n
	0,1	2,57	0,15	2,98	3,19	6,54	7,26
	0,3	3,87	-0,01	3,45	1,59	6,63	7,95
	0,5	5,67	0,46	3,84	0,4	6,83	8,77
	0,7	8,39	1,71	3,87	0,22	7,34	9,72
	0,9	12,9	3,94	3,24	1,95	8,44	10,78
	1,1	20,47	7,4	1,73	6,84	10,48	12,45
	1,3	32,84	12,41	-0,67	16,58	13,71	14,74
	1,5	52,17	19,47	-3,78	33,4	18,7	18,18
	1,7	81,1	29,21	-7,07	60,08	25,87	23,36
	1,9	122,68	42,49	-9,62	100,1	35,76	30,99
	2,1	180,44	60,43	-10,04	157,67	48,93	41,97
	2,3	268,38	84,42	-6,39	237,83	65,97	57,38
	2,5	360,93	116,18	3,89	346,5	87,52	78,45
	2,7	493,01	157,8	24,08	490,6	114,23	106,65
	2,9		211,78	58,21	678,09	146,8	143,64
	3,1	867,76	281,04	111,19	918,06	185,93	191,28
	3,3	1122,64		188,86	1220,08	232,35	251,71

Продолжение таблицы 1

Варианты индивидуальных заданий приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Варианты индивидуальных заданий

Номер	Вид функции	Степень многочлена
		2,4,6
		2,3,4
		3,4,7
		3,4,6
		2,3,5
		2,7,8
		3,5,6
		3,7,8
		2,5,6
		3,4,5
		3,4,7
		3,6,7
		2,3,6
		2,4,5

 

Продолжение таблицы 2

Рекомендации по вычислению коэффициентов аппроксимирующего полинома

Предположим, что в результате эксперимента были получены следующие данные, представленные в таблице 3.

 

Таблица 3 – Исходные данные

x	y
0,215 0,441 0,638 0,865 1,05 1,30 1,55 1,82	5,82 4,63 4,10 3,34 3,0 3,29 4,32 5,72

 

Вычислим коэффициенты аппроксимирующего полинома 3-й степени по методу наименьших квадратов и представим экспериментально полученную зависимость между х и y графически.

С теоретическими сведениями, касающимися полиномиальной аппроксимации по методу наименьших квадратов и реализации этого метода средствами MathCad можно познакомиться в [20].

Напишем программу на языке Паскаль, вычисляющую коэффициенты аппроксимирующего полинома степени от 1 до 8. Чтобы избавиться от ручного ввода данных при отладке программы, сохраним построчно экспериментальные значения аргумента и функции в текстовых файлах Xi.txt и Yi.txt соответственно.

 

Содержимое файла Xi.txt будет иметь вид:

0.215

0.441

0.638

0.865

1.05

1.30

1.55

1.82

 

Содержимое файла Yi.txt:

5.82

4.63

4.10

3.34

3.0

3.29

4.32

5.72

 

Разделителем целой и дробной частей должна быть точка. Файлы Xi.txt и Yi.txt должны быть помещены в папку создаваемой программы.

Основной алгоритм реализуем в отдельной процедуре. Решение системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов будет производиться по методу Гаусса.

Текст программы:

 

Program Approximation;

var n,m:integer;

{Процедура, реализующая основной алгоритм}

procedure Polynom(n,m:integer);

var T:array [0..16] of extended;

C,A:array[0..8] of extended;

B:array [0..8,0..9] of extended;

DataX,DataY:text;

StrXi,StrYi:string;

i,j,k,s,Code:integer;

Xi,Yi,Y,Bik,Delta:extended;

Begin

{Обнуляем массивы}

for i:=0 to 16 do T[i]:=0;

for i:=0 to 8 do begin C[i]:=0; A[i]:=0 end;

For i:=0 to 8 do

for j:=0 to 9 do B[i,j]:=0;

{Открываем файлы}

assign(DataX,'Xi.txt');

assign(DataY,'Yi.txt');

reset(DataX);

reset(DataY);

{Вводим исходные данные из файлов}

For i:=1 to m do begin

readln(DataX,StrXi);

readln(DataY,StrYi);

val(StrXi,Xi,Code);

val(StrYi,Yi,Code);

{Вычисляем коэффициенты Т и С}

for j:=1 to 2*n do T[j]:=T[j]+exp(j*ln(Xi));

for j:=0 to n do C[j]:=C[j]+Yi*exp(j*ln(Xi));

end;

T[0]:=m;

{Закрываем файлы}

close(DataX);

close(DataY);

{Формируем расширенную матрицу системы уравнений}

For i:=0 to n do

For j:=0 to n do

B[i,j]:=T[j+i];

for i:=0 to n do B[i,n+1]:=C[i];

{Приводим её к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса)}

For k:=0 to n-1 do

For i:=k to n do begin

Bik:=B[i,k];

For j:=k to n+1 do

if i=k then B[i,j]:=B[i,j]/Bik

else B[i,j]:=B[i,j]/Bik-B[k,j];

end;

{Вычисляем и выводим коэффициенты (обратный ход метода Гаусса)}

writeln('Коэффициенты полинома степени ',n);

For i:=n downto 0 do

A[i]:=(B[i,n+1]-B[i,1]*A[1]-B[i,2]*A[2]-B[i,3]*A[3]-B[i,4]*A[4]-B[i,5]*A[5]-B[i,6]*A[6]-B[i,7]*A[7]-B[i,8]*A[8])/B[i,i];

For i:=0 to n do

writeln('A[',i,']=',A[i]);

{Вычисляем среднеквадратичное отклонение}

writeln('Среднеквадратичное отклонение');

{Открываем файлы}

reset(DataX);

reset(DataY);

Delta:=0;

{Считываем из файлов данные}

For i:=1 to m do begin

readln(DataX,StrXi);

readln(DataY,StrYi);

val(StrXi,Xi,Code);

val(StrYi,Yi,Code);

Y:=0;

{Вычисляем значение функции с помощью полинома}

for j:=0 to n do Y:=Y+A[j]*exp(j*ln(Xi));

{Вычисляем сумму квадратов разностей экспериментального значения функции и рассчитанного с помощью полинома}

Delta:=Delta+sqr(Y-Yi);

end;

{Окончательное вычисление среднеквадратичного отклонения}

Delta:=sqrt(Delta/m);

writeln('Дельта = ',Delta);

{Закрываем файлы}

close(DataX);

close(DataY);

end;

{Тело программы}

Begin

writeln('Введите степень полинома');

readln(n);

writeln('Введите количество точек');

readln(m);

{Вычисляем коэффициенты с помощью процедуры Polynom}

Polynom(n,m);

readln;

end.

 

Результат выполнения программы:

Введите степень полинома

Введите количество точек

Коэффициенты полинома степени 4

A[0]=6.47563

A[1]=-2.11271

A[2]=-6.64807

A[3]=6.86877

A[4]=-1.48356

Среднеквадратичное отклонение

Дельта = 0.08868

 

Таким образом, если точность коэффициентов ограничить тремя цифрами после запятой, искомая аппроксимирующая функция будет иметь вид:

 

. (1)

 

С помощью данной программы можно вычислить коэффициенты аппроксимирующего полинома и другой степени (не меньшей 1 и не большей 8) при другом количестве экспериментальных точек.

Аналогичную процедуру можно реализовать и на Delphi.

Следует заметить, что для вычисления в рассмотренной программе использовалась формула

 

, (2)

 

которая приводит к ошибке при .

Т.к. степень, в которую возводится величина х, в данной задаче – целое число, то избежать ошибки можно, введя дополнительный цикл, в котором выполнялось бы возведение величины х в степень путем умножения самой на себя требуемое количество раз.

График, найденной функции (1), содержащий и экспериментальные точки, можно построить средствами Excel. Примерный вид графика, построенного с шагом , представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График функции Р(х)

ЗАДАНИЕ 3 Методы численного интегрирования и дифференцирования функций

 

1. Разработать алгоритмы численного дифференцирования и интегрирования функции . Варианты функции представлены в таблице 1 на стр. 5-6. (параметр а положить равным 1). Пределы интегрирования функции равны . Студенты, выполняющие четный вариант, при выполнении интегрирования реализуют метод Симпсона, а нечетный вариант – метод трапеции. Построить блок-схемы алгоритмов.

2. Создать программы (программу) на языке Pascal (Delphi), реализующие разработанные алгоритмы. Рассчитать значение интеграла для различных шагов разбиения, построить график зависимости значения интеграла от количества шагов разбиения. Построить таблицу значений производной функции, по которой построить график производной.

3. Решить задачу средствам MathCad (Excel).

Примечание: Результаты решения задачи с помощью программы и в среде MathCad (Excel) нужно представить в виде таблицы, содержащей полученные значения производной функции; таблицы, содержащей значения интеграла для разных шагов разбиения.

 

Рекомендации по решению задачи численного интегрирования и дифференцирования

Вычисление определенного интеграла. Рассмотрим блок-схему алгоритма вычисления определенного интеграла методом…  

Begin

f:=x*sin(x);

end;

Begin

writeln('Введите концы отрезка a, b: ');

readln(a,b);

writeln('Введите число отрезков разбиения для вычисления интеграла n: ');

readln(n);

writeln('Введите максимальное значение модуля 4-й производной М: ');

readln(M);

h:=(b-a)/n;

I:=f(a)+f(b);

For j:=1 to n-1 do begin

if odd(j)=true then I:=I+4*f(x) else I:=I+2*f(x); end;

Рисунок 2 – Блок-схема алгоритма вычисления производной функции

ЗАДАНИЕ 4 Решение дифференциальных уравнений

 

1. Разработать алгоритм решения дифференциального уравнения вида методом Рунге-Кутта. Варианты функций представлены в таблице 1 на стр. 5-6 и должны быть сформулированы по правилу

Граничные условия выбрать с учетом формул:

 

, ,

 

где n - вариант задания. Уравнение решается на отрезке при разбиении его на k равных частей. Точность вычислений Создать блок-схему алгоритма.

2. Создать программу на языке Pascal (Delphi), реализующую разработанный алгоритм. Программа должна вычислять таблицу значений функции при трёх различных шагах разбиения. Один из них – k, два других выбрать самостоятельно.

3. С помощью программы исследовать влияние числа разбиений k на вид решения

4. Построить графики функции для трёх случаев (отличающихся количеством отрезков разбиения).

5. Решить задачу средствами MathCad (Excel).

Примечание: Результаты решения задачи с помощью программы и в среде MathCad (Excel) нужно представить в виде таблицы, содержащей полученные значения функции ; таблицы, содержащей значения интеграла для разных шагов разбиения.

Рекомендации по решению обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Замечание 1. Функция F(x,y) представляет правую часть обыкновенного дифференциального уравнения вида . Если уравнение имеет более высокий порядок,…

Рисунок 12 – Блок-схема алгоритма решения ОДУ

методом Рунге-Кутта четвертого порядка
Замечание 2. Если функция y(x) на каком-нибудь промежутке нарастает очень быстро, то имеет смысл доработать данный алгоритм, добавив в него проверку условия:

 

. (1)

 

При невыполнении этого условия, шаг нужно уменьшить вдвое, повторить вычисление слагаемых k₁, k₂, k₃, k₄ и повторить проверку условия (1) и т.д. Такая модификация метода позволит существенно увеличить его точность.

Замечание 3. Данный алгоритм не предусматривает ни оценки погрешности вычисляемых значений, ни погрешности метода в целом. Поэтому при необходимости такой оценки он должен быть доработан.

Ниже приведен текст программы на языке Паскаль, реализующей данный алгоритм для уравнения .

 

Program MRK;

var x0,xn,y0,h,x,y,k1,k2,k3,k4:real;

n,j:integer;

function F(x,y:real):real;

Begin

F:=y*y+1/(2*x*x);

end;

Begin

writeln('Введите концы отрезка x0, xn: ');

readln(x0,xn);

writeln('Введите начальное значени функции y0:');

readln(y0);

writeln('Введите число отрезков разбиения n: ');

readln(n);

h:=(xn-x0)/n;

writeln('Таблица значений функции');

writeln('------------------------');

writeln(' x | y(x) ');

writeln('------------------------');

writeln(x0:7:3,' | ',y0:7:5);

x:=x0; y:=y0;

For j:=1 to n do begin

{Приостанавливаем выполнение программы до нажатия клавиши Enter после вывода каждых 10 значений}

if j mod 10 = 0 then readln;

k1:=h*F(x,y);

k2:=h*F(x+h/2,y+k1/2);

k3:=h*F(x+h/2,y+k2/2);

k4:=h*F(x+h,y+k3);

y:=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

x:=x+h;

writeln(x:7:3,' | ',y:7:5);

end;

readln;

end.

 

Замечание. Проверить результаты работы программы можно введя следующие данные: х0=1, хn=1.5, у0=0.9 и произвольное количество шагов n.

Оценить погрешность вычисления некоторого y_n можно по приближенной формуле Рунге [21, c.334].

ТРЕБОВАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Содержание курсовой работы

Курсовая работа должна быть логичной, научной по своему содержанию; в ней в систематизированной форме должны быть изложены материалы проведенного исследования и его результаты.

В названии курсовой работы (проекта) следует избегать использования усложненной терминологии и сокращений, аббревиатур.

Текст работы (пояснительной записки проекта) должен демонстрировать:

– знакомство автора с основной литературой вопроса;

– умение выделить проблему и определить методы ее решения;

– умение последовательно изложить существо рассматриваемых вопросов;

– владение существующим понятийным и терминологическим аппаратом;

– приемлемый уровень языковой грамотности, включая владение функциональным стилем научного изложения.

Курсовая работа должна состоять из следующих частей:

- титульный лист;

- реферат;

- оглавление;

- введение;

- основная часть (разделы и подразделы);

- заключение;

- список использованных источников;

- приложения.

Титульный лист является первой страницей работы и служит источником информации, необходимой для обработки и поиска работы. На титульном листе (см. приложение А) приводятся следующие сведения:

- полное наименование вышестоящей организации, вуза, факультета,

кафедры;

- тема курсовой работы;

- дисциплина;

- фамилия, имя, отчество, группа студента;

- фамилия, имя, отчество, ученая степень, ученое звание научного руководителя;

- место и год выполнения курсовой работы.

В реферате указываются:

– сведения об объеме курсовой работы,

– количестве таблиц, иллюстраций, приложений, использованных источников,

– перечень ключевых слов (от 5 до 15), которые в наибольшей степени характеризуют содержание работы и обеспечивают возможность информационного поиска. Ключевые слова приводятся в именительном падеже и оформляются прописными буквами, в строчку, через запятую;

– цель работы, объект исследования, методы исследования, полученные результаты, их новизна и практическая значимость.

Оглавление включает введение, наименование всех разделов, подразделов, пунктов (если они имеют наименование), заключение, список литературы и номера страниц, с которых начинаются эти элементы курсовой работы.

Во введении (объемом 2-3 страницы) раскрывается актуальность и новизна темы, ее научная и практическая значимость, основные направления исследования, формулируются цели и задачи исследования, указываются предмет и объект исследования, а также характеризуются источники и материалы, использованные в процессе исследования.

Основная часть курсовой работы, как правило, состоит из теоретического и практического разделов.

Основная часть должна содержать данные, отражающие сущность, методику и основные результаты выполненного исследования:

- выбор направления исследования, включающий обоснование принятого направления исследования, метода решения задач и их сравнительную оценку, разработку общей методики исследования;

- теоретические и (или) экспериментальные исследования, включающие определение характера и содержания теоретических исследований, методов исследований;

- обобщения и оценку результатов исследования, включающие оценку полноты решения поставленной задачи и предложения по дальнейшим направлениям работы, оценку достоверности полученных результатов и их сравнение с аналогичными результатами отечественных и зарубежных работ.

Основную часть курсовой работы следует делить на разделы. Разделы основной части могут делиться на пункты или на подразделы и пункты. Пункты при необходимости могут делиться на подпункты. Каждый подпункт должен содержать законченную информацию.

Заключение (объемом не менее 2 страниц) должно содержать итоги работы, выводы, полученные в ходе работы, разработку рекомендаций по конкретному использованию результатов курсовой работы.

Заключение должно быть кратким, обстоятельным и соответствовать поставленным целям и задачам.

Если в курсовой работе используются специфическая терминология, малораспространенные сокращения, аббревиатуры, условные обозначения и тому подобное, их объединяют в перечень условных обозначений и сокращений, помещаемый перед введением. В этом перечне специальные термины, сокращения, аббревиатуры, условные обозначения и тому подобное располагают в алфавитном порядке в виде колонки, а справа от них дается их расшифровка.

В случае повторения в курсовой работе специальных терминов, сокращений, аббревиатур, условных обозначений и тому подобного менее пяти раз их расшифровку приводят в тексте при первом упоминании.

Содержание курсовой работы (проекта) должно соответствовать требованиям, предъявляемыми кафедрами.

Рекомендуемый объем курсовой работы 30-35 печатных страниц. Приложения не входят в указанный объем.

Курсовая работа (проект) должна быть подписана автором на последнем листе работы.

 

Правила оформления курсовой работы

Работа (проект) выполняется машинописным способом или с применением печатающих устройств ЭВМ на белой бумаге формата А4 (210х297мм). При… В исключительном случае курсовая работа может быть выполнена от руки… Текст основной части курсовой работы делят на главы, разделы, подразделы, пункты.

ПОДГОТОВКА К ЗАЩИТЕ И ЗАЩИТА КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Защита курсовой работы (проекта) принимается комиссией в составе 2-3 человек, назначаемых заведующим кафедрой. В состав комиссии входит… Состав комиссии, порядок и формы ее работы определяются заведующим кафедрой и… Защита состоит из краткого (8-10 мин) выступления студента по выполненной курсовой работе (проекту), ответов на…

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

По программированию на языке Pascal

1. Белецкий Ян. Турбо-Паскаль с графикой для персональных компьютеров, перевод с польского Д.И. Юренкова, – М.: Машиностроение, 1991.

2. Бородич Ю.С. и др. Паскаль для персональных компьютеров: Справ.пособие/ Ю.С.Бородич, А.Н.Вальвачев, А.И.Кузьмич. – Мн.: Высш. шк.: БФ ГИТМП «Ника»,1991.

3. Голицына О.Л., Попов И.И. Основы алгоритмизации и программирования: Учеб. пособие. – М.: ФОРУМ, 2004.

4. Офицеров Д.В., Старых В.А. Программирование в интегрированной среде Турбо-Паскаль: Справ. Пособие. – Мн.: Беларусь, 1992.

5. Поляков Д.Б., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо-Паскаль: Версия 5.5.: Справ.-метод. пособие. – М.: Изд-во МАН: А/О «Росвузнаука», 1992.

6. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0: Практика программирования: Учеб. пособие. – М.: Нолидж, 1997.

По программированию на Delphi

7. Delphi для «чайников». Нейл Дж. Рубенкинг. Киев – Москва: Диалектика, 1997.

8. Как программировать на Delphi 3. Франк Энго. – Киев: DiaSoft, 1997.

9. Культин Н.Б. Delphi в задачах и примерах. – СПб.: БХВ.- Петербург, 2003.

10. Культин Н.Б. Основы программирования в Delphi 7. – СПб.: БХВ.- Петербург, 2003.

11. Фаронов В.В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для ВУЗов. – СПб.: Питер, 2005.

По среде MathCad

12. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCad. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2003.

13. Черняк А.А. Математика для экономиста на базе MahCad. – СПб.: БХВ. – Петербург, 2003.

14. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCad. Математический практикум для инженеров и экономистов: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:Финансы и статистика, 2003

По численным методам

16. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. Уч. пос. для техн. – М: Высш. шк., 1990. 17. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.:… 18. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Мир, 1989.

По выполнению и оформлению курсовой работы

26. Положение о курсовых работах (проектах) №01-01; МО Республики Беларусь, БарГУ. – Барановичи, 2007.

27. Паневик В.В. и др. Общие требования, порядок выполнения и правила оформления студенческих работ и магистерских диссертаций. /В.В. Паневик, Л.А. Лобан, С.В. Некраха. – Мн.: БГТЭУ, 2004.

28. М.А. Зильберглейт, Л.И. Петрова. Методика и техника подготовки курсовых и дипломных работ. – Мн.: «Беларуская навука», 2003.

29. Курсовые и дипломные работы: от выбора темы до защиты: Справочное пособие/ Авт.-сост. И.Н. Кузнецов. – Мн.: «Мисанта», 2003.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет ___________________________________________________________________

Кафедра ____________________________________________________________________

Дата регистрации работы в деканате _________

Дата регистрации работы на кафедре _________

Отметка о допуске к защите _________

Оценка за защиту _________

КУРСОВАЯ РАБОТА (КУРСОВОЙ ПРОЕКТ)

По дисциплине _______________________________________________________________

Тема: «______________________________________________________________________»

Исполнитель:

______________________________

студент (факультет, курс, группа)

______________________________

Фамилия, имя, отчество

Руководитель:

______________________________

ученое звание, ученая степень, должность,

______________________________

Фамилия, имя, отчество

Барановичи год

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

  РЕЦЕНЗИЯ на курсовую работу (проект)

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Образец оформления реферата к курсовой работе

 

Р Е Ф Е Р А Т

 

 

Курсовая работа : 30с., 3 рис., 4 табл., 21 источник, 3 прил.

 

КАЧЕСТВО, УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ, СТАНДАРТЫ ИСО 9000,

ЗАТРАТЫ НА КАЧЕСТВО, КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА.

 

Объектом и предметом исследования является ……….

 

Цель работы ………………………………………………

 

При выполнении работы использованы методы ……….

 

В процессе работы проведены следующие исследования и разработки……………..

 

Элементами научной новизны полученных результатов являются ……………

 

Областью возможного практического применения являются …………………

 

Технико – экономическая и социальная значимость……………………………

 

Автор подтверждает, что приведенный в работе расчетно-аналитический материал правильно и объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных и других источников теоретические, методологические и методические положения и концепции сопровождаются ссылками на их авторов.

 

 

________________________

(подпись студента)