Работа 1. ПЛАНИРОВАНИЕ ДРОБНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Работа 1. ПЛАНИРОВАНИЕ ДРОБНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Цель работы - приобретение практических навыков в планировании и проведении экспериментов при поиске параметров линейной модели сложной системы управления.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке: 1. Подготовить исходные данные для проведения эксперимента (вари­анты исходных… — составить модель локального участка целевой функции;

Общие сведения

 

Статистические методы планирования активного эксперимента явля­ются одним из эмпирических способов получения математического описа­ния сложных объектов исследования, т.е. уравнения связи отклика объекта у и независимых управляемых входных переменных (факторов) х=(x₁,x₂,…,x_k).

При этом математическое описание представляется в виде некоторого полинома — отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость в окрестности основной точки x, например:

M{y}=j(x₁,x₂,…,x_n)=b₀+åb_jx_j+åb_jlx_jx_l+åb_jjx_j², j,l=1..k, l<j (1.1)

где b_j,b_jl ,b_jj – теоретические коэффициенты:

; ;

 

Вследствие наличия неуправляемых и даже неконтролируемых факто­ров изменение величины у носит случайный характер, поэтому функцио­нальная зависимость j(x) не дает точной связи между управляемыми факторами x⁽ⁱ⁾ и откликом объекта y_i, в каждом i-м опыте, а лишь между управляемыми факторами и математическим ожиданием случайной вели­чины y:

M{y_i}=j(x⁽ⁱ⁾) (1.2)

где j(x) – уравнение регрессии у по х; x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…, x_n⁽ⁱ⁾ ) – i-я точка пространства независимых управляемых факторов (факторного пространства).

В таком случае по результатам эксперимента можно отыскать оценку уравнения регрессии у=j(x) в форме некоторого полинома

у^М=b₀+åb_jx_j+åb_jlx_jx_l+åb_jjx_j², j,l=1..k, l<j (1.3)

где коэффициенты b₀, b₁,…, b_j,…, b_jj являются лишь оценками теоре­тических коэффициентов регрессии b₀, b₁, b_j, b_jj соответственно, а у^М — оценкой М{y}, вычисленной по уравнению регрессии (1.3). Пусть x⁽ⁱ⁾(i=1,N) — точки факторного пространства, в которых проводится эксперимент. Тогда задача отыскания оценок коэффициентов уравнения регрессии (1.3) по результатам опытов в N точках факторного пространст­ва является типичной задачей множественного регрессионного анализа в том случае, если выполняются следующие предпосылки:

1. Результаты наблюдений отклика y₁, y₂,…, y_N в N точках фактор­ного пространства представляют собой независимые нормально распреде­ленные случайные величины, т.е. на них воздействуют нормально распре­деленные случайные помехи x, с нулевым математическим ожиданием M[x].

2. Дисперсии s²{y₁} (i=1,N) равны. Это значит, что дисперсия s²{y₁} не зависит от значения входных переменных x и получаемые при проведении многократных повторных наблюдений над величиной y в любых точках x⁽ⁱ⁾ факторного пространства выборочные оценки диспер­сии s_i (у) однородны (воспроизводимость с равной точностью).

3. Независимые управляемые факторы x₁, x₂,…, x_k измеряются с пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой x, в определе­нии у (имеется в виду влияние их ошибок на величину у по сравнению с влиянием неуправляемых и неконтролируемых факторов).

Для локального участка в пределах заданной точности поверхность отклика может быть аппроксимирована полиномом первой степени

y^M=b₀+åb_jx_j j=0..k (1.4)

Положение локального участка задается координатами базовой (центральной) точки (x₁₀, x₂₀,…, x_k0), называемой центром экспери­мента, и величиной интервалов варьирования Dx₁, Dx₂,…, Dx_k.

Выбор координат базовой точки должен отвечать следующим услови­ям:

— центр эксперимента принимается в точке обычного номинального режима

функционирования исследуемой системы (объекта);

— базовая точка может находиться в центре области ограничения факторов х_i, если они имеются в наличии, а другой информации о целевой функции нет;

— если имеется какая-то информация относительно положения экс­тремума целевой функции, то целесообразно центр эксперимента выбрать вблизи предполагаемого оптимума.

Интервалы варьирования выбираются исходя из следующих сообра­жений. Большие интервалы варьирования не позволяют определить осо­бенности поверхности отклика. Слишком малые интервалы обусловлива­ют рост погрешностей в оценке составляющих градиента за счет возраста­ния ошибки наблюдений. Кроме того, необходимо, чтобы входные и вы­ходные переменные не выходили за допустимую область:

x_{j min}£x_j£x_{j max}, j=1,k (1.5)

где x_{j min}, x_{j max} — нижняя и верхняя границы изменения j-го фактора.

В общем случае выбор локального участка (центра плана и интерва­лов варьирования) зависит от вида поверхности отклика. В лабораторной работе начальные координаты центра плана принимаются равными сере­дине области определения факторов, а начальные значения интервалов варьирования обычно принимаются равными 1...5% от величины указан­ной области.

При построении плана эксперимента в локальной области факторно­го пространства используется кодировка уровней факторов с помощью формулы

где х_j— кодированное значение уровня фактора; х_j^~ — реальное значение уровня фактора в натуральных единицах; х_j0^~ — значение фактора в центре плана в натуральных единицах; Dx_j^~— интервал варьирования в натуральных единицах.

Если число факторов известно и планирование проводится на двух уров­нях, то число опытов, необходимое для реализации всех возможных ком­бинаций уровней факторов, будет

N=2^k

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. На­пример, для двух факторов условия эксперимента приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Номер	Фактор		Отклик
	х1	х2	у
	-1	-1	у1
	+1	-1	у2
	-1	+1	у3
	+1	+1	у4

Сформированный подобным образом план эксперимента называется

двухуровневым полным факторным экспериментом (ПФЭ) типа 2^k . Для его построения можно воспользоваться следующим приемом: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором — чередуются через два, в третьем — через четыре, в четвертом — через восемь и т.д.

План, соответствующий построенной таким образом матрице плани­рования (МП), обладает следующими свойствами:

1) симметричность относительно центра эксперимента — алгебраи­ческая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю:

åx⁽ⁱ⁾_j=0, i=1,N, j=1,k

2) условие нормировки — сумма квадратов элементов каждого столб­ца равна числу опытов:

å (x⁽ⁱ⁾_j)²=N, i=1,N, j=1,k

3) ортогональность матрицы — скалярное произведение любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю:

åx⁽ⁱ⁾_j* x⁽ⁱ⁾_u =0, j¹u, i=1,N, j,u=1,k

Полный факторный эксперимент дает возможность вычислить неза­висимо коэффициенты, соответствующие не только линейной части моде­ли (1.1), но и эффектам взаимодействия. Во многих практических задачах влияние взаимодействий (произведений факторов) второго и более высо­ких порядков отсутствует или пренебрежимо мало. Кроме того, на первых этапах исследования часто достаточно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при мини­мальном количестве опытов. Поэтому неэффективно использовать ПФЭ для оценивания коэффициентов лишь при линейных членах и некоторых парных произведениях из-за избыточного числа точек плана (2^k), в осо­бенности при большом числе факторов k (для определения (k+1) коэффи­циентов линейной модели достаточно (k + 1) точек плана эксперимента).

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимен­та. Он позволяет получить, например, линейное приближение искомой функциональной зависимости М {у} = j(х) в некоторой небольшой ок­рестности точки базового режима при меньшем числе опытов.

Так, для решения трехфакторной (k = 3) задачи регрессии в линейном приближении можно ограничиться четырьмя вариантами варьирования, если для плана ПФЭ типа 2² переменных х ₁ , х ₂ произведение х ₁, х ₂ приравнять третьему независимому фактору х ₃. Использование матрицы планирования, представленной в табл. 1.2, позволяет найти свободный член b ₀ и три оценки коэффициентов регрессии при линейных членах

b₁, b₂, b₃ (из четырех опытов нельзя получить более четырех оценок коэффициентов регрессии).

 

 

Таблица 1.2

n	X0	X1	X2	X3	X1 X2	X1 X3	X2 X3	X1X2X3
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

 

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. с совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов математической модели. В рассматриваемом случае каждый из найденных коэффициентов b₁ включает в себя оценки двух теоретических коэффициентов регрессии:

b₀®b₀+b₁₂₃; b₁®b₁+b₂₃; b₂®b₂+b₁₃; b₃®b₃+b₁₂;

Действительно, указанные теоретические коэффициенты в таком пла­нировании не могут быть найдены раздельно, поскольку столбцы МП для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью коррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ПФЭ типа 2 ³ и называется полурепликой от ПФЭ типа 2 ³ или планом типа N = 2^3-1 (табл. 1.2).

При большом числе k факторов для получения линейного приближе­ния можно построить дробные реплики более высокой степени дробности. Так, при k= 5 можно составить дробную реплику (четвертьреплику) на основе ПФЭ типа 2 ³, приравняв два из пяти факторов к взаимодействиям трех других факторов: парному и тройному. Будем обозначать тип дроб­ной реплики записью 2 ^k-p, если р факторов приравнены к произведени­ям остальных k - р факторов. Дробность реплики при этом равна

1/2^p.

При планировании ДФЭ недопустимо произвольное разбиение ПФЭ на части. Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все имеющиеся сведения теоретического и интуитивного характера об объекте и выделить те факторы и произведения факторов, влияние кото­рых на отклик существенно. При этом смешивание нужно производить так, чтобы линейные коэффициенты b₀, b₁, …, b_k были смешаны с коэффициентами при взаимодействиях самого высокого порядка (так как обычно они в модели отсутствуют) или при тех взаимодействиях, о кото­рых априори известно, что они не оказывают влияния на отклик.

Для построения плана ДФЭ типа 2 ^k-p выбирается k - р факторов и для них строится ПФП. Значения оставшихся p факторов определяются приравниванием их различным взаимодействиям (парным, тройным и т.д.) предшествующих факторов. Эти выражения называются генерирую­щими соотношениями. Так, в рассмотренном выше примере при построении полуреплики типа 2 ^3-1 переменная x была задана генерирующим соотношением х₃ = х₁ х₂.

Умножив обе части генерирующего соотношения на переменную, для задания которой оно использовалось, получим выражение, называемое определяющим контрастом (1 = х ₁ х ₂ х ₃ , так как всегда х ₁ х ₁ = 1 ). Совокупность всех определяющих контрастов, а также их произведений составляет обобщающий определяющий контраст (ООК).

Значение ООК позволяет для всех факторов определить, с какими эффектами взаимодействия смешаны их линейные эффекты. Перемножив поочередно каждый из независимых факторов на ООК, получим x₁=x₂x₃, x₂=x₁x₃, x₃=x₁x₂. Собственно сам ООК зада­ет систему смешивания для центра плана x₀=x₁x₂x_3.

Отсюда легко находятся смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки:

b₀®b₀+b₁₂₃; b₁®b₁+b₂₃; b₂®b₂+b₁₃; b₃®b₃+b₁₂;

Если априори можно принять, что коэффициенты при всех парных и тройном взаимодействиях равны нулю, то реализация этой полуреплики позволит получить раздельные оценки всех четырех линейных коэффици­ентов регрессии.

Для четвертьреплики в пятифакторном планировании типа 2^5-2 должны быть заданы два генерирующих соотношения, например:

x₄=x₁x₂x₃, x₅=x₁x₂,

причем полагаем b₁₂₃= 0, т.е. x₁,x₂,x₃ все вместе не взаимодейст­вуют и b₁₂= 0 , т.е. x₁,x₂ также не взаимодействуют. Определяющие контрасты для этой реплики согласно приведенным выше правилам имеют вид

1=x₁x₂x₃x₄, 1=x₁x₂x₅

Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов и их произведений, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дроб­ности. Так, в данном случае ООК имеет вид

1= x₁x₂x₃x₄= x₁x₂x₅=x₃x₄x₅.

Совместные оценки здесь определяются вспомогательными соотно­шениями

x₀=x₁x₂x₃x₄=x₁x₂x₅=x₃x₄x₅;

x₁=x₂x₃x₄=x₂x₅=x₁x₃x₄x₅;

x₂=x₁x₃x₄=x₁x₅=x₂x₃x₄x₅;

x₁x₃=x₂x₄=x₂x₃x₄=x₁x₄x₅;

x₃=x₁x₂x₄=x₁x₂x₃x₅=x₄x₅;

x₄=x₁x₂x₃=x₁x₂x₄x₅=x₃x₅;

x₅=x₁x₂x₃x₄x₅=x₁x₂=x₃x₄;

Эти вспомогательные соотношения позволяют установить, какие столбцы МП окажутся линейно зависимыми и, следовательно, совместной оценкой каких теоретических коэффициентов является тот или иной выбо­рочный коэффициент регрессии:

b₀®b₀+b₁₂₃₄+b₁₂₅+b₃₄₅;

b₁®b₁+b₂₃₄+b₂₅+b₁₃₄₅;

b₂®b₂+b₁₃₄+b₁₅+b₂₃₄₅;

b₃®b₃+b₁₂₄+b₁₂₃₅+b₄₅;

b₄®b₄+b₁₂₃+b₁₂₄₅+b₃₅;

b₅®b₅+b₁₂₃₄₅+b₁₂+b₃₄;

b₁₃®b₁₃+b₂₄+b₂₃₅+b₁₄₅;

b₁₄®b₁₄+b₂₃+b₂₄₅+b₁₃₅;

Разрешающая способность этой четвертьреплики невысокая и равна трем, так как все теоретические линейные коэффициенты регрессии сме­шаны с коэффициентами при парных взаимодействиях. Следует иметь в виду, что план ДФЭ всегда можно дополнить до плана ПФЭ недостающи­ми дробными репликами. В данном примере для остальных трех четвертьреплик генерирующие соотношения запишутся в виде

x₄=x₁x₂x₃;

x₅=-x₁x₂;

 

x₄=-x₁x₂x₃;

x₅=x₁x₂;

 

x₄=-x₁x₂x₃;

x₅=-x₁x₂;

а обобщающие определяющие соотношения — в виде

1=x₁x₂x₃x₄=-x₁x₂x₅=-x₃x₄x₅;

1=-x₁x₂x₃x₄=-x₁x₂x₅=-x₃x₄x₅;

1=-x₁x₂x₃x₄=-x₁x₂x₅=x₃x₄x₅;

Осуществление этих дополняющих четвертьреплик означает реализа­цию ПФЭ в целом и, следовательно, раздельное оценивание всех теорети­ческих коэффициентов регрессии.

С учетом свойств матрицы планирования формулы для вычисления оценок коэффициентов регрессии b_j и b_j1 принимают вид

; ; ; j,l=1,..,k, j¹l (1.6)

Поскольку они определяются по результатам эксперимента (случай­ные величины), то и значения их также случайны, т.е. определяются с погрешностями. Может случиться, что абсолютная величина некоторых коэффициентов приблизительно равна погрешностям их определения или даже меньше. Такие коэффициенты считаются незначимыми. Физически незначимость коэффициента по какому-либо фактору х_j означает, что приращение целевой функции, вызванное изменением фактора х_j, соиз­меримо с погрешностями измерения целевой функции.

Для ортогональных планов ПФЭ и ДФЭ дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой и определяются следующим образом:

s_bj²=s_bjl²=Dвос/N,

где Dвос - s²{у} — дисперсия воспроизводимости, характеризующая

ошибку наблюдений. Для ее определения в одной из точек плана (обычно в центре) производится q независимых наблюдений выходной переменной у. Оценка Dвос будет

 

;

где у _0j — значение выходной переменной в i-м наблюдении.

Проверка значимости коэффициентов b j состоит в проверке статис­тической гипотезы H₀: bj = 0 . С этой целью используется статистика

U j=b_j/s_{bj ,} подчиненная t-распределению Стьюдента c n_вос =q -1 числом степеней свободы. Если вычисленное значение ½U j½< t_a, то гипотеза принимается и коэффициент bj незначим. Значение t_a берется из таблицы t-распределения (приложение 2) при заданном уровне значи­мости a.

Аналогично может быть проверена значимость коэффициентов рег­рессии b_jl.

Статистическая незначимость оценки коэффициента регрессии может быть обусловлена следующими причинами:

— данный j-й фактор не имеет функциональной связи с откликом, т.е. b_j = 0 ;

— уровень х_j0 базового режима x₀ находится в точке частного экстремума функции отклика по фактору xj и тогда

b_j=¶y/¶x_j=0;

— интервал варьирования Dx_j выбран малым;

— вследствие влияния неуправляемых и неконтролируемых факторов велика ошибка воспроизводимости эксперимента.

Если значимы все коэффициенты регрессии, полученная модель может быть использована для исследования системы.

Если часть коэффициентов регрессии значима, а часть незначима, то можно провести дополнительную серию опытов с тем же центром плана (или с его переносом) и новыми интервалами варьирования по незначи­мым факторам.

Возможны другие способы получения значимых коэффициентов — увеличение числа параллельных опытов и достройка плана путем перехода к реплике меньшей дробности.

Если все коэффициенты незначимы, следует увеличить интервалы варьирования Dх_j ( j=1,k) по всем факторам.

Следует отметить, что найденные по формулам (1.6) параметры моде­ли могут быть использованы только при подстановке в модель (1.4) нор­мированных значений переменных (1.5). Для получения линейной регрес­сионной модели, использующей значения входных переменных в нату­ральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов мо­дели по формулам

; ; j=1,..,k

где b — коэффициенты модели в нормированной системе координат; а — коэффициенты модели в абсолютной системе координат.

Для модели первого порядка с парными взаимодействиями формулы пересчета коэффициентов имеют вид

;

 

, i=1..k;

 

, i,j=1..k, i>j

Для проверки гипотезы об адекватности математического описания опытным данным достаточно оценить отклонение предсказаний по полу­ченному уравнению регрессии величины отклика у^M_i от результатов на­блюдений y_i в одних и тех же i -x точках факторного пространства. Рас­сеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оцениваю­щего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности

,

где (k + 1) — число членов аппроксимирующего полинома. Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы n_ад=N-(k+1).

Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в сопостав­лении дисперсии адекватности D _ад с оценкой дисперсии воспроизводимости отклика D_вос. Если эти оценки дисперсий однородны, то матема­тическое описание адекватно представляет результаты опыта, если же нет, то описание считается неадекватным. Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F -критерия Фишера, который характери­зуется отношением

F=D_ад/D_вос.

Если найденное эмпирически значение критерия F меньше критичес­кого F_кр, найденного из приложения 1 для соответствующих степеней свободы числителя v_ад = N - (k+l) и v_вос= q-1 знаменателя при заданном уровне значимости a, то гипотезу об адекватности принимают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

Проверка адекватности возможна только при числе степеней свободы n_ад и n_вос больше нуля. Если число N вариантов варьирования плана ПФЭ равно числу оценок коэффициентов регрессии N = k + 1 , то для проверки гипотезы об адекватности математического описания степеней свободы не остается (n_aд =0). Если же некоторые оценки коэффициен­тов регрессии оказались незначимыми, то число членов проверяемого уравнения в этом случае меньше числа N вариантов варьирования N > k + 1 и для проверки гипотезы об адекватности останется одна или несколько степеней свободы (n_ад > 0). Однако в этом случае необходи­мо исключить незначимые коэффициенты b_j из уравнения регрессии и пересчитать величину D_ад.

Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к более сложной форме математического описания либо, если это возмож­но, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования D xj. Следует отметить, что максимальная величина интервала варьирования определяется условием адекватного описания объекта в области варьиро­вания. Если при больших интервалах варьирования математическая мо­дель неадекватна, то возникают систематические ошибки в определении коэффициентов, для уменьшения которых следует сузить область варьиро­вания. Однако с уменьшением интервала варьирования появляется целый рад новых трудностей: растет отношение помехи к полезному сигналу, что приводит к необходимости увеличения числа параллельных опытов для выделения полезного сигнала на фоне шума, иначе оценки коэффициентов могут стать статистически незначимыми.

Если линейная модель неадекватна, то необходимо оценить значи­мость влияния квадратичных членов уравнения (1.1) на выходную пере­менную. С этой целью используется статистика

,

подчиненная t - распределению Стьюдента с числом степеней свободы n_boc = q - 1 .Если U < t_a , найденного из приложения 2 при заданном уровне значимости a, то влияние факторов хj² незначимо и им можно пренебречь. В противном случае нужно переходить к уравнению регрессии более высокого порядка.

Варианты задания области изменения факторов и значимых взаимо­действий представлены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Номер варианта	Границы области допустимых значений факторов	Значимые взаимодействия
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
	0;30	-10;40	0;70	-50;20	-15;15	x1x3, x1x4
	40;100	25;45	-10;80	20;100	25;65	x1x3, x1x5
	10;70	10;80	-15;65	50;90	40;100	x2x3, x3x4
	40;90	-20;20	10;60	50;100	-15;45	x1x4, x1x5
	20;60	0;60	-15;75	0;40	10;60	x1x4, x3x4
	10;60	-15;75	40;90	50;80	0;100	x1x3, x2x3
	45;85	40;120	30;100	20;70	50;120	x1x3, x3x4
	50;125	-20;50	20;80	40;90	30;80	x2x4, x2x5

 

Для проведения эксперимента и получения значений функции от­клика в заданных точках плана используется стандартная программа BLACKBOX, входящая в состав математического обеспечения кафед­ры. Способы обращения к программе и организации ввода данных представляются преподавателем.

 

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

— задание;

— матрицы планирования эксперимента, составленные из кодирован­ных и реальных значений входных переменных;

— результаты эксперимента;

— результаты расчетов оценок коэффициентов регрессий и диспер­сий;

— результаты проверки значимости коэффициентов и адекватности модели;

— выводы по работе.

 

Контрольные вопросы

 

1. Каким образом формируется матрица планирования при ПФЭ?

2. Какими свойствами обладает матрица планирования?

3. Как осуществляется выбор интервала варьирования? Его допусти­мые максимальные и минимальные значения.

4. Дробные реплики. Значение реплик и составление для них матриц планирования.

5. Почему желательна симметрия уравнений регрессии относительно коэффициентов?

6. Каково допустимое минимальное число экспериментов при задан­ном числе факторов?

7. Полуреплики 2 ^4-1 заданы: одна — определяющим контрастом 1=x₁x₂x₃x₄, другая — генерирующим соотношением х ₄ = - x₁ х₂ . Какая из этих полуреплик обладает большей разрешающей способностью?

8. Матрица планирования (ДФЭтипа2^5-1) задана генерирующими соотношениями x₄=-x₁x₃; x₅=x₁x₃x₂. Найти систему смешивания основных факторов.

9. Как проверить значимость оценок коэффициентов регрессии?

10. При каких условиях оценки коэффициентов регрессии незначимы и как эти условия устранить?

11. Как проверить адекватность модели?

 

 

Работа 2 МЕТОД КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ (МЕТОД БОКСА — УИЛСОНА)

 

Цель работы — знакомство с методом планирования экспериментов, предназначенных для поиска условий, которые обеспечивают экстремум функции отклика.

 

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке: 1. Для построенной линейной регрессионной модели рассчитать шаги движения по… 2. Построить в натуральных единицах план эксперимента, реализую­щий движение по градиенту.

Общие сведения

 

Метод крутого восхождения основан на использовании движения по градиенту в сторону возрастания выходной переменной у .

Напомним, что вектор-градиент в k-факторном пространстве опреде­ляется соотношением

,

где (i=1..k) — единичные направляющие векторы (орты), распо­ложенные вдоль факторных осей; д у / д х _i — частная производная целе­вой функции по i-му фактору.

Для линейной регрессионной модели вида у = b₀ + b_lx_l + ...+ b_kx_k коэффициенты bj являются компонентами вектора-градиента.

Таким образом, если коэффициент регрессии b_j умножить на интер­вал варьирования фактора Dх_i, то будет определено приращение коорди­наты x_i точки, лежащей на градиенте. Это положение для двумерного случая иллюстрируется на рис.2.1.

 

Расчет движения по градиенту осуществляется таким образом, чтобы от центра плана до границ области в направлении градиента получилось 8-10 шагов. Для этого необходимо :

а) определить составляющие градиента в реальном масштабе

l_I=b_iDx_i^~_, i=1,k

б) вычислить число шагов по каждой из переменных в сторону возрас­тания функции от центра плана х_io до границы области x_i^~Г в направ­лении движения х_i^~ _min или х_i^~ _max:

где t — масштабный коэффициент (первоначально t = 1 );

в) определить минимальное число шагов в направлении градиента в допустимой области п= minn_i. Если оно неудовлетворительно, то мас­штабный коэффициент t необходимо скорректировать таким образом, чтобы получить число п в желаемом интервале (8-10);

г) величину шага по выбранной в п.«в» 7-й переменной принять за базовую lб а з = l_Itкон;

д) определить величину шага по всем переменным, обеспечивающую движение по градиенту в реальном масштабе:

, i=1..k;

е) определить координаты точек на i- м шаге в направлении градиента

, l=1,2,…,

и провести в них «мысленные» (по модели) и проверочные (реальные) опыты.

«Мысленные» опыты заключаются в получении предсказанных (рас­четных) значений отклика у ^м по полученному линейному уравнению регрессии. Они позволяют: 1) сокращать объем реальных опытов; 2) полу­чить представление о том, насколько хорошо регрессионные уравнения аппроксимируют реальную поверхность отклика, т.е. насколько расчет­ные значения у ^м отличаются от значений y, наблюдавшихся в реальных опытах.

Проделывая эксперименты в каждой точке (с выбранным шагом), построим зависимость функции отклика от номера шага (рис.2.2).

 

Найденная в результате движения по градиенту экстремальная точка принимается в качестве исходной (центр плана) для построения нового плана эксперимента.

Вокруг нее снова формируется ПФП (ДФП), проводится эксперимент, строится линейная модель, определяется новое направление движения в направлении градиента и повторяются все действия, обеспечивающие дви­жение в область экстремума функции отклика.

Для организации движения по градиенту можно также использовать методы оптимизации функции одной переменной (методы дихотомии, «золотого сечения», чисел Фибоначчи и др.).

Поисковое рабочее движение прекращают по достижении области экстремума. Признаком достижения экстремума является статистическая незначимость оценок b _i коэффициентов линейной регрессии, вычислен­ных по результатам ПФЭ (ДФЭ) вокруг очередной нулевой точки, либо выход на границу области допустимых значений факторов.

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

—задание;

— матрицы планирования эксперимента;

— результаты эксперимента, оформленные в виде таблицы;

— график изменения функции отклика при движении по градиенту;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

 

1. В чем заключается процедура метода крутого восхождения?

2. В чем состоит роль мысленных опытов и как они проводятся?

3. Каким образом методом крутого восхождения можно исследовать поверхность с несколькими экстремумами?

4. Как определить расчетные составляющие рабочих шагов в реаль­ном масштабе в направлении градиента?

5. Когда заканчивается поисковое рабочее движение к области экстре­мума функции отклика?

 

 

Работа 3. ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ

ПЛАНИРОВАНИЕ

 

Цель работы — изучение методов планирования эксперимента для получения математического описания системы в виде полинома второго порядка и использование этого описания для определения координат оп­тимума функции отклика.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке: 1. Оформить план эксперимента. 2. Для заданной преподавателем модели исследуемого объекта («чер­ного ящика») провести на ЭВМ эксперименты в…

Общие сведения

 

Пусть имеется сложная система. При исследовании целевой функции у в области экстремума (стационарной области) модель первого порядка является уже недостаточной. Более подходящей моделью для аппроксима­ции локального участка функции отклика является регрессионная модель второго порядка

M{y}=b₀+åb_jx_j+åb_jlx_jx_l+åb_jjx_j², j,l=1..k, l<j (3.1)

где b₀,b_j,b_jl ,b_jj — коэффициенты регрессии.

Планы проведения эксперимента, необходимого для построения мо­дели второго порядка, отличаются от линейных планов тем, что факторы варьируются на нескольких (минимум на трех) уровнях. В связи с этим на практике используются центральные композиционные планы (ЦКП), со­стоящие из трех блоков, включающих:

1) ядро плана — точки Nф= 2^k полного или дробного факторного эксперимента Nф = 2 ^k-p

2) «звездные» точки N _а = 2 ^k ;

3) нулевые (центральные) точки N ₀.

Общее число N точек ЦКП N = N ф + N _а + N ₀ .

При построении планов используют различные критерии оптималь­ности планирования. Наиболее широко применяются ортогональные, ротатабельные и D-оптимальные планы.

При ортогональном планировании коэффициенты уравнения регрес­сии оцениваются независимо с минимальными дисперсиями. Причем фак­торы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пере­счета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо делать при неортогональных планах.

Ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения функции отклика с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.

Точность оценивания коэффициентов регрессии характеризуется эл­липсоидом рассеивания их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был мини­мальным, называется D-оптимальным.

В настоящей работе рассматривается ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все оценки коэффициентов являются не­зависимыми друг от друга.

При ОЦКП к ядру N ф плана добавляют 2 k звездных точек с коор­динатами, включающими звездное плечо (так, при k= 2 добавляются четыре точки с координатами (±а,0),(0,±а), которые изображены на рис.3.1), и одна точка в центре плана.

Значения входных переменных, соответствующие композиционному плану второго порядка при k = 3, приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1

Номер опыта	Х1	Х2	Х3	Примечания
	-1	-1	-1	Полный факторный план Nф
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	+1
	+a			Звездные точки Na
	-a
		+a
		-a
			+a
			-a
				Центр плана N0

 

Величина a выбирается так, чтобы обеспечить ортогональность получаемого плана. В табл.3.2 приведены параметры ортогональных центральных композиционных планов для разного числа входных переменных.

 

 

Таблица 3.2

Размерность	Ядро плана	N	a	b	C0	C1	C2	C3
	22			0,6667	0,1111	0,1667	0,5	0,25
	23		1,215	0,73	0,0667	0,0913	0,229	0,1250
	24		1,414	0,8	0,04	0,05	0,125	0,0625
	25-1		1,547	0,77	0,0370	0,0481	0,087	0,0625
	26-1		1,722	0,843	0,222	0,0264	0,056	0,0312
	27-1		1,885	0,9	0,0127	0,0141	0,038	0,0156
	28-1		2,001	0,8898	0,0123	0,0139	0,031	0,0156

 

Формулы для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии имеют вид

, 1 £ i £ k;

 

, 1 £ i £ k;

(3.2)

, 1 £ i , l £ k, i<1;

 

.

Оценки дисперсий коэффициентов модели определяются по формулам

где D _вос — оценка дисперсий ошибок наблюдений (дисперсия воспроизводимости), для определения которой необходимо произвести q дополнительных наблюдений в выбранной точке (например, в центре плана):

, (3.3)

где — среднее значение выходной переменной, вычисленное по результатам этих наблюдений.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t -критерию по изложенной в работе 1 методике с v = q - 1 степенями свободы:

Если какое-либо неравенство выполняется, то соответствующий коэффициент значим.

Найденные по формулам (3.1) параметры модели могут быть использованы только при подстановке в модель нормированных значений переменных (1.5). Для получения регрессионной модели вида (3.1), использующей значения входных переменных в натуральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов модели по формулам

где b — оценки коэффициентов модели в нормированной системе координат; а — оценки коэффициентов модели в абсолютной системе координат. Проверка адекватности модели проводится с помощью F-критерия Фишера:

F=D_ад/D_вос

где Dад — дисперсия адекватности, определяющая рассогласование результатов эксперимента у _i со значениями выходной переменной уi ^м, вычисленными по модели:

, (3.4)

 

где d—число коэффициентов модели.

Если F < F_Kp при заданном уровне значимости для числа степеней свободы числителя .v_aд = N-d и v_вос =q-l знаменателя, то гипотеза об адекватном описании объекта принимается.

Если модель неадекватна, то следует изменить интервалы варьирования переменных. Если и это не приводит к желаемым результатам, необходимо переходить к построению модели более высокого порядка.

Если полученная модель адекватна, то она используется для анализа поверхности отклика и поиска положения точки оптимума. Для определения координат экстремальной точки необходимо либо приравнять нулю первые частные производные полученного уравнения регрессии и решить данную систему линейных уравнений, либо воспользоваться имеющимися стандартными численными методами оптимизации функции многих пере­менных, используя уравнение регрессии в качестве целевой функции. Если найденная экстремальная точка находится в допустимой области, то в ней необходимо провести дополнительный эксперимент и сопоставить полученные результаты с величиной, вычисленной в этой же точке по модели, а также со значением функции отклика в центре плана.

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

— задание;

— план эксперимента;

— полученную нелинейную модель;

— результаты проверки на значимость;

— результаты проверки на адекватность;

— результаты поиска экстремума с использованием модели;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

 

1. В каких случаях используется план второго порядка?

2. Как достигается ортогональность матрицы планирования при

ОЦКП?

3. Как определяются координаты звездных точек?

4. Как определяется общее количество опытов в ОЦКП?

5. Каким образом осуществляется преобразование переменных в

ОЦКП?

6. Каким образом проверяется значимость коэффициентов модели?

7. Как проверить адекватность модели?

 

Работа 4. РОТАТАБЕЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

 

Цель работы — ознакомление с методом ротатабельного композиционного планирования и изучение особенностей его применения в экстремальных экспериментах.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке: 1. Сформировать план эксперимента. 2. Для заданной преподавателем модели исследуемого объекта («черного ящика») провести на ЭВМ эксперименты в…

Общие сведения

Пусть имеется сложная система управления. Для аппроксимации локального участка функции отклика и исследования целевой функции у в области экстремума (стационарной области) используется регрессионная модель второго порядка вида (3.1).

Задача состоит в том, чтобы по результатам эксперимента, проведенного в соответствии с ротатабельными композиционными планами, найти оценки коэффициентов уравнения регрессии к на основе полученного описания системы предсказать оптимальные значения управляемых пере­менных (как отмечалось ранее, ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения функции отклика с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана). Ротатабельный центральный композиционный план для математической модели второго порядка может быть получен путем добавления к N ф точек ядра плана N _а звездных точек с координатами (± а,0,...,0),...,(0,...,0,± а),а также Nо точек в центре плана.

Величина плеча а для ротатабельного плана второго порядка вычисляется по формуле

A=2^(k-p)/4

Число опытов Nо в центре плана выбирается из следующих соображений. Выдвигается требование, чтобы информация о значении выходной переменной оставалась неизменной для точек внутри сферы единичного радиуса с центром в центре плана. Иными словами, требуется, чтобы информационный профиль ротатабельного плана мало изменялся при значениях радиуса от 0 до 1. Планы, удовлетворяющие этому условию, называются ротабельными униформ-планами.

Униформ-план можно получить, меняя число точек в центре композиционного плана второго порядка. В табл.4.1 приведены значения плеча а ,числа точек в центре плана N о, звездных точек N а и общего числа точек N для ротатабельных униформ-планов второго порядка.

Таблица 4.1

Размерность	Ядро плана	Nф	Na	No	N	a
	22					1,414
	23					1,682
	24					2,000
	25					2,378
	25-1					2,000
	26					2,828
	26-1					2,378
	27					3,333
	27-1					2,828

 

Формулы для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии в нормированной системе координат имеют вид

;

где

В формулах значения x_ij, x_lj берутся из матрицы ротатабельногс планирования.

Оценки коэффициентов b_i и b_il получаются не зависимыми друг oт друга, а оценки коэффициентов b₀ и b_ii коррелированы между собой,

Оценки дисперсии оценок коэффициентов регрессии определяются по формулам

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится по t - критерию по изложенной в работе 1 методике с v = q - 1 степенями свободы. Ширина доверительных интервалов для коэффициентов регрессии

Db= ±(t_as_b).

Значение t_a. находится из таблиц (приложение 2) исходя из заданного уровня значимости а и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости D вос. Значимость коэффициентов регрессии проверяется сравнением доверительных интервалов с абсолютной величиной коэффициентов регрессии.

Проверка адекватности модели проводится с помощью F-критерия

Фишера:

F=D_ад/D_вос

где D _ад — дисперсия адекватности, определяющая рассогласование результатов эксперимента у_i со значениями выходной переменной у_i; , вычисленными из модели (3.4); D _вос — оценка дисперсии ошибок наблюдений (дисперсия воспроизводимости) (3.3).

Если F < F_кр при заданном уровне значимости для числа степеней свободы числителя v_aд = N-d и v_вос =q-l знаменателя, то гипотеза об адекватности модели принимается.

В случае адекватности модели она используется для анализа поверхности отклика и поиска положения точки оптимума. В противном случае следует изменить интервалы варьирования переменных или перейти к построению модели более высокого порядка.

Пересчет коэффициентов модели для использования значения входных переменных в натуральных единицах производится по формулам, используемым в работе 3.

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

— задание;

— план эксперимента;

— полученную нелинейную модель;

— результаты проверки на значимость;

— результаты проверки на адекватность;

— результаты поиска экстремума с использованием модели;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

 

1. Какое планирование называется ротатабельным?

2. Какие планы эксперимента используются при ротатабельном планировании второго порядка?

3. Как определяется величина плеча а в ротатабельном планировании?

4. Что означает понятие «информационный профиль» плана?

5. Чем определяется в ротатабельном планировании число центральных точек N₀?

6. Какой критерий оптимальности плана применяется в ротатабель­ном планировании?

7. Когда применяется ротатабельное композиционное планирование?

8. Чем отличается дробный факторный эксперимент от ротатабельного планирования?

9. Как переводится уравнение для нормированных величин в уравнение для физических величин?

 

 

Работа 5. ПОСТРОЕНИЕ D - ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ

 

Цель работы — изучение численных методов построения D- оптимальных планов и получение практических навыков их использования.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке : 1. Для модели объекта, заданной пользователем, построить непрерывный… — определить точки спектра непрерывного D-оптимального плана;

Общие сведения

 

При построении по экспериментальным данным математических моделей исследуемых объектов, описываемых уравнением вида

y=b^Tf(x) (5.1)

где f(х) — заданные функции: f(x)={f₀(x), f₁(x),…,f_d(x)}^T ; d — число параметров уравнения (5. 1); х = {х₁ , х₂ ,…, х_k } — вектор независимых управляемых переменных (факторов), обычно требуется составить программу проведения эксперимента, удовлетворяющую условиям выполнения некоторого критерия оптимальности. В планировании экспе­римента широко используется критерий D-оптимальности, позволяющий охватить широкий круг экспериментальных задач: нелинейных, последовательного планирования, с произвольной областью варьирования независимых переменных, с неодинаковой точностью опытов при различных условиях проведения эксперимента.

Пусть задан точный план эксперимента

x={x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…,x^(N)}^T

где x⁽ⁱ⁾- i-я точка факторного пространства: x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…, x_k⁽ⁱ⁾); N — число точек плана.

Матрица значений функций независимых переменных в точках плана имеет вид

.

Так как часть точек плана может повториться, то его можно представить в виде

,

где x^(j) — точки, в которых сосредоточен план X, j = 1 ,r (спектр плана); h_j — число повторных наблюдений в j -й точке плана, причем

Обозначим l_j=h_j/N— частота j -й точки плана. Тогда соответствующий ему план, заданный в виде

называется нормированным планом. Если частоты l_j могут принимать любые значения в интервале [0,1] при условии ål_j== 1, то план L называется непрерывным.

Например, если для двух переменных х₁, х₂ точный план

 

-1 -1

+1 -1

-1 +1

Х= -1 +1

0 0

0 0

то с учетом кратности последних точек соответствующий ему непрерывный план будет

x⁽¹⁾, x⁽²⁾, x⁽³⁾, x⁽⁴⁾, x⁽⁵⁾

L=

1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 2/6,

 

Критерий D-оптимальности требует такого выбора плана X *, содержащего N опытов, при котором определитель дисперсионной матрицы С (X ) минимален т.е.

½С (X* )½=min½С (X)½=min½(F^TF)^-1½ xÎW_x

или, соответственно, максимален определитель информационной матри­цы М(Х):

½M (X* )½=max½M(X)½=max½F^TF½ xÎW_x

где X* — оптимальный план в смысле критерия D-оптимальности; W_х — область изменения параметров плана X.

План L * будет непрерывным D-оптимальным планом, если он минимизирует на множестве всех непрерывных планов в области W_x величину определителя дисперсионной матрицы или, соответственно, максимизирует определитель информационной матрицы М(Х).

Из теории планирования эксперимента известно, что в случае равноточных наблюдений процедура построения непрерывного D-оптимального плана сводится к выполнению рекуррентных операций, определяемых уравнениями

M(t+1)=M(t)+f(x*)f^T(x*) (5.2)

f^T(x*)C(t)f(x*)=max f^T(x*)C(t)f(x*) (5.3)

где C(t)M(t) — дисперсионная и информационная матрицы соот­ветственно на t -м шаге.

Для упрощения вычислений целесообразно разделить процедуры получения координат точек (спектра) D-оптимального плана и определения частот повторения. Выявление точек, в которых концентрируется D-оптимальный план, можно осуществить за сравнительно небольшое количество циклов по рекуррентным соотношениям (5.2), (5,3), тогда как точное определение частот в каждой точке требует большего числа циклов. Такое разбиение процедуры получения D-оптимальных планов обусловлено тем, что при определении частоты повторения наблюдений нет необходимости искать глобальный максимума f(x)^t C(t)f(x} по всему пространству, так как заранее известно, что он будет иметь место в одной из точек, найденных на первом этапе.

Для получения спектра непрерывного D-оптимального плана следует провести следующие операции:

а) выбрать произвольный начальный невырожденный план для числа наблюдений Nо (r <=Nо:

 

x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(r)

L⁽⁰⁾=

l₁, l₂, …, l_r

и определить информационную матрицу

M(0)=ål_if(x⁽ⁱ⁾)f^T(xⁱ)

б) по уравнению (5.3) определить точку х *, в которой квадратичная форма f^т(x)С(0)f(х) имеет глобальный максимум на множестве Wх. Поиск глобального максимума может быть основан на многократном применении локального поиска из разных точек пространства Wх и последующем выборе максимального из всех значений локальных максимумов. Поиск локальных максимумов следует начинать с точек начального плана. Для обнаружения возможных максимумов, не предусмотренных начальным планом, локальный поиск следует осуществлять также из ряда случайных точек, координаты которых можно получить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных на области Wх;

в) после определения точки глобального максимума х * скорректировать матрицу L⁽⁰⁾ по уравнению (5.2), т.е. получить план

 

x⁽¹⁾ , x⁽²⁾, …, x^(r), x*

L⁽¹⁾=

(l-a₀)l₁, (l-a₀)l₂, …, (l-a₀)l_r, a₀

Операции «б», «в» повторить с заменой плана L⁽⁰⁾ на L⁽¹⁾ и т.д. до выполнения останова в соответствии с выбранным правилом.

Практика показывает, что обычно можно производить останов по процедуре (5.2), (5.3), когда число циклов будет в два-три раза больше максимального числа точек, в которых концентрируется D-оптимальный план. В общем случае количество вычислений зависит от выбранных начальных приближений и будет тем меньше, чем ближе М(О) к информационной матрице D-оптимального плана.

Для определения частоты повторения наблюдений в каждой точке необходимо:

а) выбрать начальный план L⁽⁰⁾, включающий по одному разу все точки, которые были определены на первом этапе:

 

x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(r)

L⁽⁰⁾=

1/No, 1/No, 1/No

 

где No—число наблюдений (в начальном плане N ₀ = r); r — число точек спектра D-оптимального плана;

б) на основании соотношения (5.3) определить точку x⁽ⁱ⁾* спектра плана, в которой квадратичная форма f^т(х^(i)*)C(0)f(x^(i)*) (i=1 , r) больше, чем в остальных точках спектра. В том случае, когда получаются одинаковые наибольшие значения в нескольких точках спектра оптимального плана, выбирается любая из них;

в) скорректировать информационную матрицу М по уравнению (5.2), в результате чего получается план

где а₀ = 1 / N и k — номер точки спектра, в которой добавляется еще одно наблюдение к плану L ⁽⁰⁾;

— операции «б»и«в» повторить с заменой плана L⁽⁰⁾ на L⁽¹⁾ и числа наблюдений N ₀ на N ₁.

Другой подход к определению частот связан с подсчетом числа попаданий глобального максимума квадратичной формы f^т(х^(i)*)C(0)f(x^(i)*) (i=1 , r) в каждую точку спектра х⁽ⁱ⁾ D-оптимального плана:

l_i = (m_i+l)/(N₀ +S),

где т i — число попаданий в точку х^(i)* спектра плана; S — число циклов на этапе определения частот.

Из процедуры построения непрерывных D-оптимальных планов видно, что вычислительные затраты на каждом шаге планирования складываются главным образом из времени, необходимого для поиска гло­бального максимума квадратичной формы, и времени обращения скорректированной информационной матрицы.

Дисперсионная матрица С (t + 1 ) на ( t + 1 )-м шаге рекуррентной процедуры может быть получена на основании известной после t-го этапа информационной матрицы по формуле

C(t+1)=[M(t)+f(x)f^T(x)]^-1

где х — точка, добавляемая в план L^(t) .

Для упрощения вычислений можно воспользоваться известной формулой обращения матриц

(5.4)

где А — квадратичная матрица размерности п х п; U — вектор-столбец размерности п .С учетом того что добавление точки в исходный план происходит c некоторым весом а , выражение (5.4) приводит к следующей формуле для определения элементов обратной матрицы С (t + 1) по известной матрице С(t):

Обозначим через Q (х , L ) функцию Q(x, L)=f^T(x)C(L^(t))f(x). Из теории планирования эксперимента известно, что непрерывный план L тогда и только тогда оптимален, когда

max Q(x , L) = k+1 ,

x Î W_x

где(k+ 1) — число оцениваемых параметров.

Это положение можно использовать для оценки относительного отличия получаемого плана L от D-оптимального с помощью формулы

С другой стороны, этой формулой можно воспользоваться для останова процедуры построения D-оптимального плана при достижении некоторого наперед заданного, достаточно малого положительного значения d.

Полученный непрерывный план может быть использован для постро­ения точного D-оптимального плана при заданном числе опытов N. Решение данной задачи зависит от соотношений числа опытов в точном плане N и числа точек непрерывного плана r , а также от соотношений максимальной l_mах и минимальной l_min частот точек непрерывного плана. При этом возможны следующие ситуации:

а) N = т r , l _mах = l _min и т — целое число. Так как l _mах = l _min , то

l₁=l₂=…=l_r=1/r

Точный план, определяемый при этих условиях с помощью непрерыв­ного D-оптимального плана, является D-оптимальным планом. Количество наблюдений в точке х⁽ⁱ⁾ этого плана

h_i=nl_i=N1/r=mr1/r=m

б) r <<N. В этом случае можно ожидать, что с помощью непрерыв­ного плана получится точный план, достаточно близкий к D-оптимальному. Число наблюдений hi в точке х⁽ⁱ⁾ определяется округлением произведения N1i до ближайшего целого числа;

в) k + 1 <= N <r. В этом случае трудно получить однозначное решение.

Варианты задания приведены в табл.5.1.

Таблица 5.1

Номер бригады	Вид математической модели объекта
	y=bo+b1x1+b2x12
	y=bo+b1x1+b2x2
	y=bo+b1x1+ b2x2+b12x1x2
	y=bo+b1x1+ b2x2+b11x12
	y=bo+b1x1+ b2x2+ b12x1x2+b11x12
	y=bo+b1x1+ b2x2+ b12x1x2+b11x12+b22x22
	y=bo+b11x12+b22x22

 

Построить D-оптимальные планы для расположения точек, представленного на рис.5.1.

 

 

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

—задание;

— блок-схему процедуры вычисления непрерывного D-оптимального

плана; ооауг

— программу для вычисления D-оптимального плана на JBM;

— полученный непрерывный и точный D-оптимальные планы;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Какой план называется D-оптимальным?

2 Чем отличается непрерывный план от точного?

3. Чем вызвано разбиение процедуры построения D-оптимального

плана на два этапа?

4. Как определяется глобальный максимум квадратичной формы f^T(x)Cf(x)?

5. Исходя из каких условий выполняется останов вычислительных процедур каждого этапа построения D-оптимального плана?

6. Каким образом проверяется близость полученного плана к D-оптимальному?

7. Как получить на основе непрерывного точный D-оптимальный план?

 

 

Приложение 1

ЗНАЧЕНИЯ F-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ УРОВНЕ ЗНАЧИМОСТИ а = 0,05

Значение v2	Значение v1
								¥
	164.4	199.5	215.7	224.6			236.9	238.9	254.3
	18.5	19.2	19.2	19.3	19.3	19.3	19.4	19.4	19.5
	10.1	9.6	9.3	9.1	9.0	8.9	8.5	8.5	8.5
	7.7	6.9	6.6	6.4	6.3	6.2	6.1	6.1	5.6
	6.6	5.8	5.4	5.2	5.1	5.0	4.9	4.9	4.3
	6.0	5.1	4.8	4.5	4.4	4.3	4.2	4.1	3.7
	5.5	4.7	4.4	4.1	4.0	3.9	3.8	3.7	3.2
	5.3	4.5	4.1	3.8	3.7	3.6	3.5	3.4	2.9
	5.1	4.3	3.9	3.6	3.5	3.4	2.3	3.2	2.7
	5.0	4.1	3.7	3.5	3.3	3.2	3.1	3.1	2.5
	4.8	4.0	3.6	3.4	3.2	3.1	3.0	3.0	2.4
	4.8	3.9	3.5	3.3	3.1	3.0	2.9	2.9	2.3
	4.7	3.8	3.4	3.2	3.0	2.9	2.8	2.8	2.2
	4.6	3.7	3.3	3.1	3.0	2.9	2.8	2.7	2.1
	4.5	3.7	3.3	3.1	2.9	2.8	2.7	2.6	2.1
	4.5	3.6	3.2	3.0	2.9	2.7	2.7	2.6	2.0
	4.5	3.6	3.2	3.0	2.8	2.7	2.6	2.5	2.0
	4.4	3.6	3.2	2.9	2.8	2.7	2.6	2.5	1.9
	4.4	3.5	3.1	2.9	2.7	2.6	2.5	2.5	1.9
	4.4	3.5	3.1	2.9	2.7	2.6	2.5	2.4	1.8
	4.3	3.4	3.1	2.8	2.7	2.6	2.5	2.4	1.8
	4.3	3.4	3.0	2.8	2.6	2.5	2.4	2.4	1.7
	4.2	3.4	3.0	2.7	2.6	2.5	2.4	2.3	1.7
	4.2	3.3	3.0	2.7	2.6	2.4	2.4	2.3	1.7
	4.2	3.3	2.9	2.7	2.5	2.4	2.3	2.3	1.6
	4.1	3.2	2.9	2.6	2.5	2.3	2.2	2.2	1.5
	4.0	3.2	2.8	2.5	2.4	2.3	2.2	2.1	1.4
	3.9	3.1	2.7	2.5	2.3	2.2	2.1	1.9	1.3
¥	3.8	3.0	2.6	2.6	2.4	2.2	2.0	1.9	1.0

Приложение 2

ЗНАЧЕНИЕ f-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА ПРИ УРОВНЕ ЗНАЧИМОСТИ а = 0,05

 

Число степеней свободы	Значения t-распределения	Число степеней свободы	Значения t-распределения	Число степеней свободы	Значения t-распределения
	12.71		2.201		2.080
	4.303		2.179		2.074
	3.182		2.160		2.069
	2.876		2.145		2.064
	2.671		2.131		2.060
	2.447		2.120		2.056
	2.365		2.110		2.052
	2.306		2.101		2.048
	2.262		2.093		2.045
	2.228		2.086		2.042
				¥	1.960

ЛИТЕРАТУРА

1. Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. —М.: Мир, 1977.

2. Химмелъблау Д. Анализ процессов статистическими методами. — М.: Мир, 1973.

3. А.Г. Иваное, А.И, Павленко, О.И. Филиппов. Лабораторные работы по курсу «Планирования эксперимента и испытания АСУ». — М.: МАИ, 1981.

4. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента ддя исследования многокритериальных систем. — М.: Наука, 1976.