Теория игр

Министерство образования Российской Федерации Архангельский Государственный Технический Университет Факультет Строительный Специальность Профессиональное обучение Кафедра Высшей математики Зав. Кафедры Амбрасевич М. А. Курсовая работа По дисциплине Высшая математика На тему Теория игр Выполнил студент СФ II-10 Ершов И.С. Проверил Криворучко Л.В. Архангельск 2003 Содержание ВВЕДЕНИЕ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 6 Платжная матрица 6 Нижняя и верхняя цена игры 6 Решение игр в смешанных стратегиях 9 Геометрическая интерпретация игры 12 Приведение матричной игры к задаче линейного программирования 16 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 20 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 27 ВВЕДЕНИЕ На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределнности, т. е. возникают ситуации, в которых две или более стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнра.

Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т. д относятся к конфликтным результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры выигрыш одного из партнров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер.

К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом.

Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнры будут принимать. Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы.

Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр. Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте игроками, а исход конфликта выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая 1 варианты действий игроков 2 объм информации каждого игрока о поведении партнров 3 выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш или проигрыш может быть задан количественно например, можно оценить проигрыш нулм, выигрыш единицей, а ничью Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В. Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а выигрыш одного из игроков, b выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b -а, поэтому достаточно рассматривать, например а. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока.

Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход это сознательный выбор игроком одного из возможных действий например, ход в шахматной игре. Случайный ход это случайно выбранное действие например, выбор карты из перетасованной колоды.

В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее в ответ на любую сложившуюся ситуацию.

Это означает, что игрок выбрал определнную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной в противном случае. Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии.

В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре. Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш проигрыш во всех партиях. Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнров не обязательно антагонистические.

Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, выходят за рамки настоящего пособия.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А1,... Говорят, что игра имеет размерность mn. 1 Таблица 1 Bi Аj В1 В2 Вn А1 а11 а12 а1n А2 а21 а22 а2n Аm аm1 аm2 аm... Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальным... В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный не зависящ...

Решение игр в смешанных стратегиях

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы или в виде ст... На перпендикулярных осях I I и II II откладываем выигрыши при стратеги... В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия такова, что... Геометрически можно также определить оптимальную стратегию игрока B, е... 6 наибольшей ординатой на ломаной обладает точка, поэтому оптимальной ...

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1v, поэтому... Для определения оптимальной стратегии следует учесть, что игрок В стре... 10 Составив расширенные матрицы для задач 4, 5 и 8, 9, убеждаемся, что... 2. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных...

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Вторая стратегия явно невыгодна для игрока А, по сравнению с первой. и. III шаг. Делаем переход Оптимальное базисное решение задачи 1 , причм, а.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В курсовой работе были рассмотрены основные понятия и элементы теории игр парная конечная игра и е платжная матрица, способ нахождения нижней цены игры максимина и верхней цены игры минимакса, а также соответствующие им стратегии принцип минимакса, наличие седловой точки в игре и цена игры. В смешанных стратегиях игр была изучена теорема Неймана и теорема об активных стратегиях.

Была показана геометрическая интерпретация игры 22 для игр, имеющих и не имеющих седловой точки нахождение по графикам оптимальных стратегий игроков и цена игры. Также была приведена матричная игра к задаче линейного программирования, с помощью которой определяются оптимальные стратегии игры mn и цена игры. В практической части были решены задания по отысканию платжной матрицы, верхней и нижней цены игры, существованию седловой точки.

Также была показана геометрическую интерпретацию игры 22 и решена экономическая задача по нахождению оптимального спроса и предложения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ - Исследование операций в экономике под редакцией Кремера учебное пособие для экономистов Исследование операций УчебникИ.К.Волков Под редакцией В.С. Зарубина.