Аналитическая геометрия

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. Пусть задана система векторов а1, а2, а3 ал 1 одной размерности.Определение система векторов 1 называется линейно-независимой, если равенство 1а12а2лал0 2 выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2 л0 и R Определение система векторов 1 называется линейно-зависимой, если равенство 2 выполнимо хотя бы при одном i0 i1 k Свойства 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима 2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой. 3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой. 4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.Определение три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что ba. Теорема Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны. Доказательство достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то ba. Будем считать, что а,b0 если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству. 1b-a0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению.Необходимость.

Пусть а и b линейно-зависимы. аb0, 0. а -bb. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость. Дано a, b, c линейно-зависимы. Доказать a, b, c компланарны. Доказательство т.к. векторы линейно-зависимы, то аbc0, 0. с - а - b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару. В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов. 2. Прямоугольная декартова система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях. Прямоугольная декартова система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. а,ba b cos u, u 90, пр-е полож. u90, пр-е 0 u 90, пр-е отриц.

Свойства 1. а,b b,а 2. а,b а,b 3. аb,с а,с b,с 4. а,аa2 скал.квадрат.

Определение два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1. Определение базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.Теорема Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos ua,babx1x2y1y2z1z2sqrtx12y12z12sqrtx22y2 2z22 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым a,b называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям 1. cabsin u. 2. с,а0 и с,b0. 3. а, b, с образуют правую тройку.Свойства 1. a,b - b,a 2. а,b а,b 3. ab,ca,cb,c 4. a,a0 Теорема Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах. Доказательство справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй координаты первого вектора, в третьей координаты второго.Определение ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. eaaa РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. 1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. чз две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр. 1. АхByC0 1, где A, B одновр.не равны нулю. Теорема nA,B ортоганален прямой заданной ур-ем 1. Доказательство подставим коорд. т.М0 в ур-е 1 и получим Ах0By0C0 1 . Вычтем 1-1 получим Ах-х0By-y00, nA,B, М0Мх-х0, y-y0. Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой.

Вектор nA, B называется нормальным вектором прямой.

Замечание пусть ур-я А1хB1yC10 и А2хB2yC20 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1tА2 и т.д. Определение если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии 1 0, то ур-е называется неполным. 1. С0, АхBy0 проходит чз 0,0 2. С0, А0, By0, значит у0 3. С0, B0, Ах0, значит х0 4. А0, ByC0, паралл.

ОХ 5. B0, АхC0, паралл.OY 2. xayb1. Геом.смысл прямая отсекает на осях координат отрезки а и b 3. x-x1ey-y1m Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой паралл.пр Возьмем на прямой произв. точки. q и M1Мх-х1 y-y1 4. x-x1x2-x1y-y1y2-y1 Пусть на прямой даны две точки М1x1y1 и М2x2y2. Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор qx2-x1 y2-y1 5. ykbb. u угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой ktg u Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u me. Тогда видим x-x1eey-y1me. y-y1kx-x1 при y1-kx1b, ykxb 6. xcosysin-P0 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача записать ур-е прямой , если изветны Р и Решение Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. n1, ncos, sin. Пусть Мx,y произв.точка прямой.

Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМnOMncosMOPР. 2. ОМncosxsiny.

Приравняем правые части. Задача прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. АхByC0 xcosysin-P0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.Cos2At2 Sin2Bt2 -pCt cos2sin2t2A2B2, t21A2B2, tsqrt1 A2B2. Sign t - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. АtхBtyCt0, t-нормирующий множитель. 7. Система xetx1 и ymty1 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой. 1. xcosysin-P0 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача записать ур-е прямой , если изветны Р и Решение Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. n1, ncos, sin. Пусть Мx,y произв.точка прямой.

Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМnOMncosMOPР. 2. ОМncosxsiny.Приравняем правые части.

Задача прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. АхByC0 xcosysin-P0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.Cos2At2 Sin2Bt2 -pCt cos2sin2t2A2B2, t21A2B2, tsqrt1 A2B2. Sign t - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. АtхBtyCt0, t-нормирующий множитель. 2. Обозначим d расстояние от точки до прямой, а чз б отклонение точки от прямой. бd, если нач.коорд. и точка по разные стороны - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosysin-P0 и М1x1y1, тогда отклонение точки М1 x1cosy1sin-P0 Задача найти расстояние от точки М0x0y0 до прямой АхByC0. Т.к. dб, то формула расстояний принимает вид d x0cosy0sin-P. dАх0By0CsqrtA2B2 ГИПЕРБОЛА. Определение ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Каноническое уравнение Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат.

F1F22c, М произвольная точка гиперболы. r1, r2 расстояния от М до фокусов r2-r12a a c , x2c2-2a2xca2a2x2-2xcc2y2 x2c2-a2-a2y2a2c2-a2 c2-a2b2 x2b2-a2y2a2b2 - каноническое ур-е гиперболы ПАРАБОЛА. Определение ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.Каноническое уравнение Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

DFp, М произвольная точка параболы К точка на директрисе МFr MKd rsqrtx-p22y2 dp2x Приравниваем и получаем y22px - каноническое уравнение параболы ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ. 1. Определение эксцентриситет величина равная отношению с к а. еса е эллипсв 1 т.к. а c е гиперболы 1 т.к. с a Определение окружность эллипс у которого аb, с0, е0. Выразим эксцентриситеты через а и b е эллипса является мерой его вытянутости е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами 2. Директрисой D эллипса гиперболы, соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии ае a ае a D1 x - ae D2 x ae ра1-е2е для эллипса рае2-1е для гиперболы ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Теорема Отношение расстояния любой точки эллипса гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса гиперболы.

Доказательство для эллипса. r1d1e xa, xea 0 r1xea d1 расстояние от Мx,y до прямой D1 xcos180ysin180-p0 x-p x-ae бм-x-ae d1-бм минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.

Определение ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, гиперболу, если 1, параболу, если 1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус. r dpcos epcos - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0x0y0 точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо у-у0y x0x-x0 Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya2y0-a2y02b2x0x-b2x020 - уравнение касательной к эллипсу уравнение касательной к гиперболе уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало.

Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами е1е1 cos u е1е2 cos 90u -sin u е2е1 cos 90-usin u е2е2 cos u Базис рассматривается ортонормированный е1е1 е1, 11е112е2 11 е1е2 е1, 21е122е2 21 е2е1 12 е2е2 22 Приравниваем 11cos u 21 - sin u 12sin u 22cos u Получаем xax cos u y sin u ybx sin u y cos u - формулы поворота системы координат на угол u. xax yby - формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение Инвариантой ур-я 1 линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я 1 и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема инвариантами уравнения 1 линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины I1 I2 I3 Вывод при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.Определение I2 0 элиптический тип I2 0 гиперболический тип I20 параболический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравнением 1. Параллельный перенос Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO т.о. что бы в системе X O Y коэфф. при x и y преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого a11x 22a12x y a22y 2a 330 2 точка О находится из условия a13 0 и a23 0. Получается система a11x0a12y0a130 и a12x0a22y0a230 Покажем, что новое начало координат если система разрешима является центром симметрии кривой fx y 0, f-x -y fx y Но точка О существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля. Точка O единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I20 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x y т.е. мы делаем коэфф. а120. a12 -0,5a11-a22sin2ua12cos2u0 разделим на sin2u, получим , после такого преобразования уравнение принимает вид a11 x 2a22 y 22a13 x 2a23 y a33 0 3 ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2 0 и пусть I1 0 следовательно уравнение 1 определяет 1. I3 0 эллипс 2. I30 точка 3. I3 0 ур-е 1 не определяет. Если I30 говорят, что эллипс вырождается в точку.

Если I3 0 говорят, что задается мнимый эллипс.

Пусть после ПП и поворота ур-е 1 принимает вид . Доказательство 1. пусть I2 0, I1 0, I3 0, тогда а11 x 2a22 y 2 -I3I2 I2a11 a22 0 I1 a11 a22 0 a11 0 a22 0 Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса. 2. I3 0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа. 3. I30 в данном случае т0,0 случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема Пусть уравнение 1 определяет линию гиперболического типа. Т.е. I2 0, I30 - ур-е 1 определяет гиперболу I30 пару пересекающихся прямых.Доказательство I2 0 I2 a11 a22 0. Пусть a11 0 a22 0 Пусть I3 0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I3 0 а11 x 2a22 y 2 -I3I2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY Пусть I30 а11 x 2 a22 y 20 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана уравнением 1. Рассмотрим квадратную часть этого уравнения ux,y a11x22a12xya22y2 Определение ненулевой вектор , координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой вектор асимптотического направления. a1122a12a2220 Рассмотрим , параллельный , следовательно . Дробь характеризует вектор асимптотического направления.

Задача выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение положим, что 0 и поделим на 2, получим a1122a12a220 из этого квадратного уравнения найдем . т.к. у линий гиперболического и параболического типов I20, то они имеют асимптотические направления.Т.к. у эллипса I2 0 следовательно таких у него нет говорят он имеет мнимые асимптотические направления.

Найдем асимптотические направления у гиперболы , 1a,b , 2-a,b Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот. Итак гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.Найдем асимптотические направления у параболы y22px y2-2px0 ux,y y20, y0 , 0,0 Итак вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является.

Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет. РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. Пусть задано трехмерное пространство. Теорема Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных AxByCzD0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема. Теорема Вектор nA, B, C ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.Вектор n нормальный вектор плоскости. 2. Уравнение плоскости в отрезках 3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть nA,B,C и Мx0y0z0. Запишем ур-е пл-ти AxByCzD0 Ax0By0Cz0-D Ax-x0By-y0Cz-z00 5. Уравнение плоскости чз 3 точки. Пусть известны три точки не принадл. одной прямой. М1x1y1z1 М2x2y2z2 М3x3y3z3 Пусть Мxyz произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.М1М x-x1 y-y1 z-z1 М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 0 М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1 6. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. VV1V2V3 UU1U2U3 M0x0y0z0, тогда плостость имеет вид система xx0V1tU1s и yy0V2tU2s и zz0V3tU3s РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. AxByCzD0 M0x0y0z0 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Угол между плоскостями пусть заданы две плоскости A1xB1yC1zD10 A2xB2yC2zD20, поэтому n1A1B1C1 n2A2B2C2. Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.