Высшая математика

03-Шз-14-ТФ Министерство образования РФСанкт-ПетербургскийГосударственный Университет Технологии иДизайнаТверскойфилиал Контрольныеработы 7 - 8по высшейматематике Выполнила студентка факультета 280800 2курса Лебедева Н. А.Проверил 172007, Тверская обл г. Торжок, Калининское шоссе, дом 31, кв. 46. Тверь 2003Задание 11Найти вероятность того, что дни рождения 12 человекприходятся на разные месяца.Число всех возможных случаев n 1212.Число благоприятных случаев равно числу размещений из 12элементов по 12 m 12!Искомая вероятность P m n P 12! 1212 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 0,00005Задание 31Рабочий обслуживает 3 станка.

Вероятность выхода из строяза смену для них, соответ-ственно, равна 0,75 0,8 и 0,7. Найти вероятностьтого, что за смену выйдут из строя точно 2 станка.P1 0,75P2 0,8P3 0,7P11 Вероятность невыхода из строя станков g1 1-P1 0,25 g2 1- P2 0,2 g3 1- P3 0,3Могут быть такие варианты теорема умножения 1 и 2 вышли из строя, 3 нет P12-3 P1 P2 g3 1 и 3 вышли из строя, 2 нет P13-2 P1 P3 g22 и 3 вышли из строя, 1 нет P23-1 P2 P3 g1По теореме сложения или - или искомая вероятность P11 P12-3 P13-2 P23-1 P1 P2 g3 P1 P3 g2 P2 P3 g1P11 0,75 0,8 0,3 0,75 0,7 0,2 0,8 0,7 0,25 0,18 0,105 0,14 0,425 Задание 51Стрелок производит 2 выстрела по цели с вероятностями 0,7и 0,8. Найти закон распре-деления, математическое ожидание и дисперсию разностимежду числом попаданий и числом промахов.

В нашем случае Х- дискретная случайная величина с тремязначениями -2.Если показаний 0, а промахов2, то Х1 0-2 -2Если показаний при первом выстреле второй промах илипопадание при втором выстреле первый промах , то Х2 1-0Если показаний при первом выстреле и при втором, то Х3 2Pо P Х 0 g 1-P P1 g2 P2 g1 0,7 0,2 0,8 0,3 0,38P2 P Х 2 0,7 0,8 0,56 P1 P Х -2 1- 0,38 0,56 0,06Закон распределения Хi -2 0 2 Pi 0,06 0,38 0,56 Математическое ожидание mх -2 0,06 0 0,38 2 0,56 -0,12 1,1Найдем второй начальный момент 945 2 Х -22 0,06 02 0,38 22 0,56 0,24 2,24 2,48Дх 945 2 Х - mх2 2,48-1 1,48 Задание 71Заявки на ремонт оборудованияподчиняются закону Пуассона со среднем числом 1,9 заявки в смену.

Каковавероятность того, что за данную смену поступит более 6 человек.

Сначала найдем вероятностьпоступления равно 6 заявок по закону Пуассона Pn К 955 к е- 955 К!Унас К 6 955 1,9Pn 6 1,96 е-1,9 6! 1,96 1 2 3 4 5 6 е1,9 47 720 2,71,9 47 720 6,6 0,0099Так как поступление заявок,события независимое, то искомая вероятностьPn К gt 6 1- Pn 6 1-0,0099 0,9901Задание 91Случайная величина Х имеет закон распределения арксинуса,если функция распреде-ления 0 при х gt -1F х А B arcsinх при -1 8804 х lt 1 1 при х 1Найти A ,B плотность и математическое ожидание. Плотность распределениявероятности или дифференциальная функция распределения f х F 1615 х 0 при х gt -1 f х B 8730 1-х2 при -1 8804 х lt 11 при х 1Определим коэффициент B и A, используя свойстваплотности вероятности и самой функции распределения 8734 -1 1 8734 1 1 8747 f х dх 1 8747 0 dх 8747 B 8730 1-х2 dх 8747 0 dх 1 8747 B dх 8730 1-х2 1 B 8747 dх 8730 1-х2 1 - 8734 - 8734 -1 1 -1 -1 B arcsinх 1 B 960 2 960 2 1 960 B 1 B 1 960 -1 Так как при Х 1 F х 1, то А 1 960 arcsin 1 А 1 960 960 2 1 А 1-0,5 А 0,5Математическое ожидание 8734 М х 8747 х f х dх В нашем случае - 8734 -1 1 8734 1 1 М х 8747 х 0 dх 1 960 8747 хdх 8730 1-х2 8747 х 0 dх 1 960 8747 хdх 8730 1-х2 -1 960 8730 1-х2 1 960 0-0 0 М х 0 - 8734 -1 1 -1 -1Замена 1-х2 t2 -2хdх 2tdt xdx -tdt - 8747 tdt t - 8747 dt -t - 8730 1-х2.Задание 111Производительность бомбометание по мосту, имеющимиразмеры18м в длину и 6м в ширину Отклонения места попадания от центра моста подлине и ширине нормальные случайные величины с математическим отражением,равны нулю, и среднем квадрати-ческим отклонением 3м и 2м. Какова вероятностьтого, что из двух бомб хотя бы одна попадет в мост. Найдем вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы.Математическое ожидание равно 0, поэтому применима формула Р х lt 948 2Ф 941 948 , Ф-функция Лапласа приведены в приложении уучебнике Гмурмана .В нашем случае искомая вероятность Р1 Р х lt 9 Р у lt 3 2Ф 9 3 2Ф 3 2 2Ф 3 2Ф 1,5 2 0,49865 2 0,4332 0,9973 0,8664 0,8641Вероятность того, что из двух сброшенных бомб хотя бы однапопадет в мост Р 1- 1-0,8641 2 1-0,13592 1-0.0185 0,9815 Задание 151Построить доверительный интеграл для математическогоожидания 940 нормально распре-деленной генеральной совокупности с известнымсраднеквадратичным отклонением 948 с помощью выборки объема n данным средним выборочнымх, с заданной надежностью 947 0,90, х 12,45, n 64, 948 2 Вероятность попадания неизвестного математического ожидания а в интеграле х-t 948 8730 u х t 948 8730 u определяется формулой Р х-t 948 8730 u lt а lt х t 948 8730 u 2Ф t 947 где Ф t -функция ЛапласаЗная 2Ф t 947 0,90 или Ф t 0,45 находим по таблице 2 учебника Гмурмана t 1,65 отсюда t 948 8730 u 1,65 2 8730 64 1,65 2 8 1,65 4 0,41 х-t 948 8730 u 12,45-0,41 12,04 х t 948 8730 u 12,45 0,41 12,86Искомый доверенный интеграл 12,04 lt а lt 12,86Задание 161 Найти выборочноеуравнение прямой ух-у r 948 у 948 х х-х регрессий Y на Х по данной корреляционнойтаблице.ТАБЛИЦА 1 Y Х 5 10 15 20 25 30 nу 35 4 2 6 45 - 5 3 8 55 5 45 5 - 55 65 2 8 7 - 17 75 4 7 3 14 nх 4 7 10 57 19 3 n 100 Найдем сначала коэффициент корреляции r 948 931 nху ху-nху n 948 х 948 уРасчет упрощается, если перейти условным вариантам Ui Хi-С1 h1 и V Уi-С2 h2В этом случае r 948 931 nuv UV-nUV n 948 u 948 vВычеслим 931 nuv UV по таблице 1Ui Хi-С1 h1 Хi-20 5 за ложный нуль взято С1 20 и шаг h1 5 V Уi-С2 h2 Уi-55 10 за ложный нуль взято С2 55 и шагh10Составим корреляционнуютаблицу в условных вариантах ТАБЛИЦА 2 V U nv -3 -2 -1 0 1 2 -2 4 2 6 -1 5 3 8 0 5 45 5 55 1 2 8 7 17 2 4 7 3 14 nu 4 7 10 57 19 3 N 100 ТАБЛИЦА 3 V U U 931 nuv U UV -3 -2 -1 0 1 2 -2 -12 -4 -16 32 4 2 -8 -4 -1 -10 -3 -13 13 5 3 -5 -3 0 -5 0 5 0 0 5 45 5 0 0 0 1 -2 0 7 5 5 2 8 7 2 8 7 2 0 7 6 13 24 4 7 3 8 14 6 V 931 nuv V -8 -9 -1 16 21 6 931 VVU 76 UV 24 18 1 0 21 12 931 UUV 76 контроль Итак, искомая сумма 931 nuv UV 76Величины U и Vискомая из определения средней, а 948 u и 948 v по формулам 948 u 8730 u2- u2 948 v 8730 v2- v2 U 931 nu U n 4 -3 7 -2 10 -1 57 0 19 1 3 2 100 -0,11V 931 nv V n 6 -2 8 -1 55 0 17 1 14 2 100 0,25U2 931 nu U2 n 4 9 7 4 10 1 57 0 19 1 9 4 100 1,29V2 931 nv V2 n 6 4 8 1 17 1 14 4 100 1,05 948 u 8730 u2- u2 8730 1,29- -0,11 2 1,13 948 v 8730 v2- v2 8730 1,05-0,25 0,0625Коэффициент корреляции r 948 931 nuv UV-nUV n 948 u 948 v 76-100 -0,11 0,25 100 1,13 0,99 76 2,75 111,87 0,704НаходимХ U h1 С1 -0,11 5 20 19,45 У V h2 С2 0,25 10 55 57,5 948 х 948 u h1 1,13 5 5,65 948 v 948 v h1 0,99 10 9,9Составим искомое уравнение Ух-57,5 0,704 9,9 5,65 х-19,45 Ух-57,5 1,23 х-19,45 Ух-57,5 1,23х-23,92 Ух 1,23х 33,58 Задание 181Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочноесреднее х, выборочную дисперсию S2,исправленную выборочную дисперсию S2. х1 125 135 145 155 165 175 185 n1 5 10 30 25 15 10 5 У нас выборка состоит из 100 измерений n 5 10 30 25 15 10 5 100Выборочное среднее Х 931 niхi n 125 5 135 10 145 30 155 25 165 15 175 10 185 5 100 153,5Выборочная дисперсия S2 931 ni хi-х 2 n 5 125-153,5 2 10 135-153,5 2 30 145-153,5 2 25 155-153,5 215 165-153,5 2 10 165 153,5 210 175-153,5 25 185-153,5 2 100 212,75Исправленная выборочная дисперсия S2 931 ni хi-х 2 n-1 21275 99 214,9.