Геометрия Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Кафедра управления в экономических и социальных системах КУРСОВОЙ ПРОЕКТ по дисциплине Высшая математика на тему Геометрия Лобачевского.Выполнила студентка Очной формы обучения специальности Менеджмент организацииспециализации Финансовый менеджмент курса личная подпись инициалы, фамилия Руководитель проекта ученая степень, звание личная подпись инициалы, фамилия 2006 Введение Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой.Но это тоже нормально ещ Ломоносов говорил Алхимия мать химии дочь не виновата, что е мать глуповата.

Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект. Постулаты Евклида Евклид автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии.В нм изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда Начал оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

Начала - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино вс то, что сделали его предшественники в области геометрии и словесной алгебры. Но не только в этом его заслуга. Он также внс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы Начала, переведнные и литературно обработанные.Начала состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга Начал начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что все прямые углы равны между собой. Однако не вс написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков.Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.Вот о чм говорится в пятом постулате И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом. Потому-то пятый постулат часто заменяют на равносильную аксиому параллельности к данной прямой через данную вне е точку можно провести не более одной параллельной прямой. Появление неевклидовой геометрии Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных.В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений Начал не опираются на V постулат.

Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым. Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными.Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату.

Многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с е изложением.Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 1123 февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных, в котором были изложены начала открытой им воображаемой геометрии, как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии.

Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии статьи О началах геометрии.

Геометрия Лобачевского изучает свойства плоскости Лобачевского в планиметрии и пространства Лобачевского в стереометрии. Плоскость Лобачевского - это плоскость множество точек, в которой определены прямые линии, а также движения фигур вместе с тем - расстояния, углы и пр подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского.Задача выяснения реального смысла Геометрия Лобачевского состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Геометрия Лобачевского В 1871 Ф. Клейн указал ту модель как всей плоскости, так и пространства Лобачевского, в которой плоскостью служит внутренность круга, а пространством - внутренность шара. Позже А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Геометрия Лобачевского в пространстве.Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга пространством - внутренность шара, и Геометрия Лобачевского есть учение о тех свойствах фигур внутри круга шара, которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре - при конформных преобразованиях круга шара самого в себя проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные - те, которые сохраняют углы. Геометрия Лобачевского В мемуаре О началах геометрии 1829 Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г. Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть . Остается предполагать эту сумму или . То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов.

Лобачевский указывает, что в воображаемой геометрии сумма углов треугольника всегда и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньшие . Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой аксиома параллельности заменяется на е отрицание аксиому параллельности Лобачевского.

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a. Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости, которая будет здесь представлена была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году. Для начала напомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами.

За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура.

За основные отношения между этими объектами принимаются 1 точка принадлежит фигуре, в частности прямой 2 точка лежит между двумя точками для точек прямой. 1. Следующая фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие. 2. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками.

Эти точки называются концами отрезка. 3. Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча. 4. Углом называется фигура, которая состоит из точки вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, сторон угла. 5. Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами она не содержит прямую a если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с a если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой a. Приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской номер аксиомы в группе.

I. Аксиомы связи прямой и точки. 1. Существуют, по крайней мере, две точки. 2. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 3. Через любые две точки можно провести прямую и только одну. 4. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. II. Метрические аксиомы отрезка. 1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. 2. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. III. Аксиома непрерывности. 1. Пусть A и B любые две точки прямой a и пусть и совокупности всех точек отрезка AB, таких, что и любая точка из лежит по ту же сторону, что и точка A от любой точки из .Тогда существует точка C, такая, что любая точка из лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из по ту же сторону от C, что и B. IV. Аксиомы плоскости.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один. Следующие определения базируются на основных определениях.Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча. Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского.

Для этого фиксируем на евклидовой плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название абсолюта.Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта. Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Фигура на плоскости Лобачевского это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту см. рис. 1.1. Рис. 1.1. Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K лежит между C и D, где C, K и D проекции точек C, K и D соответственно на абсолют.

Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями.Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

Выше дана реализация всех основных понятий аксиоматики планиметрии Лобачевского через понятия евклидовой геометрии. Теперь необходимо проверить справедливость приведенных выше аксиом.Из группы аксиом I очевидна справедливость аксиом I.1, I.2, I.4. Аксиома I.3. Пусть даны точки A и B. Прямая евклидова AB не перпендикулярна к абсолюту рис. 1.2. Рисунок 1.2. Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как по построению OA OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей точки A и B. Эта прямая неевклидова единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, это точка O. Прямая евклидова AB перпендикулярна абсолюту рис. 1.3. Тогда е часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p x. Рисунок 1.3. Аксиома II.1. Так как каждый неевклидов отрезок AB представляет из себя либо евклидов отрезок если прямая AB перпендикулярна абсолюту, либо дугу окружности, то в первом случае аксиома выполнена очевидно. Для анализа второго случая допустим, что AB есть искомый неевклидов отрезок.

Рассмотрим инверсию i относительно окружности S с центром в точке O, пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта и радиусом R, равным OA OB рис. 1.4. Рисунок 1.4. При этом образом неевклидовой прямой AB будет луч где , а образом неевклидова отрезка отрезок евклидова луча Здесь вторая точка пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта.

Так как является образом отрезка AB при неевклидовом движении, то они равны по определению и, следовательно, имеют равные длины.

Так как аксиома выполнена для евклидова отрезка , то она выполнена и для неевклидова отрезка AB. Аксиома II.2. Возможны несколько случаев.Пусть неевклидов луч представляет из себя луч евклидовой прямой, который не имеет точки пересечения с абсолютом рис. 1.5. Тогда выполнение аксиомы следует из е справедливости для евклидова луча. Рисунок 1.5. Пусть неевклидов луч представляет из себя часть евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту и ограниченной началом A луча включая точку A и точкой O, лежащей на абсолюте рис. 1.6. Рисунок 1.6. Сделаем преобразование инверсии относительно окружности S с центром в точке O и радиусом OA. По свойствам инверсии отрезок OA преобразуется в луч евклидовой прямой OA с началом в точке A. В соответствии с аксиомой II.2 на полученном луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. Пусть B конец этого отрезка.

Тогда ее прообразом при инверсии i является некоторая точка искомого евклидова луча. Так как отрезок переводится в отрезок AB неевклидовым движением, то они равны и равны их длины. Это завершает доказательство.

Неевклидов луч дуга AO полуокружности, содержащая точку A начало луча, и не содержащая точку O, точку пересечения полуокружности с абсолютом рис. 1.7. Рисунок 1.7. Как и в случае рассмотрения аксиомы II.1, сделаем преобразование инверсии i относительно окружности S с центром в точке O и радиусом AO. Образом неевклидова луча AO будет луч евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту.

На этом луче можно отложить отрезок данной длины и только один. Пусть B конец этого отрезка. Далее обоснование дословно повторяет обоснование, приведенное в предыдущем пункте.Аксиома непрерывности III для неевклидовых отрезков сводится к случаю евклидовых отрезков проектированием на абсолют рис. 1.8 или преобразованием неевклидова отрезка в отрезок евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту, с помощью инверсии, описанной при доказательстве справедливости аксиомы II.1. Рисунок 1.8. В модели Пуанкаре выполняется аксиома IV.1. Неевклидовы полуплоскости изображены на рис. 1.9. Рисунок 1.9. Неевклидов отрезок, соединяющий две точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает е границы. Действительно, предположив противное, мы пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересекались бы в четырех точках рис. 1.10, что невозможно.

Рисунок 1.10. Аксиома IV.2. Возможные реализации углов в модели Пуанкаре для неевклидовых углов показаны на рис. 1.11. Рисунок 1.11. Из рисунка видно, что неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей е прямой. В соответствии с определением угол между пересекающимися окружностями это угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей е прямой это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.

Таким образом, величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов.

Отсюда достаточно очевидна справедливость аксиомы IV.2. Аксиома IV.3. Пусть неевклидовым лучом является луч или часть луча евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту рис. 1.12. Рисунок 1.12. В соответствии с аксиомой IV.3 отложим от луча в данную полуплоскость евклидов угол с заданной градусной мерой.

Это можно сделать и единственным образом. Пусть p другая сторона этого угла. Через вершину луча проведем прямую q, перпендикулярную к лучу p до пересечения с абсолютом в точке O. Такая точка существует и единственна. Проведем полуокружность с центром в точке O и радиусом OA. Такая окружность существует и единственна.В силу определения и построения угол между искомым неевклидовым лучом и построенной окружностью имеет данную градусную меру. Пусть неевклидовым лучом с вершиной A является часть AB полуокружности рис. 1.13 с центром в точке O на абсолюте.

Рисунок 1.13. Проведем касательную p к полуокружности в точке A и отложим от луча AC угол, равный данному, в полуплоскость, не содержащую данную полуокружность.Пусть q вторая сторона угла. Восстановим перпендикуляр к лучу q в точке A. Если этот перпендикуляр пересекает абсолют в точке H, то, построив полуокружность с центром в точке H и радиусом, равным AH, получим две пересекающиеся в точке A полуокружности, угол между которыми равен б по построению.

Если же перпендикуляр не пересекает абсолют, т. е. он параллелен абсолюту или, что то же самое, луч q перпендикулярен x, то второй стороной неевклидова луча является искомый евклидов луч q. Единственность такого угла следует из справедливости аксиомы для евклидовой плоскости.Проверку аксиомы IV.4 проведем только для случая, когда данный неевклидов луч есть часть полуокружности. В соответствии с аксиомами II.2 и IV.3 отложим от вершины A данного луча отрезок равный данной стороне треугольника . Кроме того, отложим от данного луча в данную полуплоскость угол, равный углу A1 треугольника . На луче, задающем вторую сторону отложенного угла, отложим от точки A отрезок равный стороне исходного треугольника.

Покажем, что полученный треугольник равен треугольнику Так как по построению равен , существует неевклидово движение f, переводящее отрезок в AB так, что При неевклидовом преобразовании углы сохраняются, поэтому либо точка окажется на луче , либо его можно совместить с точкой этого луча дополнительной осевой симметрией относительно луча . При этом по свойству 3 отрезок перейдет в себя и В силу свойства 1 преобразование также будет неевклидовым движением.

Покажем, что точка C3 совпадет с C2. Действительно, если бы это было не так, то оказалось бы, что на луче AC2 отложены два различных отрезка данной длины, что противоречит аксиоме II.2. Следовательно, существует неевклидово движение, которое переводит данный треугольник в треугольник , что завершает доказательство.

Утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и некоторой точки A, не лежащей на a, но и для любой неевклидовой прямой a и любой не лежащей на ней точки A рис. 1.14. Рисунок 1.14. Приведенное выше рассмотрение позволяет сделать вывод о непротиворечивости геометрии Лобачевского и обосновать независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом групп I IV с той степенью строгости, конечно, с которой была построена и обоснована модель Пуанкаре в данном изложении.

Используя модель Пуанкаре, можно изучить свойства плоскости Лобачевского.На плоскости Лобачевского L через каждую точку A, не лежащую на прямой a, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую a рис. 1.15. Рисунок 1.15. Все эти прямые заполняют два вертикальных угла, ограниченных прямыми p и q. Граничные прямые p и q, не пересекающие прямую a, называются на плоскости Лобачевского параллельными прямой a и проходящими через A. Каждому направлению на прямой a соответствует своя параллельная прямая, проходящая через A. Характерным свойством параллельных прямых на плоскости Лобачевского является то, что они неограниченно сближаются в направлении параллельности и неограниченно расходятся в противоположном направлении рис. 1.16. Рисунок 1.2.16. Те прямые на плоскости Лобачевского, которые и не пересекаются, и не параллельны, называются расходящимися.

Характерное свойство расходящихся прямых наличие у них единственного перпендикуляра. В модели Пуанкаре параллельные прямые изображаются полуокружностями и лучами, касающимися на абсолюте рис. 1.17, а. Рисунок 1.17. На плоскости Лобачевского углы и длины связаны другими зависимостями, нежели на плоскости Евклида.

Одно из характерных свойств плоскости L выражается функцией Лобачевского . Из некоторой точки O прямой a проводится луч рис. 1.18. Рисунок 1.18 Пусть произвольная точка, а x длина отрезка OX. Определим как величину острого угла между отрезком OX и прямой, параллельной прямой a и проходящей через точку X. Тогда свойство можно сформулировать так. При возрастании x от нуля до бесконечности функция непрерывно убывает от 90 до 0. Существование таких зависимостей между длинами отрезков и углами означает, что на плоскости Лобачевского нет подобных фигур.

Например, на плоскости Лобачевского справедлив признак равенства треугольников если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше 180. Разность между 180 и суммой углов треугольника называется избытком треугольника. Оказывается, что на плоскости Лобачевского площадь треугольника пропорциональна его избытку. Следовательно, на плоскости Лобачевского площади треугольников ограничены некоторой постоянной.Величины углов на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре равны величинам соответствующих углов на евклидовой плоскости.

Поэтому все перечисленные свойства углов плоскости L можно увидеть на модели Пуанкаре. Для иллюстрации аксиомы о параллельности прямых рассмотрим следующую схему.Имея прямую a и точку A вне е, соединяем A с точкой P, лежащей на a, и отодвигаем точку P в положение P, P, и вс дальше, и дальше на a иными словами, представляется последовательность точек P, P, P, или соответственно последовательность прямых AP, AP, AP, Прямая AP при этом вращается вокруг A и достигнет некоторого предельного положения, когда P удалится в бесконечность, и эту предельную прямую и надо понимать как прямую, параллельную прямой a, проходящую через A. При этом нет никаких изначальных соображений, в силу которых прямая AP должна приближаться к одному и тому же предельному положению при удалении P в бесконечность как в одну, так и в другую сторону, что дает абстрактную возможность существования двух различных прямых, проходящих через A, параллельных прямой a. В этой связи постулат параллельных прямых в евклидовой геометрии не что иное, как соглашение о том, что эти два предельных положения должны совпадать, и через точку A должна проходить только одна прямая, параллельная прямой a. На примере геометрии Лобачевского было показано, что допущение о несовпадении предельных прямых, а именно отрицание аксиомы о единственности прямой, проходящей через точку A, не привело к противоречию, а наоборот, привело к построению новой неевклидовой геометрии.

Геометрия Лобачевского в реальном мире. Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир не мир Евклида, как принято считать Почему же мы не замечаем разницы Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами и ошибки достигали 16. Но вернемся на землю.

Есть такое понятие гауссова кривизна пространства.

Если мы возьмем кривую поверхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касания отрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль.

Проведя через нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающую к поверхности. Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можем найти окружности с минимальным и максимальным радиусом. Подставив их в выражение , мы получим Гауссову кривизну пространства.Если К 0, то поверхность в этой точке эллиптическая.

Если К 0, то гиперболическая. Если К0, то параболическая. Как мы уже знаем, на поверхностях с отрицательной кривизной работает геометрия Лобачевского. Но именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского. Но наглядно геометрию Лобачевского можно устроить и на бумаге.Если нарисовать окружность, то мы можем, не выходя за е пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную.

Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель. Такая модель называется моделью Клейна. Все эти модели служат одной цели полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабам. Рисунок 1.19. Приложения геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определнных интегралов.В теории функций комплексного переменного Геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с Геометрия Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в е геометрических методах, объединнных под названием геометрия чисел.Была установлена тесная связь Геометрия Лобачевского с кинематикой специальной частной теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света x2 y2 z2 c2t2 при делении на t2, т. е. для скорости света, дат vx2 vy2 vz2 c2 - уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz - составляющими скорости по осям х, у, z в пространстве скоростей.

Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые.Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Геометрия Лобачевского Замечательное приложение Геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности.

Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным это приближение в космических масштабах допустимо, то оказывается, что при определнных условиях пространство имеет Геометрия Лобачевского Т. о предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось. Заключение. Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет.Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его воображаемая геометрия на поверку окажется реальной.

Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет или это произойдет быстрее Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте. Литература 1. А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, Геометрия М Просвещение, 1991. 2. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского.М.Наука, 1983. 3. Франгулов С.А Совертков П.И. Геометрия Лобачевского.

СПб 1992. 4. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М. Изд во МК НМУ, 1995. 5. Атанасян Л.С Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение, 1998.