Кінематика поступального руху

Розділ 1 Механіка

 

Кінематика поступального руху

Зміст

Вступ.

1.1.1 Механіка. Кінематика матеріальної точки. Поступальний рух.

1.1.2 Система відліку. Переміщення. Довжина шляху. Швидкість. Прискорення. Нормальне, тангенціальне, повне прискорення.

 

Вступ

Фізика ‑ універсальна наука про основні явища природи, які цією наукою відокремлюються та описуються за допомогою уявлень, моделей та законів у вигляді математичних формул та рівнянь. Фізика вивчає фундаментальні "структури всесвіту", досліджує гармонічний зв’язок між ними, тому фізичні уявлення можуть бути абстрактними й не завжди наочними. Фізичні уявлення ‑ кількісні, тому невід’ємним є математичне формулювання зв’язків між ними.

Фізична наука є базою для розвитку інших наук у тому числі й для інженерних (прикладних).

Основаметодів пізнання опирається на три основні положеннях у сучасній науці:

1. Усе в світі є матерією поза залежністю від почуттів та розуміння людини.

2. Основна властивість матерії - рух.

3. Матерія і форми її руху пізнані людиною.

У природі існує багато форм прояву руху матерії: механічний, електричний, електромагнітний, хімічний, психічний, біологічний та інші.

Будь-який фізичний процес відбувається у просторі та часі. Простір і час мають певну властивість, яку називають симетрією: одне й теж явище за збіжних умов може бути повторене з однаковим результатом. Цей, на перший погляд, зрозумілий принцип є одним з основних проявів природи, що відомі людині. Саме це надало можливості проводити експериментальні дослідження з подальшим їх узагальненням для всієї природи.

Найпростіший фізичний процес це механічний рух. Розглянемо основні методи його опису та закони, яким він підпорядковується.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.5-7.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.4-6.

 

1.1.1 Механіка. Кінематика матеріальної точки. Поступальний рух

Механічним рухом називається переміщення тіл, або частин того ж самого тіла в просторі та часі відносно один одного.

Розділ Фізики, що вивчає механічний рух називається механікою. Механіка поділяється на кінематику, динаміку та статику. Кінематика вивчає рух поза залежністю від причин, що спричиняють цей рух.

Cпочатку наведемо уявлення про основних "учасників" механічного руху, а саме про їх моделі:

1. Абсолютно тверде тіло – будь-яке за природою та сполукою тіло, геометрична форма і розміри якого в процесі механічного руху не змінюються.

2. Абсолютно пружне тіло – будь-яке тіло, що приймає первісні геометричну форму і розміри після зняття механічної дії.

3. Матеріальна точка – будь-яке тіло, розмірами якого в умовах даного механічного руху можна знехтувати. Знехтувати геометричним розміром можна, якщо максимальний розмір даного тіла хоча б у десять разів менше за мінімальний розмір того простору, де відбувається рух.

Треба особливо звернути увагу на те, що перелічені уявлення – універсальні і не мають ніякого відношення до якогось конкретного тіла: теж саме тіло може бути абсолютно твердим, або пружнім залежно від умов механічного руху.

Самі тіла можуть складати одне ціле, що називається механічною системою.

Механічна система – будь-який набір взаємодіючих чи не взаємодіючих тіл що рухаються, штучно відокремлених у просторі. Механічна система може рухатися або знаходитися у спокої відносно інших механічних систем або тіл. Тому сам механічний рух носить відносний характер.

Якщо під час руху усі точки, що належать тілу або механічній системі описують у просторі рівнобіжні незамкнені лінії, то такий рух називають поступальним.

Для того щоб змінити будь-який рух треба виконати певну дію. У разі механічного руху такою дією є механічна дія.

Механічна дія – будь-яка взаємодія двох чи декількох тіл, що приводить до зміни механічного руху.

Описати механічний рух означає у будь-який момент часу знайти місце розташування тіла або системи тіл у просторі. Тому уявлення про простір та час є дуже важливими у фізиці. Насамперед, розглянемо яким чином можна вказати де знаходиться тіло. Для цього використовують так звану систему відліку.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.7-8.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.7.

 

1.1.2 Система відліку. Переміщення. Довжина шляху. Швидкість. Прискорення. Нормальне, тангенціальне, повне прискорення

Система відліку складається з тіла відліку, жорстко закріпленої до нього системи координат, та годинника.

Саме тіло, обрана система координат (декартова, сферична, полярна та інші) знаходяться у просторі та часі. Тому треба накласти деякі вимоги до простору та часу. Уявлення про простір та час є такими ж фізичними, як і для інших об’єктів. Дослід свідчить, що для повної характеристики місця знаходження точки у просторі відносно будь-якого іншого тіла треба задати три відстані до неї – три координати. З цього простір вважається трьохмірним. Далі треба встановити: чи змінюється довжина відрізку у різних частинах простору? Ми будемо вважати, що простір, де будемо розглядати рух є однорідним та ізотропним, тобто це евклідовий простір – рівнобіжні лінії не перетинаються. Питання про те, яка геометрія реально існуючого простору – це питання фізичне, а відповідь на нього можна отримати лише експериментальним шляхом. Таку ж саму вимогу застосуємо й для часу: у будь-якій системі відліку час є однорідним.

Розглянемо яким чином описується рух матеріальної точки у декартовій системі координат (рис.1.1). У деякий момент часу точка А має координати: x, y, z. Задавши величини кожної координати, можна однозначно характеризувати розташування точки відносно початку координат (тіла відліку). Прямокутна система координат пов’язана з полярною співвідношенням:

, (1.1)

де ‑ орти одиничної довжини за координатами.

 

Через деякий час точка, описавши у просторі лінію, зміститься у положення В (рис.1.2). Лінія, уздовж якої рухається матеріальна точка, називається траєкторією. Ділянка траєкторії за час , що проходить точка, називається довжиною шляху S.

Вектор, що з'єднує початкове і кінцеве положення точки на траєкторії називається переміщенням.

. (1.2)

Модуль переміщення менше або дорівнює довжині шляху (у випадку прямолінійного руху).

Середня швидкість – це векторна величина, яка характеризує деякий середній темп руху.

. (1.3)

За умов – рух прямолінійний, тому можна запровадити уявлення про миттєву швидкість:

Миттєва швидкість – векторна величина. Це швидкість точки у певний момент часу за величиною і напрямком.

, (1.4)

швидкість вимірюється – .

Середнє прискорення скалярна величина, яка характеризує середній темп зміни швидкості від положення А до В на траєкторії:

, (1.5)

прискорення вимірюється – .

Миттєве прискорення:

(1.6)

Повне прискорення характеризує темп зміни швидкості як за величиною, так і за напрямком (рис.1.3):

. (1.7)

 

Перша складова (тангенціальне прискорення) відповідає за зміну величини швидкості, а вектор співпадає з напрямком швидкості. Друга складова – (), нормальне прискорення, характеризує зміну напрямку швидкості і спрямована перпендикулярно до вектора швидкості.

. (1.8)

Величина повного прискорення знаходиться за теоремою Піфагора, а напрямок залежить від величин векторів:

. (1.9)

Тангенс кута між напрямком швидкості і повним прискоренням знаходиться:

. (1.10)

Нормальне прискорення знаходиться за формулою:

, (1.11)

де – радіус кривизни траєкторії у заданій точці.

У загальному випадку, прискорення може бути деякою функцією часу, тобто змінюватися за якимось законом:

. (1.12)

Тоді швидкість буде визначатися:

. (1.13)

Якщо , тобто є сталою величиною, тоді:

, (1.14)

, (1.15)

де .

Одержимо формулу для довжини шляху. На підставі (1.4):

Тоді:

. (1.16)

Якщо вектора швидкості і прискорення співпадають за напрямком, то обирається знак "+", а якщо спрямовані протилежно – знак "–".

Співвідношення (1.15) та (1.16) – основні рівняння кінематики поступального руху матеріальної точки при сталому прискоренні.

Якщо точка рухається у просторі, то кожна з складових швидкості за координатами може змінюватися за своїм законом, що відбивається у принципі незалежності руху:

, (1.17)

де – результуюча швидкість у просторі.

Число ступенів вільності – число незалежних координат, за допомогою яких можна описати усі види руху, у яких бере участь тіло або точка. Це уявлення дуже важливе не тільки під час розгляду механічного руху, а й взагалі: наприклад, під час розгляду молекулярно-кінетичної теорії побудови речовини.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.11-21.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.8-12.

 

1.2 Динаміка поступального руху

Зміст

1.2.1 Перший закон Ньютона. Інерційні системи відліку.

1.2.2 Другий закон Ньютона. Поняття сили, маси. Третій закон Ньютона.

1.2.3 Імпульс. Основний закон руху. Закон збереження імпульсу.

1.2.4 Робота сили та її вираз через криволінійний інтеграл.

1.2.5 Кінетична енергія тіла. Властивості кінетичної енергії.

1.2.6 Тіло у силовому полі. Потенційна енергія та її властивості.

1.2.7 Закон збереження і перетворення механічної енергії.

1.2.8 Фундаментальні сили та їхні властивості.

1.2.9 Сили пружності. Закон Гука. Енергія пружно - деформованого тіла.

1.2.10 Закон всесвітнього тяжіння. Потенційна енергія тіла, що підняте над Землею. Вага тіла.

1.2.11 Сила тертя, види тертя.

1.2.1 Перший закон Ньютона. Інерційні системи відліку

Динамікавивчає рух у зв'язку з причинами, що спричиняють цей рух. Але саме уявлення про механічний рух носить відносний характер, тобто у різних системах відліку можна спостерігати різний характер руху. Наприклад, на столі лежить якийсь предмет. Відносно столу цей предмет знаходиться у спокої, але, якщо спостерігач буде рухатися, то відносно спостерігача предмет буде теж рухатися. Постає питання: де істина? Розв’язання цього питання дуже важливе для уявлень людини про оточуюче середовище. Зі спостерігань відомо, що будь-яке тіло може знаходиться у стані спокою або прямолінійного рівномірного (без прискорення) руху нескінченно довго, якщо на це тіло не діють інші тіла або середовище. Цей досвід дозволяє вважати, що стан спокою або прямолінійного рівномірного руху є властивістю тіл. Щоб змінити цей стан треба прикласти певну дію, тобто тіла нібито мають "пам’ять" про стан спокою або прямолінійний рівномірний рух. Таку властивість тіл було названо інерцією. Саме це уявлення є основою для І-го закону Ньютона. 1-ий закон Ньютона: будь-яке тіло рухається прямолінійно і рівномірно або знаходиться в стані спокою нескінченно довго, поки до нього не прикладено механічної дії.

Цей важливий закон дає змогу відокремити такі системи відліку, де будь-який рух буде виглядати однаково: якщо тіло знаходиться у стані спокою або рухається прямолінійно та рівномірно, та, якщо тіло рухається з прискоренням, то такий же характер руху буде у будь-якій системі відліку, якщо ці системи відліку є інерційними.

Інерційні системи відліку – ті, які рухаються відносно один одного рівномірно і прямолінійно або знаходяться в стані спокою. На рис.1.4 зображено дві системи відліку, одна з яких (штрихована) може рухатися. Так ось ці системи відліку будуть називатися інерційними, якщо штрихована система буде рухатися рівномірно та прямолінійно, або знаходитися у стані спокою. При цьому виконуються перетворення:

, (1.18)

де ‑ швидкість руху штрихованої системи (закон додавання швидкостей).

Перетворення Галілея, що відбиває принцип відносності у класичній механіці:

. (1.19)

З перетворень Галілея витікає вимога до "миттєвої" взаємодії тіл між собою, бо якщо припустити, що взаємодія відбувається з деякою певною швидкістю, то спостерігач у рухомій системі відліку може не "встигнути" зафіксувати результат взаємодії тіл. Тому вважається, що у класичній (ньютонівській) механіці має місце дальнодія.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.22-25, С.35.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.13.

 

1.2.2 Другий закон Ньютона. Поняття сили, маси. Третій закон Ньютона

Для зміни характеру руху точки треба спричинити механічну дію. Для характеристики, та чисельної оцінки механічної дії запроваджено уявлення про силу. Сила – векторна величина, що характеризує механічну дію за величиною та напрямком. У природі існує багато видів сил, які тим чи іншим способом можуть змінювати рух тіла. Незважаючи на різноманітність, більшість сил мають однакові властивості, що є універсальними.

Типи та властивості сил:

1. Зосереджені, такі сили прикладаються до тіла у якійсь точці та вони мають лінію дії. Зосереджену силу можна переносити уздовж лінії дії, якщо вона прикладена до абсолютно твердого тіла. При цьому результат її дії не зміниться: що тягнути тіло, що штовхати – результат однаковий.

2. Розподілені, тобто дія їх розподілена за яким-небудь законом уздовж поверхні або в об’ємі. У цьому випадку прийнято говорити про тиск, або механічне напруження. Величина тиску (напруження) визначається як відношення сили, що діє по нормалі до поверхні, до площини поверхні. Якщо розподілена сила рівномірно прикладена до поверхні твердого або нестисливого тіла, то у певних перерізах площини цього тіла механічна напруга (тиск) є сталою величиною. На цьому принципі працюють багато механічних пристроїв. Так дію сили можна передати за допомогою, наприклад, рідини (гідропідсилювачі). Аналогічний принцип втілено у канцелярську кнопку, де збільшення сили натиску відбувається у стільки разів, у скільки площина кнопки більша за площину її гострої частини.

Окремо наводиться уявлення про так зване силове поле. Силове поле– простір, у кожній точці якого діє визначена за величиною, напрямком та природою сила. Це дуже важливе уявлення коли треба розглядати дію між тілами, які безпосередньо не торкаються одне одного. Тобто силове поле виступає у якості деякого "посередника" дії. Властивості силових полів будуть розглянуті на прикладі сил гравітації, електричної, магнітної взаємодії.

Ньютон емпіричним шляхом, та узагальненням набутого людиною досвіду, запропонував принцип прямо пропорційної залежності між причиною (силою) та наслідком цієї причини (прискоренням).

. (1.20)

Питання про коефіцієнт пропорційності не є тривіальним. Але у класичній механіці вважається, що цей коефіцієнт обернено пропорційний масі тіла (інерційній масі). З великою точністю доведено, що інерційна та гравітаційна маси збігаються, але самі уявлення про них різні. Маса – є властивістю тіл, що мають різку границю розділу з оточуючим середовищем. Ця властивість має два прояви – інерцію та гравітацію. Більш точного уявлення про масу (у рамках класичної механіки) запровадити неможливо. Тоді – міра інерційних властивостей тіл:

, (1.21)

[k]=кг^-1.

Остаточно, II закон Ньютона виглядатиме:

, (1.22)

де . (1.23)

Матеріальна точка набуває прискорення уздовж результуючої усіх сил, що діють на точку, величина якого прямо пропорційна величині сили та обернено пропорційна масі точки.

Цей закон виконується для системи матеріальних точок, де – результуюча сил, що діють на матеріальну точку масою .

З якою силою можна подіяти на інше тіло? На власному досвіді можна переконатися, що тільки з тією, з якою те тіло буде діяти на нас. Цей факт, що є також одним з проявів природи, відбито у III-ому законі Ньютона:

(1.24)

Усякій дії існує рівна за величиною і протилежна за напрямком протидія.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.25-29.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.14.

 

1.2.3 Імпульс. Основний закон руху. Закон збереження імпульсу

Сила, що діє певний відрізок часу, призводить до зміни швидкості, тобто до зміни кількості руху. Розглянемо цей факт детальніше, використавши II закон Ньютона:

, (1.25)

з чого отримаємо:

. (1.26)

У класичній механіці вважається, що маса не залежить від швидкості руху тіла ‑ , тоді:

(1.27)

Імпульс матеріальної точки, векторна величина:

. (1.28)

Закон руху: кожна сила, що діє на матеріальну точку призводить до зміни імпульсу з часом.

(1.29)

Імпульс тіла – сума імпульсів усіх точок, що утворюють це тіло:

. (1.30)

Якщо розглядати механічну систему, що складається з матеріальних точок, то на кожну точку будуть діяти зовнішні сили (з боку оточуючого середовища) та внутрішні – взаємодія між матеріальними точками.

. (1.31)

Використовуючи ІІІ закон Ньютона, отримаємо:

, або . (1.32)

Тоді у загальному вигляді головний вектор зовнішніх сил є:

. (1.33)

Основний закон динаміки поступального руху для механічної системи або тіла.

. (1.34)

Якщо , механічна система називається замкненою, тобто, зовнішні сили або не діють, або їх результуюча дорівнює нулю, тоді:

. (1.35)

Закон збереження імпульсу: імпульс механічної замкненої системи з часом не змінюється.

. (1.36)

Для механічної системи, де зосереджені різні тіла, частини тіл або ціле тіло, запроваджується уявлення про центр інерції або центр мас.

, (1.37)

де – масова частка даної частини тіла від загальної маси тіла.

З цього уявлення доводиться закон руху центра мас тіла, що має вигляд:

. (1.38)

Якщо , тоді виконується закон:

(1.39)

– закон збереження імпульсу центру мас.

За цим законом можна розраховувати рух частин механічної системи будь-яких розмірів у будь-який момент часу.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.30-33.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.4, 26.

1.2.4 Робота сили та її вираз через криволінійний інтеграл

Розглядаючи дію сили було встановлено:

, (1.40)

де – імпульс сили. Тобто імпульс можна змінювати не тільки силою, але її дією з часом.

Крім того, сила може діяти під час руху тіла на деякому протязі шляху. Тоді кажуть про роботу сили. Елементарна робота знаходиться як:

, (1.41)

де a – кут між векторами і , вимірюється = Н×м= Дж.

Повна робота знаходиться як криволінійний інтеграл функції діючої сили по траєкторії руху і є площею, що обмежена кривою та віссю S (рис.1.5).

. (1.42)

Властивості роботи:

1. , якщо .

Сила, що діє під таким кутом називається нормальною (центральною). При дії нормальної сили робота не здійснюється.

2. Робота може бути позитивною, , якщо .

Тоді робота здійснюється над тілом, а сила називається прискорюючою.

3. Робота може бути негативною, , якщо .

Тоді робота виконується тілом, а сила називається гальмуючою.

Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії руху, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла на траєкторії (рис.1.6) називаються консервативними. Поле консервативних сил має назву потенціального.

. (1.43)

Поняття енергії пов'язане з уявленням про роботу. При цьому сама енергія виступає як кількісна міра руху матерії. Щоб змінити енергію потрібно виконати роботу над системою чи тілом, або створити умови для здійснення роботи системою над зовнішнім середовищем. Але це не єдиний спосіб змінити енергію, бо видів енергії, як і форм руху, існує нескінченна безліч.

Енергія ділиться:

- за видами у зв’язку з природою руху: механічна, електрична, электро-механічна, ядерна та ін.;

- за характером щодо механічного руху: кінетична, потенційна;

- за відношенням до системи, що розглядається: внутрішня, яка характеризує енергію руху і взаємодії часток самої системи; зовнішня, яка характеризує енергію системи в цілому, в тому числі її енергію у зовнішньому силовому полі; повна – сума внутрішньої і зовнішньої енергії системи.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- с.30-33. С.39-43

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.19-22

 

1.2.5 Кінетична енергія тіла. Властивості кінетичної енергії

Продовжуючи розглядати механічний рух, зосередимо увагу на уявленні про енергію саме цього руху. Для цього виконаємо деякі перетворення з тими уявленнями та законами, що було вже запроваджено:

,

тоді

, (1.44)

тому що , тоді ,

з цього . (1.45)

Тобто у тіла з'явилася швидкість завдяки роботі, що витрачено на зміну енергії тіла.

, (1.46)

де . (1.47)

Кінетична енергія – міра руху тіла з деякою швидкістю.

Властивості кінетичної енергії:

1. – завжди, при цьому:

– якщо швидкість руху в даній системі відліку дорівнює нулю;

– якщо швидкість руху в даній системі відліку відмінна від нуля.

2. Зміна може бути, як позитивною, так і негативною, і визначається знаком роботи що змінює цю енергію.

3. Кінетична енергія має відносний характер, оскільки швидкість – уявлення відносне і залежить від вибору системи відліку.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.49-55.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.21.

 

1.2.6 Тіло у силовому полі. Потенційна енергія та її властивості

Ми вже визначились, що поле сил це спосіб існування матерії, який можна виявити за допомогою "індикатора" (пробника). Сам пробник повинен збігатися по своїй природі з полем, що виявляється. Тобто, розташувавши такий пробник у силовому полі, ми знайдемо дію на даний пробник деякої сили з боку поля. Величину цієї сили можна визначити механічним шляхом (динамометром), але природа сили визначається тільки природою самого пробника.

Потенційна енергія – це енергія, пов'язана з місцем розташування тіла (або пробника) у даному місці силового поля. Тому не тільки тіло, а й саме поле може мати потенційну енергію. Величина потенційної енергії визначається як робота, яку потрібно виконати під час переміщення тіла (пробника) з даної точки в нескінченність:

, (1.48)

якщо – сила самого поля, тоді зв'язок між силою, що діє у полі, та потенціальною енергією поля є:

, (1.49)

, (1.50)

де . (1.51)

У силового поля є здатність накопичувати потенційну енергію. Силове поле – це згусток енергії.

Властивості потенційної енергії:

Потенційна енергія, на відміну від кінетичної, може бути позитивною і негативною, тому що вона пов'язана з місцем розташування тіла, тобто залежить від вибору початку відліку у системі відліку.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.43-49.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.4-6.

 

1.2.7 Закон збереження і перетворення механічної енергії

Повна механічна енергія системи – це енергія руху системи в цілому, включаючи потенційну енергію системи у силовому полі:

. (1.52)

- повну механічну енергію системи можна змінити також тільки за рахунок роботи з боку зовнішніх тіл;

- якщо на дану систему не діють зовнішні сили, то повна енергія буде зберігатися – закон збереження механічної енергії:

(1.53)

Сили, що діють проти руху, називаються силами тертя. Вони призводять до розсіювання (дисипації) повної механічної енергії. У цьому випадку відбувається перетворення енергії з "корисних" форм у "менш корисні" (марні). Енергія, що розсіяна силами тертя, ніколи не може самовільно перетворитися знов у механічну. Найчастіше спостерігається теплове перетворення механічної енергії за рахунок сил тертя, з якими ми познайомимося пізніше. Робота сил тертя залежить від швидкості руху і завжди протилежна напрямку руху. Тобто, сили тертя є неконсервативні, а силові поля, що подібні за характером до таких сил є непотенціальними. Тому в загальному випадку кажуть про закон збереження і перетворення енергії:

Енергія не звідкіля не виникає і нікуди не зникає, а лише перетворюється з одних видів в інші.

Як правило, напрямок цього перетворення завжди однаковий – з "корисних" форм у "марні" форми енергії.

Особливо треба відзначити, що названі закони збереження (імпульсу, енергії) є відбиттям нашого уявлення про час і простір: саме з однорідних властивостей часу й простору, майже "автоматично", виникає вимога для існування законів збереження, які є фундаментом у будь якій науці про природу.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.39-49.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.23-26

1.2.8 Фундаментальні сили. Їхні властивості

Вже відзначалося, що у класичній механіці вважається, що взаємодія між тілами відбувається миттєво: теорія дальнодії. Але, після відкриття існування електромагнітного поля, було встановлено, що максимальна швидкість "передачі" взаємодії обмежена деякою константою c, і з цією швидкістю поширюється світло у вакуумі м/с. На цій підставі розроблено теорію близькодії. Після появи уявлень про квантову побудову силового поля, було зазначено, що будь-якому силовому полю повинна відповідати якась квантова частинка – корпускулярно-хвильовий дуалізм властивостей матерії (квантова теорія поля). Не зважаючи на різноманітність взаємодій між фізичними тілами, сьогодні вони поділяються на чотири основні види (за мірою зростання інтенсивності): гравітаційна взаємодія; слаба взаємодія; електромагнітна взаємодія; сильна взаємодія. Гравітаційна взаємодія має прояв у тому, що будь-які тіла, поза залежністю від природи, електричного заряду між собою притягаються. Слаба взаємодія – має дуже складну природу та має прояв при розгляді взаємодії та перетворень у світі елементарних частинок. Електромагнітна взаємодія – відбивається у взаємному перетворенні змінних електричних та магнітних полів, та впливу на ці перетворення заряджених частинок. Сильна взаємодія – обумовлює такі стійкі утворення у "мікросвіті" як ядра атомів та має теж дуже складну природу.

Усі сили, поза залежністю від природи та типу взаємодії поділяються на два основні види: сили притягання та відштовхування. Окремо треба відзначити найпоширеніші сили – сили тертя (опору). Саме ці прояви взаємодії людина може експериментально вимірювати, тобто давати чисельну оцінку самої сили. Розглянемо деякі найпоширеніші у природі сили та їх властивості.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.22-25, С.39-49, С.59-63.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.15-17.

 

1.2.9 Сили пружності. Закон Гука. Енергія пружно - деформованого тіла

Під дією сили, тіло, що знаходиться у стані спокою, може змінювати свої геометричні розміри. Процес руху часток того ж самого тіла відносно одна одної будемо називати деформацією. Внутрішні сили, що виникають під час деформації, називаються силами пружності. Сили пружності виступають у якості перешкоди до деформування тіла й завжди направлені проти зовнішніх сил. Сили пружності обумовлені електромагнітною взаємодією частинок (молекул та ін.), що входять до складу та визначають геометричну форму тіла.

Якщо прикласти до циліндру, який виготовлено з металу, силу (рис.1.7), то під дією цієї сили буде спостерігатися деформація. При цьому, запроваджують такі уявлення:

– напруга, Н/м²;

; (1.54)

– подовжня відносна деформація:

; (1.55)

– поперечна відносна деформація:

. (1.56)

Зв’язок між подовжньою та поперечною деформацією визначається за формулою Пуассона:

, (1.57)

де – коефіцієнт Пуассона, який відбиває фізичну властивість тіла до деформації.

У деякому діапазоні напруги виконується прямо пропорційна залежність між величиною напруги та відносною деформацією тіла. Тоді виконується закон Гука:

, (1.58)

де– модуль Юнга, Н/м².

Виконаємо перетворення. З того, що отримаємо

, або . (1.59)

Якщо замінити – абсолютна деформація, то

, (1.60)

де – орт уздовж напрямку деформації, ¾ сила деформації.

Закон Гука: Сила пружності прямо пропорційна величині абсолютної деформації тіла.

Закон Гука для сили пружності,

, (1.61)

де – сила пружності, – коефіцієнт пружності, Н/м.

Цей закон виконується для абсолютно пружних тіл. Пружні властивості будь-яких тіл зручно аналізувати за діаграмою пружних властивостей (рис.1.8).

Немає напруги s – немає деформації, що відповідає точці О на діаграмі. Далі, ділянка ОА, де виконується прямолінійна залежність між напругою та відносною деформацією, відповідає абсолютно пружному тілу. – межа прямо пропорційної залежності між напругою та відносною деформацію.

Точці В відповідає межа пружності. Після зняття напруги, з цієї точки тіло повертається за прямою лінією FB, але спостерігається залишкова деформація (OF).

Лінія ВСD – область пластичності, плинності тіла. На цій ділянці виконуються закони внутрішнього тертя, а саме тіло здатне змінювати геометричну форму при малих величинах напруги.

Точка Е – межа міцності. У цій точці тіло втрачає пластичні властивості й відбувається руйнування цілісності тіла.

Умовно, усі тіла можна поділити залежно від того, є чи немає певної області даного виду деформації. Так, якщо у тіла відсутня область пластичності, таке тіло вважається крихким, а якщо відсутня область пружності – пластичним, та ін.

Сили пружності можна вважати консервативними, тоді існує зв’язок між потенціальною енергією та силою у вигляді:

, (1.62)

або, у разі деформації повздовж однієї координати

. (1.63)

З цього:

. (1.64)

За формулою (1.64) можна визначити потенційну енергію пружно-деформованого тіла.

Для багатьох матеріалів, у тому числі й для харчових продуктів, відокремлюють пружність зсуву . Якщо одна площина тіла стикається з нерухомою твердою поверхнею, а до іншої прикласти тангенціальну напругу, то тіло буде деформуватись, як на (рис.1.9). Існує взаємозв’язок між кутом зсуву та величиною тангенціальної сили:

, (1.65)

де ‑ коефіцієнт пружності зсуву, Н.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.83-86.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.22.

 

1.2.10 Закон всесвітнього тяжіння. Потенційна енергія тіла, що підняте над Землею. Вага тіла

Будь-які тіла, що мають інерційну масу, взаємодіють між собою (тяжіють один до одного). Така взаємодія називається гравітаційною. Ньютоном запропоновано закон всесвітнього тяжіння записати у вигляді:

, (1.66)

де = 6,67×10^-11 м³/(кг×с²) – гравітаційна стала, r – відстань між центрами мас.

Два тіла, поза залежністю від свого складу та середовища, у якому вони знаходяться, завжди взаємно тяжіють із силою, прямо пропорційною добутку мас цих тіл і обернено пропорційною квадрату відстані між центрами цих тіл.

Закон всесвітнього тяжіння обумовлює тяжіння тіл до Землі:

, (1.67)

де – відстань, на якій тіло знаходиться над Землею. Якщо тіло розташоване поблизу до поверхні Землі, то , тоді:

, (1.68)

де , м/с² ‑ прискорення вільного падіння. Величина залежить від широти місцевості тому, що Земля не є ідеальною кулею: відстань від полюсів до центра менша за відстань від екватора до центра Землі.

Гравітаційне поле є потенціальним, тому:

. (1.69)

Якщо розглядати тільки координату – висота над Землею, на якій знаходиться тіло, та вважати що з висотою потенційна енергія зменшується, то будемо мати:

, (1.70)

з цього , (1.71)

тоді . (1.72)

Вважається, що на поверхні Землі при , тоді потенційна енергія тіла, що знаходиться над Землею на висоті :

. (1.73)

З висотою, прискорення вільного падіння зменшується.

Щоб тіло не рухалось вздовж координати , треба встановити для нього опору. Використовуючи ІІІ закон Ньютона запроваджують уявлення про вагу: вага() – реакція опори чи підвісу на силу тяжіння. У загальному випадку вага залежить від прискорення, з яким рухається тіло з опорою відносно напрямку прискорення вільного падіння. При цьому:

, (1.74)

знак "+" обирається, коли прискорення спрямовано проти, а "–", коли прискорення спрямовано вздовж напрямку . Коли , то тіло начебто вільно падає разом з опорою, тоді кажуть про невагомість. Якщо тіло рухається проти сили тяжіння, то кажуть про перевантаження. Перевантаження часто виміряють у одиницях . Пристрої, що імітують перевантаження за рахунок обертального руху, називають центрифугами, де відцентрова сила, обумовлена нормальним прискоренням, придавлює тіло до стінки центрифуги. Це явище використовується для

 

штучної сепарації рідинних або газових сумішей, що складаються з речовин або часток з різною густиною.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- с.39-46, С.59-66.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.37-39.

 

1.2.11 Сила тертя, види тертя

Для того щоб тіло, яке лежить на площині (рис.1.10), почало рухатися, треба прикласти силу, щоб компенсувати силу тертя спокою. Але й подальший рух пов’язаний з дією сил тертя. Відрізняють такі основні види тертя:

сухе (зовнішнє) тертя – сила тертя між площинами двох тіл, що стикаються між собою;

внутрішнє тертя – тертя, що виникає унаслідок відносного руху шарів цілого тіла.

Зовнішнє тертя (сухе і гідромеханічне) поділяється на: тертяковзання , тертя кочення , тертя кручення . Між величинами цих сил, за звичайних умов, виконується співвідношення:

>>. (1.75)

Тому в машинах та апаратах завжди намагаються використовувати пристрої, які забезпечили б заміну тертя ковзання на інші види сухого тертя. Щоб зменшити силу тертя ковзання вживають різні мастила, тоді кажуть про гідродинамічне тертя.

У загальному вигляді (рис. 1.11) сили тертя підпорядковуються формулі :

, (1.76)

де – реакція опори, – коефіцієнт тертя.

На нахиленій площині можна визначити коефіцієнт тертя, як

, (1.77)

де ‑ кут нахилу площини, при якому тіло починає ковзати по нахиленій площині.

Внутрішнє тертя буде розглянуте в інших розділах.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.86-90.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.15-17.

 

1.3 Обертальний рух твердого тіла

Зміст

1.3.1 Елементи кінематики обертального руху. Кутова швидкість і прискорення. Зв'язок кутових кінематичних характеристик з лінійними швидкостями і прискореннями точок, що належать тілу.

1.3.2 Момент інерції. Кінетична енергія тіла, що обертається. Основне рівняння динаміки обертального руху.

1.3.3 Момент імпульсу. Закон зміни та збереження моменту імпульсу.

 

1.3.1 Елементи кінематики обертального руху. Кутова швидкість і прискорення. Зв'язок кутових кінематичних характеристик з лінійними швидкостями і прискореннями точок, що належать тілу

Обертальний рух відносно нерухомої вісі – це такий рух, при якому усі точки абсолютно твердого тіла описують кола, центри яких лежать на нерухомій прямій, що називається віссю обертання.

Для опису кінематики матеріальної точки, що здійснює обертальний рух, необхідно, як і в кінематиці поступального руху, увести такі поняття як кутове прискорення і кутова швидкість.

Нехай матеріальна точка, що належить твердому тілу, рухається по колу з радіусом (рис.1.12). Її положення на колі через малий проміжок часу задамо кутом . Треба відзначити, що лінійна швидкість точок, які обертаються по іншому радіусі буде відрізняться від тих, що знаходяться на відстані . Але усі точки об’єднує параметр . Тоді запровадимо уявлення про кутову швидкість: кутовою швидкістю називається векторна величина, яка дорівнює першій похідній за часом від кута повороту.

. (1.78)

Напрямок векторів та задається правилом гвинта: вектор кутової швидкості збігається за напрямком з поступальним рухом вістря гвинта, голівка якого обертається в напрямку руху точки по колу (рис.1.13). Кутова швидкість розраховується за формулою:

, (1.79)

і вимірюється в .

Знайдемо зв'язок між лінійною і кутовою швидкістю. Для цього використаємо уявлення про миттєву лінійну швидкість, та те, що довжину дуги, на яку опирається малий кут, можна знайти за формулою :

,

. (1.80)

Якщо , то обертання рівномірне і його можна характеризувати періодом обертання . Період обертання це час, за який точка здійснює один повний оберт. Зв’язок між періодом та кутовою швидкістю знайдемо з таких міркувань. Оскільки за визначенням, за час тіло змінить своє положення на, тоді, за визначенням:

. (1.81)

Число повних обертів, здійснених тілом під час рівномірного руху по колу за одиницю часу називається частотою обертання.

; , (1.82)

де ‑ частота обертання, 1/с.

Крім рівномірного, тіло може здійснювати перемінний обертальний рух. Тоді запроваджується поняття про кутове прискорення.Кутовим прискоренням називається векторна величина, яка дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:

. (1.83)

З формули випливає, що вектор спрямований по осі обертання у бік вектора елементарного збільшення кутової швидкості (рис.1.14).

Зв'язок між величинами кутових характеристик руху та лінійних знайдемо використовуючи їх уявлення:

, (1.84)

. (1.85)

Для рівномірного обертального руху, отримаємо основні кінетичні рівняння. Для цього виконаємо деякі перетворення.

, (1.86)

, (1.87)

, (1.88)

. (1.89)

Для рівнозмінного обертального руху ():

, (1.90)

. (1.91)

Використовуючи отримані кінематичні рівняння можна описати рух твердого тіла або точки навколо нерухомої осі.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.69-76.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.28-30.

 

1.3.2 Момент інерції. Кінетична енергія тіла, що обертається. Основне рівняння динаміки обертального руху

При переході до розгляду питання динаміки обертання матеріальної точки по колу, необхідно увести деякі додаткові поняття, що мають фізичну аналогію з масою тіла в динаміці поступального руху.

Моментом інерції матеріальної точки відносно осі обертання називаєтьсядобуток маси точки на квадрат відстані до осі обертання.

(1.92)

– момент інерції, вимірюється в кг×м².

Якщо розглядати тіло, що обертається, як сукупність матеріальних точок, то момент інерції тіла – це сума моментів інерцій усіх точок, що складають це тіло, відносно розглянутої осі:

. (1.93)

Якщо тіло однорідне, тобто є безперервний розподіл мас, ця сума зводиться до інтегралу:

, (1.94)

де ‑ відома функція розподілу маси за координатами тіла. Інтегрування здійснюється за всім об’ємом тіла.

Для тіл правильної геометричної форми момент інерції відносно осі, що проходить через центр інерції (мас), розраховується за формулами:

1. Порожній тонкостінний циліндр (обід, колесо) радіусом : .

2. Суцільний циліндр чи диск: .

3. Куля радіуса : .

4. Стрижень довжиною :

Якщо момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас – відомий, то момент інерції тіла щодо будь-якої іншої рівнобіжної осі визначається теоремою Штейнера: момент інерції тіла відносно будь-якої осі обертання дорівнює його моменту інерції відносно рівнобіжної осі, яка проходить через центр мас тіла, складеному з добутком маси тіла на квадрат відстані між осями.

. (1.95)

Слід зазначити, що момент інерції може існувати безвідносно до обертання. Будь-яке тверде тіло поза залежністю покоїться воно чи обертається має момент інерції подібно тому, як тіло має масу не залежно від стану свого руху.

Тіло, що обертається навколо нерухомої осі, має кінетичну енергію. Знайдемо формулу для кінетичної енергії. Кожна матеріальна точка тіла має кінетичну енергію . Тоді для всього тіла:

. (1.96)

З рис.1.15 бачимо, що ; але оскільки ‑ для всіх точок однакова, то, замінивши, одержимо:

. (1.97)

Таким чином, кінетична енергія тіла що обертається дорівнює . Якщо тіло до того ж бере участь і у поступальному русі (котиться), то

. (1.98)

Якщо до тіла, закріпленого на осі, прикласти зовнішню силу, то цією силою буде виконуватися робота, затрачувана на зміну кінетичної енергії тіла, що обертається.

Нехай до тіла (рис.1.16), що закріплено у точці О до нерухомої осі (вісь перпендикулярна до площини рисунка), у точці В, що належить тілу, прикладена сила під кутом . Тому що тіло тверде, робота цієї сили витрачається на поворот усього тіла на деякий кут . При цьому точка В проходить шлях . Відомо, що робота дорівнює проекції сили на напрямок переміщення, помножений на величину переміщення, тобто:

(1.99)

Помітимо, що – найкоротша відстань між лінією дії сили і віссю обертання і називається плечем сили. Тоді добуток сили на її плече називається моментом сили. Модуль моменту сили є:

. (1.100)

Момент сили – величина векторна, тому що , то:

. (1.101)

Вектор перпендикулярний площині, у якій знаходяться вектора і ,

колінеарний з віссю обертання (лежить на осі), а його напрямок визначається за правилом правого гвинта.

Тоді вираз для роботи моменту сил (1.99) буде мати вигляд:

, (1.102)

оскільки

, (1.103)

то ; (1.104)

поділивши на , отримаємо:

, або . (1.105)

Виконавши спрощення, одержимо основне рівняння динаміки обертального руху:

. (1.106)

Цей запис має фізичну аналогію з II законом Ньютона.

Момент сили, що діє на тверде тіло, надає йому кутове прискорення, величина якого прямо пропорційна величині моменту сили й обернено пропорційна моменту інерції тіла.

Вектори, що лежать на осі симетрії, називають аксіальними, або псевдовекторами. Кінематика та динаміка обертального руху описується псевдовекторами.

Розрізняють моменти сил відносно осі обертання, відносно точки (центра) обертання і момент пари сил. У другому випадку, рух відносно точки описувати складно: необхідно враховувати, що тіло буде володіти трьома ступенями вільності. Для опису такого руху використовують кути Ейлера.

Розгляд моментів пари сил зводиться до правила важеля:

. (1.107)

(1.107) – умова для рівноваги тіла, що може обертатися.

 

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.76-78.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.30-32.

1.3.3 Момент імпульсу. Закон зміни та збереження моменту імпульсу

Запровадимо уявлення про момент імпульсу матеріальної точки, як векторного добутку імпульсу матеріальної точки на радіус вектор її положення відносно осі обертання:

. (1.108)

Виконаємо наступні перетворення:

, (1.109)

кут між векторами і , тоді

, (1.110)

але оскільки є аксіальний вектор, то:

. (1.111)

Напрямок знаходиться за тим же правилом, що й напрямок . З часом, вектор може змінюватись. Якщо йдеться мова про тіло, то момент імпульсу буде мати вираз:

, (1.112)

де ‑ момент інерції тіла, яке обертається з кутовою швидкістю . Зміна моменту імпульсу з часом буде:

. (1.113)

Це основний закон динаміки обертального руху твердого тіла.

Якщо механічна система, що обертається, замкнена () тоді виконується закон збереження моменту імпульсу, який має вигляд:

(1.114)

Момент імпульсу замкненої системи з часом не змінюється.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.33-35.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.32.

Елементи механіки рідини

Зміст

1.4.1 Рідинний стан речовини. Закон Паскаля. Закон Архімеда.

1.4.2 Плин рідини. Рівняння Бернуллі.

1.4.3 Внутрішнє тертя. Ламінарний і вихровий режими течії. Число Рейнольдса: гідромеханічна подібність.

 

1.4.1 Рідинний стан речовини. Закон Паскаля. Закон Архімеда

Рідина – агрегатний стан речовини, при якому речовина має деякі властивості газоподібного і твердого агрегатних станів одночасно.

У рідині молекули знаходяться близько одна до одної, не можуть переміщатися по об'єму всієї рідини, як у газі. Рідина завжди приймає форму посудини, у якій вона знаходиться, однак не обов'язково займає весь об’єм цієї посудини, що властиво газам. Рідині властива пластична деформація, тобто плин (течія).

Плинність ‑ вільне переміщення частин тіла відносно самих себе.

Під плином рідини розуміють і плин газів, оскільки закони такого руху в рамках моделі і для рідкого агрегатного стану і для газоподібного однакові.

Рідина і газ – суцільні середовища, тобто не мають розривів густини.

Суцільне середовище – деякий обсяг простору, у якому основні фізичні властивості нерозривні для даного тіла чи силового поля.

. (1.115)

ρ – густина (кг/м³), нерозривна функція в кожній точці простору.

Якщо в одному і тому ж середовищі густина міняється залежно від координат, то говорять про стисливість рідини, якщо густина не змінюється – рідину вважають нестисливою.

Умова нестисливості рідини:

. (1.116)

Закон Паскаля. У кожній точці нестисливої рідини тиск однаковий.

Тиск – сила, що діє по нормалі до одиниці поверхні посудини та віднесена на одиницю площини поверхні:

. (1.117)

Тиск вимірюється у Н/м² (Па).

У полі сили тяжіння тиск стовпа рідини висотою h буде визначатись:

,

або . (1.118)

Такий тиск називається гідростатичним тиском.

Модель рідини для опису її руху базується на наступному.

Відокремимо точки в об'ємі рідини. Якщо спостерігати за їхнім рухом, то можна виявити, що ці точки будуть описувати у просторі деякі лінії. Лінії, уздовж яких рухаються точки рідини називаються лініями струму.Сукупність ліній струму утворюють трубку струму. Швидкості кожної точки є дотичними до ліній струму.

З закону збереження маси речовини витікає: скільки маси в одиницю часу проходить через переріз трубки струму , стільки ж проходить через переріз . Якщо , то виконується рівняння нерозривності:

. (1.119)

Об’ємна секундна витрата рідини (м³/с) визначається, як:

, (1.120)

а масова секундна витрата рідини (кг/с):

. (1.121)

Рівняння нерозривності насправді відбиває закон збереження маси для нестисливої рідини і є основним кінематичним рівнянням течії нестисливої рідини.

Якщо якесь тіло занурити у рідину або газ, які знаходяться у полі сил тяжіння, то на це тіло буде діяти сила, що виштовхує – сила Архімеда. Розглянемо це на прикладі циліндра з площиною та висотою . З уявлення про тиск, як , та з урахуванням гідростатичного тиску отримаємо, що на нижню та верхню (за відношенням до орієнтації циліндра в полі сил тяжіння) площину діють різні за величиною сили. Різниця цих сил буде зумовлювати силу Архімеда

(1.122)

Закон Архімеда. Сила, що виштовхує тіло занурене в рідину або газ, дорівнює вазі рідини (газу) в об’ємі зануреного тіла.

Рекомендована література:

1. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.45-46.

1.4.2 Плин рідини. Рівняння Бернуллі

Для доведення рівняння динаміки руху рідини скористуємося рис.1.18. У наведеній на рис.1.4.2 трубці струму рухається нестислива рідина. Причина руху ‑ різниця тисків (сил) на вільних кінцях трубки (див. рис.1.18).

Під час переміщення рідини, об’єм 1-1^' нібито "перенесено" до об’єму 2-2^'. Це припущення цілком справедливе, бо ми розглядаємо течію нестисливої рідини, для якої виконується рівняння нерозривності. Для цього переміщення була здійснена робота, яка сприяла зміні повної енергії рідини. З цих уявлень виконаємо математичні перетворення:

. (1.123)

З того що отримаємо:

. (1.124)

Приріст кінетичної енергії за рахунок цієї роботи складатиме:

. (1.125)

Приріст потенційної енергії складатиме:

. (1.126)

Тоді . (1.127)

З цього отримаємо:

, (1.128)

або , (1.129)

остаточно отримаємо:

 

, (1.130)

де – динамічний тиск, зумовлений рухом рідини;

– гідростатичний тиск, зумовлений зовнішнім силовим полем;

– статичний тиск, зумовлений тиском навколишнього середовища.

Сума динамічного, гідростатичного й статичного тисків називається повним тиском. Для нестисливої рідини повний тиск є сталою величиною:

(1.131)

Таке рівняння буде застосовуватись для любого перерізу трубки течії рідини. Це і є рівняння Бернуллі ‑ основне рівняння гідродинаміки. Повний тиск нестисливої рідини є сталою величиною у будь-якому перерізі трубки течії рідини.

Використовуючи рівняння Бернуллі та за допомогою пристрою (трубка Піто), схему якого наведено на рис.1.19, можна вимірювати швидкість газових потоків з густиною речовини . Орієнтуючи трубку за відношенням до потоку газу так, як показано на рис.1.20, бачимо, що отвори окремо вимірюють статичний P та повний P_n тиски, різниця яких є величиною динамічного тиску:

. (1.132)

Ця різниця компенсується гідростатичним тиском ρgΔh в U-подібній трубці, що наповнена рідиною з густиною. Тоді швидкість руху потоку газу можна обчислити за формулою:

. (1.133)

За умов локального зростання швидкості (наприклад, за рахунок локального зменшення площини перерізу трубки) повний тиск залишається сталим: динамічний збільшується, а статичний зменшується. Завдяки цьому можна розпилювати рідину, змішувати рідину з газом, або використовувати такий пристрій у якості насосу. Схематично такий насос (рідиннострумний) зображено на рис.1.20. Рідиннострумні насоси використовуються у харчовій промисловості для утворення різноманітних за своєю дисперсністю продуктів харчування та напівфабрикатів.

Рекомендована література:

1. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.47-50.

1.4.3 Внутрішнє тертя. Ламінарний і вихровий режими течії.

Число Рейнольдса: гідромеханічна подібність

Під час доведення основного рівняння гідродинаміки ми вважали, що лінії струму не перетинаються між собою. Але це не завжди так. Між окремими шарами рідини, що стикаються між собою, діють сили тертя. Ці сили сприяють "переносу" імпульсу (кількості руху) від одного шару до іншого. Це явище носить назву внутрішнього тертя і належить до групи явищ, що мають назву явища переносу (див. 2.2). Силу внутрішнього тертя, віднесену на одиницю площини шарів рідини, що стикаються між собою, визначають за рівнянням Ньютона:

. (1.134)

де – коефіцієнт динамічної в’язкості рідини, Па×с.,

Коефіцієнт динамічної в’язкості рідини є фізичною характеристикою рідинних речовин. Але не всі рідини підпорядковуються рівнянню Ньютона, а саме – не виконується прямо пропорційна залежність між силою та градієнтом швидкості шарів, що стикаються. У цьому випадку кажуть про неньютонівську рідину.

Внутрішнє тертя призводить до перемішування шарів рідини. З рівняння Ньютона можна зробити висновок, що залежно від швидкості відносного руху шарів наступає момент, коли вони починають змішуватися. Тобто, режим течії змінюється. Саме з цим пов’язана класифікація режимів течії:

- ламінарний – це такий, коли шари паралельні один одному, і кожний з них характеризується власним розподілом швидкостей;

- турбулентний – це такий, коли шари рідини перетинаються між собою та утворюють вихор;

- перехідний – проміжний між першими двома.

Для багатьох рідин та газів є деяка подібність режимів течії: за певних умов, що мають відношення до геометричної форми каналу, швидкості та природи речовини, різні рідини мають подібний режим течії. Ця подібність відбивається так званим числом Рейнольда Re. Це безрозмірне число можна розрахувати за виразом:

, (1.135)

де ‑ еквівалентний діаметр каналу, де відбувається течія рідини. Еквівалентний діаметр визначають за формулою:

, (1.136)

де ‑ площа перерізу каналу та його периметр, відповідно. Якщо рідина не займає увесь канал, то маємо на увазі ті геометричні розміри, що має трубка течії. Число Рейнольдса характеризує режим течії: якщо – ламінарна течія; якщо – турбулентна течія. Режим течії досить сильно впливає на такі процеси, як тепло- і масоперенос. Турбулентний режим, у загальному випадку, інтенсифікує ці процеси. Вихрові утворення під час турбулентного режиму мають складну форму і певну нестійкість, як за часом, так і за координатами. У цьому випадку основним математичним прийомом для опису процесів переносу є теорія подібності.

Рекомендована література:

1. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.50-53.

1.5 Елементи спеціальної теорії відносності

Зміст

1.5.1 Постулати спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца.

1.5.2 Відносність довжини та проміжків часу.

1.5.3 Межі застосування класичної механіки.

1.5.4 Релятивістський імпульс. Основний закон релятивістської динаміки.

1.5.5 Кінетична енергія. Релятивістський вираз для кінетичної енергії. Границі застосування класичної механіки.

1.5.6 Взаємозв'язок маси й енергії.

 

1.5.1 Постулати спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца

Відносність механічного руху та деякі явища, що пов’язані з поширенням світла, поставили питання: чи існує універсальна, "ідеальна" система відліку, відносно якої усе рухається або знаходиться у спокої? Таку систему відліку було названо ефіром. Тоді усі об’єкти рухаються в ефірі. Якщо це так, то повинен існувати "ефірний вітер". Саме його, або його прояв й намагалися знайти вчені. Найбільш вдалий експеримент з цього приводу було здійснено Майкельсоном.

Суть цього досліду у наступному. За допомогою явища інтерференції світла знайти "ефірний вітер", який би змінював положення інтерференційної картини. Схему пристрою наведено на рис.1.21.

Орієнтуючи пристрій відносно напрямків полюсів Землі, очікувалось, що інтерференційна картинка буде мінятися. Але за будь-яких умов інтерференційна картинка не змінювалась. З чого зроблено висновок: ніякого "ефірного вітру" та ефіру чи універсальної системи відліку не існує.

Виходячи з експериментальних результатів, та уявлень про електромагнітне поле А. Ейнштейн сформулював постулати, які становлять основу спеціальної теорії відносності:

I Постулат:

Усі закони природи інваріантні стосовно інерційних систем відліку, а усі інерційні системи відліку рівноправні.

II Постулат:

Швидкість світла є деякою фізичною сталою, величина якої не залежить від того, рухається чи знаходиться у спокої приймач (джерело) світла. Ця константа є максимальною швидкістю поширення будь-якої взаємодії чи поля, що відомі людині.

У 1904 р. голландським фізиком Х.А.Лоренцем було запропоновано перетворення координат та часу рухомої () та нерухомої (K) системи відліку (рис.1.22). Ці перетворення дають змогу зберегти вигляд рівнянь класичної електродинаміки. Аналогічні рівняння були доведені у 1905 р. й А. Ейнштейном.

 

 

 

рис.1.22

Перетворення Лоренца:

(1.137)

 

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 2.Електродінаміка. Атомна та субатомна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.103-106.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.45-46

 

1.5.2 Відносність довжини та проміжків часу

Легко довести, що розміри тіла, яке рухається з швидкістю , та проміжки часу подій, які відбуваються у рухомих системах відліку, будуть змінюватись.

або , (1.138)

де – власні розміри нерухомого тіла.

Для часу:

, (1.139)

де – власний час, що вимірюється годинником, який рухається разом з об'єктом.

Розміри тіла, що рухається, скорочуються вздовж напрямку руху залежно від швидкості (лоренцеве або фітцджеральдове скорочення).

Годинник, що рухається відносно інерційної системи відліку, йде повільніше за нерухомий годинник. Тобто, власний час – найкоротший.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 2. Електродінаміка. Атомна та субатомна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.106-109.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.57-61

 

1.5.3 Межі застосування класичної механіки

З перетворень Лоренца витікає, що в будь-яких інерційних системах відліку існують відповідні координати та час для певної події. А між подіями в обраних інерційних системах відліку існує визначений зв’язок.

Слід відзначити, що за умови перетворення Лоренца трансформуються у перетворення Галілея (класична теорія відносності). Якщо припустити на випадок, що , то з перетворень Лоренца витікає, що координати та проміжки часу будуть мати мнимі величини, чого не може бути. Тоді:

Швидкість відносного руху будь-яких інерційних систем не може перевищувати швидкість поширення світла у вакуумі, тобто .

Швидкості руху тіл поблизу швидкості світла називають релятивістськими, а закони руху для таких тіл вивчає релятивістська механіка.

Рекомендована література:

1. І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 2. Електродінаміка. Атомна та субатомна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.109-112.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.61-63

 

 

1.5.4 Релятивістський імпульс. Основний закон релятивістської динаміки. Границі застосування класичної механіки

З першого постулату спеціальної теорії відносності витікає, що формальний опис законів чи явищ у всіх інерційних системах відліку повинен мати однаковий вигляд, тобто підпорядковуватися так званому принципу Лоренца. Але, як було доведено, однакові процеси у різних системах відліку тривають різний час. Крім того, записуючи основний закон механічного руху вважалося, що маса тіла не залежить від швидкості його руху.

У спеціальній теорії відносності доводиться, що маса залежить від швидкості руху тіла й тим сильніше, чим більш швидкість руху тіла наближається до швидкості світла у вакуумі:

(1.140)

або . (1.141)

З рис.1.23 бачимо, що маса залежить від швидкості руху нерівномірно: за умов збільшення до 1,0 відношення прагне в нескінченність. Цей факт експериментально підтверджується: якщо електрон сильно розігнати, то його маса збільшується у сотні разів.

При цьому запроваджують уявлення про інерційну масу:

– маса спокою;

– маса тіла, що рухається.

Тоді вирази для імпульсу тіла, та закону динаміки будуть мати вигляд:

, (1.142)

. (1.143)

Основний закон релятивістської динаміки. Зміна імпульсу тіла з часом дорівнює зовнішній силі:

. (1.144)

Якщо система замкнена, зовнішні сили не діють, тоді

. (1.145)

Якщо ж до того маємо не одне тіло, а декілька, то

. (1.146)

Релятивістський закон збереження імпульсу. Імпульс у замкненій механічній системі з часом не змінюється.

. (1.147) Тобто, якщо, то. Якщо тіло може рухатися з такою швидкістю, то це значить, що… . (1.148)